Source de chap3.tex
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ae}
\usepackage{fancybox,amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{geometry}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
%***mise en page***
\setlength{\textwidth}{17cm} \setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5.5mm}
\setlength{\evensidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{1cm}
\setlength{\headheight}{13pt} \setlength{\topmargin}{-30pt}
\setlength{\footskip}{26pt} \setlength{\headsep}{13pt}
\geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1cm }
\parindent0pt
\pagestyle{empty}
\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
chapitre 3~:\\
\shadowbox{\parbox{\textwidth}{\centering\textsc{\large Le théorème de thalès et sa réciproque.}}}\\
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] \textbf{La droite des milieux.} \\
\begin{enumerate}
\item \underline{Milieux.}\\
\parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.}
\parbox[]{5cm}{
\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps}
\end{center}}
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}
\begin{itemize}
\item $M$ est le milieu de $[AB]$.
\item $N$ est le milieu de $[AC]$.
\end{itemize}
\begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
La droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$.}
\item \underline{Longueurs.}\\
\parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux
côtés mesure la moitié du troisième côté.}
\parbox[]{5cm}{
\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps}\end{center}}
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}
\begin{itemize}
\item $M$ est le milieu de $[AB]$.
\item $N$ est le milieu de $[AC]$.
\end{itemize}
\begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
$MN=\frac{BC}{2}$.}
\item \underline{Milieux et parallèles.}\\
\parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté
et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.}
\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2.mps}\end{center}}
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}
\begin{itemize}
\item $M$ est le milieu de $[AB]$.
\item $(d)$ est parallèle à $(BC)$.
\end{itemize}
\begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
$(d)$ passe par le milieu $N$ de $[AC]$.}
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] \textbf{Le théorème de Thalès.}\\
\begin{enumerate}
\item \underline{Propriété.}\\
Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\
si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors on a~:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$\\
\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}}
\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3b.mps}\end{center}}
\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3bb.mps}\end{center}}\\
\item \underline{Calculer des longueurs.}\\
\parbox[]{11cm}{
Sur la figure ci-contre les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$. De plus, on suppose que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
On donne~: $OB=5$ cm ; $AB=3$ cm ; $OD=6$ cm ; $OC=9$ cm.\\
Calculer les longueurs $OA$ et $CD$.}
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig4.mps}\end{center}} \\
Les points $A$, $O$, $C$ sont alignés ainsi que les points $B$, $O$, $D$. De plus, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parralèles. Donc d'après le théorème de Thalès, on a~:\\
$$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.$$\\
D'où en remplaçant par les valeurs~:\\
$$\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}=\frac{3}{CD}.$$\\
On calcule les longueurs inconnues~:\\
\begin{center}
$\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}$ donc $OA=9 \times \frac{5}{6}=\frac{15}{2}=7,5$\\[0.3cm]
$\frac{3}{CD}=\frac{5}{6}$ donc $CD=\frac{6 \times 3}{5}=\frac{18}{5}=3,6$\\
\end{center}
On conclut~: $OA=7,5$ cm et $CD=3,6$ cm.\\\\
\item \underline{Vérifier si deux droites sont parallèles.}\\
\parbox[]{11cm}{
Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$.
On sait que~: $AM=11,9$ cm ; $AB=35$ cm ; $AN=18,2$ cm ; $AC=52$ cm.\\
Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?}
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig5.mps}\end{center}} \\
On calcule les rapports~:
\begin{center}
$\frac{AM}{AB}=\frac{11,9}{35}=0,34$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{18,2}{52}=0,35$\\
\end{center}
On les compare~:
\begin{center}
$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$ (car $0,34 \neq 0,35$)\\
\end{center}
On applique la propriété de Thalès~:\\
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ étaient parallèles, on aurait $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ ce qui n'est pas le cas.\\
On en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.\\\\
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}] \textbf{La réciproque du théorème de Thalès.}
\nopagebreak
\begin{enumerate}
\item \underline{Propriété.}\\
Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\
si les points $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors~:\\
Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
\item \underline{Exemple~:}\\
\parbox[]{11cm}{
Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$.
On sait que~: $AM=3,6$ cm ; $AB=6$ cm ; $AN=5,1$ cm ; $AC=8,5$ cm.\\
Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?}
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}} \\
On a~:
\begin{center}
$\frac{AM}{AB}=\frac{3,6}{6}=0,6$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{5,1}{8,5}=0,6$\\
\end{center}
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$.\\
Les points $A$, $M$, $B$ de la droite $(AB)$ et les points $A$, $N$, $C$ de la droite $(AC)$ sont dans le même ordre.\\
De plus, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$\\
D'après la réciproque du Théorème de Thalès, on en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 14 novembre 2002 (0.06s - 3643111 - 16 octobre 2008)
