%@P:exocorcp On considère trois récipients notés ${\cal S}_1$, ${\cal S}_2$ et ${\cal S}_3$.\par Le premier, ${\cal S}_1$, est une sphère de rayon 5~cm. Le second, ${\cal S}_2$, est un cylindre dont la base a un rayon égal à 5~cm et dont la hauteur mesure 7~cm. Le troisième, ${\cal S}_3$, est un cône de révolution dont la base a un rayon égal à 5~cm et dont la hauteur mesure 15~cm. \begin{myenumerate} \item Quel récipient possède le plus grand volume ? le plus petit volume ? Justifier votre réponse. \item Quelle est la hauteur $h$ du cylindre ${\cal S}_4$, dont la base a pour rayon 5~cm sachant que ${\cal S}_4$ possède un volume double de celui de ${\cal S}_1$ ? \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \[\Eqalign{ {\cal V}_{{ \cal S}_1}&=\frac43\times\pi\times5^3\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_2}&=\pi\times5^2\times7\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_3}&=\frac13\times\pi\times5^2\times15\cr {\cal V}_{{ \cal S}_1}&=\frac43\times\pi\times125\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_2}&=\pi\times25\times7\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_3}&=\frac13\times\pi\times25\times15\cr {\cal V}_{{ \cal S}_1}&=\frac{500}3\times\pi~\mbox{cm}^3\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_2}&=175\pi~\mbox{cm}^3\kern1cm&{\cal V}_{{ \cal S}_3}&=125\pi~\mbox{cm}^3\cr }\] Le volume le plus grand est celui de ${\cal S}_2$ et le plus petit est celui de ${\cal S}_3$. \item On sait que ${\cal V}_{{\cal S}_4}=2\times{\cal V}_{{\cal S}_1}=\dfrac{1\,000}3\pi$ et que ${\cal V}_{{\cal S}_4}=\pi\times5^2\times h$. Donc \[\Eqalign{ \dfrac{1\,000}3\pi&=\pi\times5^2\times h\cr \dfrac{1\,000}3&=25\times h\cr \dfrac{\dfrac{1\,000}3}{25}&=h\cr \dfrac{1\,000}3\times\frac1{25}&=h\cr \frac{40}3&=h\cr }\] La hauteur $h$ recherchée est égale à $\dfrac{40}3$~cm. \end{myenumerate}