%@P:exocorcp {\em Toutes les questions sont indépendantes.} \begin{myenumerate} \item Développe le produit $(2\sqrt3+1)(\sqrt3-2)$. \item Détermine la valeur de l'expression $E=2x^2-3x+1$ pour $x=2\sqrt3$. \item Sans calculatrice, calcule \[\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt1}}}}}}\] \item {\em L'unité de longueur est le centimètre}. Soit deux triangles rectangles dont on connaît les dimensions des côtés de l'angle droit: \begin{description} \item[Triangle $\mathscr T_1$] $\sqrt5+1$ et $\sqrt5-1$; \item[Triangle $\mathscr T_2$] $2+\sqrt2$ et $2-\sqrt2$. \end{description} Ont-ils la même aire ? la même hypoténuse ? \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \begin{multicols}{2} \item \[\Eqalign{ A&=(2\sqrt3+1)(\sqrt3-2)\cr A&=2\sqrt3^2-4\sqrt3+\sqrt3-2\cr A&=6-3\sqrt3-2\cr A&=4-3\sqrt3\cr }\] \item \[\Eqalign{ E&=2\times\left(2\sqrt3\right)^2-3\times2\sqrt3+1\cr E&=2\times4\times3-6\sqrt3+1\cr E&=24-6\sqrt3+1\cr E&=25-6\sqrt3\cr }\] \end{multicols} \item \[\Eqalign{ A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+\sqrt{4}}}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{7+2}}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+\sqrt{9}}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{13+3}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+\sqrt{16}}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{21+4}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+\sqrt{25}}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{31+5}}\cr A&=\sqrt{43+\sqrt{36}}\cr A&=\sqrt{43+6}\cr A&=\sqrt{49}\cr A&=7\cr }\] \item \[\Eqalign{ \mathscr A_1&=\frac{\left(\sqrt5+1\right)\times\left(\sqrt5-1\right)}2&\mathscr A_2&=\frac{\left(2+\sqrt2\right)\times\left(2-\sqrt2\right)}2\cr \mathscr A_1&=\frac{\sqrt5^2-\sqrt5+\sqrt5+1^2}2&\mathscr A_2&=\frac{2^2-2\sqrt2+2\sqrt2-\sqrt2^2}2\cr \mathscr A_1&=\frac{5-1}2&\mathscr A_2&=\frac{4-2}2\cr \mathscr A_1&=2~\mbox{cm}^2&\mathscr A_2&=1~\mbox{cm}^2\cr }\] Les aires sont différentes. \begin{multicols}{2} \[\Eqalign{ \ell_1^2&=\left(\sqrt5-1\right)^2+\left(\sqrt5+1\right)^2\cr \ell_1^2&=5-\sqrt5-\sqrt5+1+5+\sqrt5+\sqrt5+1\cr \ell_1^2&=12\cr \ell_1&=\sqrt{12}\cr }\] \par\columnbreak\par \[\Eqalign{ \ell_2^2&=\left(2+\sqrt2\right)^2+\left(2-\sqrt2\right)^2\cr \ell_2^2&=4+2\sqrt2+2\sqrt2+2+4-2\sqrt2-2\sqrt2+2\cr \ell_2^2&=12\cr \ell_2&=\sqrt{12}\cr }\] \end{multicols} Les hypoténuses sont identiques. \end{myenumerate}