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\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4
\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
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\begin{document}
 \tableofcontents
\title{%
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\Huge{\textbf{ANNALES DE MATH\'EMATIQUES}} \vskip 2cm
\LARGE{TERMINALE S} \vskip 2cm \Large{Année scolaire 1998/1999}
\vskip 4cm
\end{center}
\end{minipage}
\author{ }
\date{ }
\begin{center}
 \fig{0.8}{flamme.eps}
\end{center}
}
 \maketitle
\renewcommand{\chaptername}{}
\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}%
\chapter{Sujets du baccalaur\'eat}
\section{Sujet national 1998\label{bac98}}
\begin{center}
EXERCICE 1 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Commun \`{a} tous les candidats}\\[0pt]
\end{center}
Dans tout l'exercice, A et B \'{e}tant deux \'{e}v\'{e}nements, P(A)
d\'{e}signe la probabilit\'{e} de A ; \textit{p}(B/A) la probabilit\'{e} de B
sachant que A est r\'{e}alis\'{e}.
\begin{enumerate}
\item  Le nombre de clients se pr\'{e}sentant en cinq minutes dans une
station-service est une variable al\'{e}atoire X dont on donne la loi de
probabilit\'{e} :
\index{Loi!de probabilit\'{e}}
$p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline
\begin{tabular}
[c]{|c|ccc|}\hline
$i$ & 0 & 1 & 2\\\hline
$p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}finir et repr\'{e}senter graphiquement la fonction de
r\'{e}partition de X.
\index{Fonction!de r\'{e}partition}
\item  Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de X.
\index{Esp\'{e}rance}
\end{enumerate}
\item  Dans cette station-service, la probabilit\'{e} qu'un client ach\`{e}te
de l'essence est 0,7 ; celle qu'il ach\`{e}te du gazole est 0,3. Son choix est
ind\'{e}pendant de celui des autres clients. On consid\`{e}re les \'{e}%
v\'{e}nements suivants :\newline $\text{C}_{1}$ : \guillemotleft\ en cinq
minutes, un seul client se pr\'{e}sente \guillemotright\ ;\newline
$\text{C}_{2}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, deux clients se
pr\'{e}sentent \guillemotright\ ;\newline E\ \ : \guillemotleft\ en cinq
minutes, un seul client ach\`{e}te de l'essence \guillemotright\ ;
\begin{enumerate}
\item  Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$).
\item  Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}%
_{2}\cap\text{E}$).
\item  En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'en cinq minutes un seul client
ach\`{e}te de l'essence.
\end{enumerate}
\item  Soit Y la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de clients
achetant de l'essence en cinq minutes ; d\'{e}terminer la loi de
probabilit\'{e} de Y.\medskip
\end{enumerate}
\begin{center}
EXERCICE 2 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi
l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0pt]
\end{center}
Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct
\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline
\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (1) :
\index{Equation!complexe}
\[
\frac{z-2}{z-1}=z
\]
On donnera le module et un argument de chaque solution.
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (2) :
\[
\frac{z-2}{z-1}=i
\]
On donnera la solution sous forme alg\'{e}brique.
\item  Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et
2.\newline On suppose que M est distinct des points A et B.
\index{Module}
\index{Argument}
\begin{enumerate}
\item  Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de
${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$.
\item  Retrouver g\'{e}om\'{e}triquement la solution de l'\'{e}quation (2).
\index{Interpr\'{e}tation!g\'{e}om\'{e}trique}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer, \`{a} l'aide d'une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique, que
toute solution de l'\'{e}quation dans~$\mathbb{C}$~:
\[
\left(  \frac{z-2}{z-1}\right)  ^{n}=i
\]
o\`{u} $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul donn\'{e}, a pour partie
r\'{e}elle ${\displaystyle\frac{3}{2}}$.
\item  R\'{e}soudre alors dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (3) :
\[
\left(  \frac{z-2}{z-1}\right)  ^{2}=i
\]
On cherchera les solutions sous forme alg\'{e}brique.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
PROBLEME (\textit{10 points)}\\[0pt]
\end{center}
Les trac\'{e}s de courbes seront faits dans un plan rapport\'{e} \`{a} un
rep\`{e}re orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}
\ (unit\'{e} : 2 cm).
On rappelle qu'une fonction $f$ est major\'{e}e par une fonction $g$ (ce qui
signifie aussi que $g$ est minor\'{e}e par $f$) sur un intervalle I si et
seulement si, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)\leqslant g(x)$%
.\newline
\index{Fonction!major\'{e}e}
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
Soit $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
${\displaystyle f(x)=\ln(1+x)}$ et ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+2}}$ ; on
notera C la repr\'{e}sentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$.
On se propose de d\'{e}montrer que $f$ est minor\'{e}e par $g$ sur
$[0;+\infty\lbrack$.
\index{Fonction!minor\'{e}e}
Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
$h(x)=f(x)-g(x)$.
\begin{enumerate}
\item  Etudier le sens de variation de $h$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ ;
calculer $h(0)$. (L'\'{e}tude de la limite de $h$ en $+\infty$ n'est pas
demand\'{e}e.)
\item  En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul,
{(1)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}$}
\item  Construire dans le m\^{e}me rep\`{e}re les courbes C et $\Gamma$ et
montrer qu'elles admettent en O une m\^{e}me tangente D que l'on tracera.
\index{Tangente}(On justifiera rapidement le trac\'{e} de ces courbes).
\end{enumerate}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
$k$ d\'{e}signant un r\'{e}el strictement positif, on se propose de
d\'{e}terminer toutes les fonctions lin\'{e}aires $x\mapsto kx$, majorant la
fonction : $f:x\mapsto\ln(1+x)$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$.
Soit $f_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par
$f_{k}(x)=\ln(1+x)-kx$.
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le sens de variation de $f_{1}$ d\'{e}finie sur
$\lbrack0;+\infty\lbrack$ par :
\[
f_{1}(x)=\ln(1+x)-x
\]
\item \'{E}tudier la limite de $f_{1}$ en $+\infty$ et donner la valeur de
$f_{1}$ en $0$.
\item  Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul :
{(2)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\ln(1+x)\leqslant x}$}.
\item  En d\'{e}duire que si $k\geqslant1$, alors : pour tout $x\geqslant0,
f(x)\leqslant kx$
\item  Le r\'{e}el $k$ v\'{e}rifie les conditions : $0<k<1$.\newline Montrer
que la d\'{e}riv\'{e}e de $f_{k}$ s'annule pour ${\displaystyle x=\frac
{1-k}{k}}$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f_{k}$. (L'\'{e}tude de la
limite de $f_{k}$ en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e.)
\item  En d\'{e}duire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour
tout $x\geqslant0,$%
\[
f(x)\leqslant kx
\]
\medskip
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer :
\index{Int\'{e}gration!par parties}
\[
\text{I}=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx.
\]
(On remarquera \'{e}ventuellement que : ${\displaystyle\frac{x}{x+2}%
=1-\frac{1}{1+x}}$).\newline En d\'{e}duire le calcul de ${\displaystyle
\text{J}=\int_{0}^{1}\left(  x-\ln(1+x)\right)  dx}$ \ puis de
\ ${\displaystyle\text{K}=\int_{0}^{1}\left(  \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right)
dx}$.\newline Pour le calcul de K on pourra v\'{e}rifier que ${\displaystyle
\frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{2+x}}$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}%
om\'{e}triquement les valeurs des int\'{e}grales J et K en utilisant les
courbes C, $\Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie A.
\index{Aire}
\item  Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;1\rbrack$ de la fa\c
{c}on suivante :
\[
u(0)=1 \text{\quad et si\ } x\neq0,\quad u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.
\]
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la fonction $u$ est continue sur $\lbrack0;1\rbrack$.
\item  On pose :
\[
\text{L}=\int_{0}^{1}u(x)dx.
\]
En utilisant les in\'{e}galit\'{e}s (1) et (2) obtenues dans les parties A et
B, montrer que :
\[
\int_{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant L\leqslant1.
\]
En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de L \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s.
\index{Encadrement}
\index{Valeur!approch\'{e}e}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Sujet exp\'erimental 1998}
\begin{center}
\textbf{Premi\`{e}re partie avec calculatrice \\[0pt]Probl\`{e}me (11 points)}
\end{center}
\textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire
pour traiter la partie C.}
On consid\`{e}re la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par
\[
f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^{2}%
\]
on note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x$.\newline Dans un rep\`{e}re
orthogonal donn\'{e}, on appelle $\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de
$f$, $\Gamma^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et
$\Delta$ celle de $g$.\newline
\index{Fonction!logarithme}
Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$
compris entre $0$ et $5$.
\textbf{A - Etude de $f$}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$.
\item  Montrer que
\[
f^{\prime}(x)=(1-\frac{2}{x})(1+\ln x)
\]
\item  En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.
\item  Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions.
\newline Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions
non enti\`{e}res.
\end{enumerate}
\textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$}
\begin{enumerate}
\item  Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant
en donnant les r\'{e}sultats \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s.\newline
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ &
$J$\\\hline
$x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ &
$7$\\\hline
$f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
\end{tabular}
\item  On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la
droite $\Delta$ pour\newline $0<x<7$. Que peut-on, \`{a} l'aide de sa
calculatrice, conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui
permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice
utilis\'{e}e).
\index{Calculatrice}
\item  On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$
appartenant \`{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ;
+\infty[$.
\item  En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \`{a}
$[7 ; +\infty[$.
\item  Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur
$[7;+\infty\lbrack$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction
$h$ d\'{e}finie sur $[7;+\infty\lbrack$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ).
\end{enumerate}
\textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.}
\item  Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un
nombre entier $a$ tel que $a<\alpha<a+5$. \newline Sur papier millim\'{e}%
tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10$ $cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline Le sommet
inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es $(a;2a)$ et
le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es $(a+5;2(a+5))$%
.\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$. \newline Mettre le
nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en donner une valeur
approch\'{e}e.
\end{enumerate}
\textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}.
\index{Probabilit\'{e}}}
Dans cette partie, on se r\'{e}f\`{e}re au tableau des valeurs construit dans
la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes.
\newline Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables.
\begin{enumerate}
\item  On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\`{e}re, et on
les relie \`{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue
(par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$).
\begin{enumerate}
\item  Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi
?\newline ($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e)
\item  On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la
probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}
\item  On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant
l'ordre de leurs abscisses croissantes, \`{a} l'aide de segments formant une
ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne
qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi).
\item  On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple
$BCDEF$).
\begin{enumerate}
\item  Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ?
\item  On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq
points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \`{a} l'aide de
segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est
la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$)
:}
\begin{center}
\fig{0.5}{fig2.eps}%
\end{center}
\textbf{Seconde partie sans calculatrice}
\end{center}
\textbf{Exercice 1 (4 points) }
Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, par
\[
f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}%
\]
et repr\'{e}sent\'{e}e dans le rep\`{e}re de la figure 1.
\index{Fonction!exponentielle}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_{+}$.
\item  Soit la suite $(U_{n})$ d\'{e}finie pour $n>0$ par :
\index{Suite}
\[
U_{n}=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx
\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.
\item  Que repr\'{e}sente graphiquement le nombre $U_{n}$ ?
\end{enumerate}
\item  Montrer que $\left(  U_{n}\right)  $ est une suite d\'{e}croissante
positive.\newline Calculer la limite de cette suite.
\item  On pose $S_{n} = U_{1}+U_{2}+ ... +U_{n}$
\begin{enumerate}
\item  Calculer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et exprimer $S_{n}$ en fonction de
$n$.
\item  D\'{e}terminer $\lim_{n \to+ \infty}S_{n} $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Exercice 2 (5 points) }\newline Le plan complexe est rapport\'{e}
\`{a} un rep\`{e}re $(O;\vec{u};\vec{v})$ orthonorm\'{e} direct.\newline
(Unit\'{e} graphique $4cm$).\newline On d\'{e}signe par $\theta$ un nombre
r\'{e}el tel que $-\pi<\theta<\pi$.\newline On appelle $A$, $M$ et $N$ les
points d'affixes respectives $1$, $e^{i\theta}$ et $1+e^{i\theta}$.\newline
\index{Exponentielle!complexe}On d\'{e}signe par $(C)$ le cercle de centre $O
$ et de rayon $1$, et par $(C^{\prime})$ le cercle de centre $A$ et de rayon
$1$.
\begin{enumerate}
\item  Tracer $(C)$ et $(C^{\prime})$, et placer $A$, $M$ et $N$ dans le cas
ou $\theta=\frac{\pi}{6}$.
\item  Montrer que $N$ appartient \`{a} $(C^{\prime})$ et donner la nature du
triangle $OANM$. D\'{e}terminer un argument de $1+e^{i\theta}$.
\index{Argument}
\item $u=1+e^{i\theta}$ avec $- \pi< \theta< \pi$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation :
\[
z^{2}-(2+2\cos\theta)z + 2 + 2 \cos\theta= 0
\]
En d\'{e}duire la seconde solution de cette \'{e}quation.
\item  Quelle sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation
$z^{2}-3z+3=0$ ?
\end{enumerate}
\item  On consid\`{e}re l'\'{e}quation $(E)$ : $z^{2}-az+a=0$ o\`{u} $a$ est
un nombre r\'{e}el tel que $0<a\leqslant4$. On nomme $R$ le point d'affixe
$a$, et $T$ le milieu de $[OR]$.\newline La perpendiculaire \`{a} l'axe
r\'{e}el passant par $T$ coupe $(C^{\prime})$ en deux points $U$ et
$U^{\prime}$.\newline Montrer que les affixes de $U$ et de $U^{\prime}$ sont
les solutions de $(E) $.
\index{Affixe}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Figure 1 (courbe repr\'{e}sentative de $f$) :}\\[0pt]%
\begin{center}
\fig{0.5}{fig3.eps}%
\end{center}
\end{center}
\section{Guadeloupe 1998}
\begin{center}
EXERCICE I (4 points )
\end{center}
Un jeu de dominos est fabriqu\'{e} avec les sept couleurs : \emph{violet,
indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases
portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois
sur le m\^{e}me domino : c'est un double.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le jeu comporte 28 dominos diff\'{e}rents. Les 28 dominos,
indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
\item  On tire simultan\'{e}ment trois dominos du sac.
\index{Tirage!simultan\'{e}}\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir
exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?
\item  Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la
probabili\-t\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants :
\index{Probabilit\'{e}}
\begin{enumerate}
\item  J$_{2}$ : \guillemotleft\ Lejaune figure deux fois \guillemotright
\item  J$_{1}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure une seule fois \guillemotright
\item  J : \guillemotleft\ Le jaune figure au moins une fois \guillemotright
\end{enumerate}
\item  On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant \`{a} chaque
tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le
domino tir\'{e} et de proc\'{e}der au tirage suivant ; les tirages sont
ind\'{e}pen\-dants.\newline Calculer, en fonction de $n$, la probabilit\'{e}
p$_{n}$, que J soit r\'{e}alis\'{e} au moins une fois. \newline Calculer la
plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle p$_{n}\geqslant
0,99.\medskip$
\end{enumerate}
\begin{center}
EXERCICE II (5 points )
\end{center}
\textbf{Partie A}
On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ de la variable complexe $z$ d\'{e}fini
par :
\index{Polyn\^{o}me!complexe}
\[
P\left(  z\right)  =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer $P\left(  i\right)  $ et $P\left(  -i\right)  .$
\item  Montrer qu'il existe un polyn\^{o}me $Q$ du second degr\'{e}, que l'on
d\'{e}terminera, tel que :
\[
\text{Pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left(  z\right)  =\left(
z^{2}+1\right)  Q\left(  z\right)
\]
\end{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'{e}quation
$P\left(  z\right)  =0.$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ (unit\'{e} graphique $2$ cm).
\begin{enumerate}
\item  Placer dans ce rep\`{e}re les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes
respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}$ et $z_{D}=-\sqrt{3}%
-2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de
diam\`{e}tre $\left[  CD\right]  .$
\index{Affixe}
\item  Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en
$D.$ Calculer une valeur enti\`{e}re approch\'{e}e \`{a} un degr\'{e} pr\`{e}s
d'une mesure de l'angle de cette rotation.
\index{Rotation}
\item  Calculer, sous forme alg\'{e}brique, puis sous forme trigonom\'{e}%
trique, le rapport :
\[
\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}%
\]
Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et l'argument de ce rapport.
\index{Module}
\index{Argument}\medskip
\end{enumerate}
\begin{center}
PROBLEME (11 points)
\end{center}
\textbf{Partie A : Etude de fonctions}
On consid\`{e}re les fonctions $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}$ d\'{e}finies sur
$\mathbb{R}$ par :
\[
f_{1}\left(  x\right)  =\left(  x+1\right)  e^{-x}\quad f_{2}\left(  x\right)
=-xe^{-x}\quad f_{3}\left(  x\right)  =\left(  x-1\right)  e^{-x}%
\]
On appelle $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3}$ leurs courbes repr\'{e}sentatives
respectives dans un rep\`{e}re orthogonal
\index{Fonction!exponentielle} $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $
du plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont donn\'{e}es sur le graphique
ci-dessous.%
\begin{center}
\fig{0.5}{fig7.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  Etude de la fonction $f_{1}.$
\begin{enumerate}
\item  Calculer la d\'{e}riv\'{e}e $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et \'{e}tudier
son signe. En d\'{e}duire les variations de $f_{1}.$
\item  D\'{e}terminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$
\item  Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$
\end{enumerate}
\item  Etude graphique.
\begin{enumerate}
\item  Identifier sur la figure donn\'{e}e les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et
placer sur le dessin le rep\`{e}re $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath
}\right)  .$
\item  Etudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$
\item  Tracer $C_{1}$ dans le m\^{e}me rep\`{e}re que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur
la figure fournie.
\end{enumerate}
\item  Etude d'\'{e}quations diff\'{e}rentielles.
\index{Equation!diff\'{e}rentielle}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f_{1}$ est solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle
:
\[
\left(  E_{1}\right)  \quad y^{\prime}+y=e^{-x}%
\]
\item  Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'\'{e}quation diff\'{e}%
rentielle :
\[
\left(  E_{2}\right)  \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0
\]
\item  D\'{e}terminer toutes les solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}%
rentielle $\left(  E_{2}\right)  .$ En d\'{e}duire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont
aussi des solutions de $\left(  E_{2}\right)  .$
\item  Parmi les solutions de $\left(  E_{2}\right)  ,$ quelles sont celles
qui sont aussi solutions de $\left(  E_{1}\right)  $ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Etude d'aires li\'{e}es \`{a} }$C_{1}$\textbf{\ et }$C_{2}.$
Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$
d'abscisse $n\ln2.$ On pose :
\[
f\left(  x\right)  =f_{1}\left(  x\right)  -f_{3}\left(  x\right)
\]
pour tout $x$ r\'{e}el.
\index{Calcul!d'aire}
\begin{enumerate}
\item  Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan
limit\'{e} par la courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[
M_{n},P_{n}\right]  $ et $\left[  M_{n+1}P_{n+1}\right]  $ pour $n>0.$ $P_{n}$
et $P_{n+1}$ sont les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et
$M_{n+1}$ sur $\left(  O;\vec{\imath}\right)  .$
\item  Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $V_{n}$ du trap\`{e}ze
$P_{n}M_{n}M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n>0.$ Montrer que le rapport $\frac{V_{n}%
}{U_{n}}$ est constant.
\index{Trap\`{e}ze}
\end{enumerate}
\section{Polyn\'esie 1998}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)}
\textbf{\\[0pt]}
\end{center}
Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires.\newline On tire au hasard une boule de
l'urne A :
\begin{itemize}
\item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,
\item[$\bullet$] sinon, on l'\'{e}carte du jeu.
\end{itemize}
On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On consid\`{e}re les
\'{e}v\'{e}n\'{e}ments suivants :
R$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est rouge
\guilsinglright\guilsinglright
N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est noire
\guilsinglright\guilsinglright
R$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est rouge
\guilsinglright\guilsinglright
N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est noire
\guilsinglright\guilsinglright
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements ${R_{1}}$ et
${N_{1}}$.
\index{Probabilit\'{e}}
\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements \guilsinglleft
\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \guilsinglright\guilsinglright\ et
\guilsinglleft\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright
\guilsinglright. En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de ${R_{2}}$ est de
${\displaystyle\frac{27}{50}}$.
\item  Calculer la probabilite de ${N_{2}}$.
\end{enumerate}
\item  On r\'{e}p\`{e}te $n$ fois l'\'{e}preuve pr\'{e}c\'{e}dente (tirage
d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes
conditions initiales indiqu\'{e}es ci-dessus), en supposant les diff\'{e}%
rentes \'{e}preuves ind\'{e}pendantes.\newline
Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilit\'{e}
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit sup\'{e}rieure
\`{a} 0,99 ?\bigskip
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2}{\ ( 5 points)\medskip}
\end{center}
Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ ( unit\'{e} graphique 2 cm
). On note A le point d'affixe 1 et B le point
\index{Affixe}d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \`{a}
tout point M distinct de A et d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe
$z^{\prime}$ d\'{e}finie par
\index{Application!complexe}
\[
{z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}%
\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points
O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan.
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le produit
\[
\left(  z^{\prime}-1\right)  \left(  z-1\right)
\]
\item  En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a :
\[
\text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left(  \overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{\text{AM}}\right)  +\left(  \overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{\text{AM'}}\right)  \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi
,\;k\in\mathbb{Z}%
\]
\end{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant
par O, alors M' appartient \`{a} un cercle ($C^{\prime}$). En pr\'{e}ciser le
centre et le rayon.
\index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime}$).
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow
{\strut\text{AB}})}$.
\index{Angle}
\item  D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d
$) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \`{a} une demi-droite que
l'on pr\'{e}cisera.
\index{Demi-droite}
\end{enumerate}
\item  On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la
demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip
\end{enumerate}
\begin{center}
\vspace{0.5cm}\textbf{PROBLEME}{\ (10 points)}\\[0pt]
\end{center}
\textbf{Partie A : R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle
\index{Equation!diff\'{e}rentielle}}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les fonctions d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ solutions de
l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{1}$) :\newline
\[
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.
\]
(\textbf{Remarque :} Cette question est d\'{e}sormais hors programme, voir la
fin du probl\`{e}me pour de plus amples informations).
\item  On consid\`{e}re l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{2}$):
\[
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=x+3.
\]
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que la fonction $p$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par
$p(x)=x+1$ est solution de (E$_{2}$).
\item  D\'{e}montrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$) si, et
seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$).
\item  D\'{e}duire de \textbf{1.} et \textbf{2.(b)} les solutions de (E$_{2}$)
\item  D\'{e}terminer la solution g\'{e}n\'{e}rale de (E$_{2}$) qui
v\'{e}rifie :\newline
\[
g(0)=1 \quad\text{et} \quad g^{\prime}(0)=2.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : \'{E}tude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et
courbe repr\'{e}sentative}\newline
On appelle $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0,$+\infty$[ par :
\[
f(x)=x+1+xe^{-x}.
\]
On note ($\mathcal{C}$) la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan muni
du rep\`{e}re orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$
\ (unit\'{e} graphique 2 cm).
\index{Fonction!exponentielle}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signant respectivement les
d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}re et seconde de $f$, calculer, pour tout r\'{e}el
$x$, $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$.
\item  Etudier le sens de variation de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$.
\item  D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)>0$.
\item  Calculer la limite de $f$ en +$\infty$.
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'\'{e}quation $y=x+1$ est
asymptote \`{a} ($\mathcal{C}$) et pr\'{e}ciser la position relative de
($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$).
\index{Position!relative}
\item  La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente
parall\`{e}le \`{a} la droite ($\mathcal{D}$).\newline D\'{e}terminer les
coordonn\'{e}es de A.
\end{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que l'\'{e}quation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[
une unique solution not\'{e}e $\alpha$ , puis v\'{e}rifier que $0<\alpha<1$.
\item
\begin{enumerate}
\item  Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A d\'{e}fini au
\textbf{2.(b)}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A \`{a} la courbe
($\mathcal{C}$).
\index{Tangente}
\item  Donner par lecture graphique une valeur approch\'{e}e de $\alpha$.
\index{Valeur!approch\'{e}e}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie C : Recherche d'une approximation d\'{e}cimale de
\boldmath{$\alpha$} \unboldmath}\newline
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, sur [0,$+\infty$[, l'\'{e}quation : $f(x)=2$
\'{e}quivaut \`{a} l'\'{e}quation :
\[
{\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}%
\]
\item  On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0 , 1] par :
\[
h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1]
et r\'{e}aliser le tableau de variations de la fonction $h$.
\item  En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], $h(x)$
appartient \`{a} [0 , 1].
\item  Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle
[0 , 1] ; \'{e}tudier le sens de variations de $h^{\prime}$.
\index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde}
\item  En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1],
\[
{0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}%
\]
\end{enumerate}
\item  On d\'{e}finit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$%
\[
{\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
u_{0}=0\\
u_{n+1}=h(u_{n})
\end{array}
\right.  }%
\]
pour tout entier naturel $n$.
\index{Suite!r\'{e}currente}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient
\`{a} l'intervalle [0 , 1].
\item  D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$,
\[
{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}%
\]
\item  En d\'{e}duire que, pour tout entier naturel $n$,
\[
{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left(  \frac{1}{4}\right)  ^{n}}%
\]
puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.
\item  D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur
approch\'{e}e \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s de $\alpha$ et, \`{a} \`{a} l'aide de
la calculatrice, proposer une approximation d\'{e}cimale de $u_{p}$ \`{a}
$10^{-6}$ pr\`{e}s. Que peut-on en d\'{e}duire pour $\alpha$ ?
\index{Valeur!approch\'{e}e}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Remarque :} La question \textbf{A.1.} n'est plus au programme. Nous
admettrons, pour traiter la suite de la \textbf{partie A}, que les solutions
de l'\'{e}quation (E$_{1}$) sont les fonctions ${\displaystyle x\mapsto
(Ax+B)e^{-x}}$ \quad(A et B \'{e}tant des constantes r\'{e}elles).
\section{Centres\'etrangers 1998}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 }(4 points)\textbf{\ }\\[0pt]
\end{center}
Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au
toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier sup\'{e}rieur ou
\'{e}gal \`{a} 1) d'une boule en respectant la r\`{e}gle suivante : si la
boule tir\'{e}e est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on
ne la remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont
ind\'{e}pendantes.\newline \textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$.
On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}%
ductibles.\newline Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$
l'\'{e}v\'{e}nement \newline
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
seule la $k$ i\`{e}me boule tir\'{e}e est blanche%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$ est
$\displaystyle{p(E_{1})=\frac{5}{36}}$.
\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements $E_{2}$ et $E_{3}
$.\newline
\index{Probabilit\'{e}}En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'on ait tir\'{e}
une seule boule blanche \`{a} l'issue des 3 tirages.
\item  Sachant que l'on a tir\'{e} exactement une boule blanche, quelle est la
probabilit\'{e} que cette boule blanche ait \'{e}t\'{e} tir\'{e}e en dernier ?
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages.
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer, en fonction de n, la probabilit\'{e} $p_{n}$ de tirer
au moins une boule blanche en $n$ tirages.
\item  Quelles valeurs faut-il donner \`{a} $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ?\medskip
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2} ( 5 points)\medskip
\end{center}
Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$.\newline L'unit\'{e} graphique
est de 3 cm.\newline On consid\`{e}re les points $B,C,D,E$ d\'{e}finissant le
carr\'{e} de sens direct $BCDE$ d'affixes respectives :
\[
b=1-i\qquad c=-1-i\qquad d=-1-3i\qquad e=1-3i
\]
\begin{enumerate}
\item  Calculer
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
b%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
c%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
d%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
,
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
e%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}%
%BeginExpansion
$\vert$%
%EndExpansion
.
\index{Module}
\item  Soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ passant par $B$.
\index{Cercle}\newline D\'{e}terminer une \'{e}quation du cercle $\Gamma
$.\newline On consid\`{e}re $Q$ un point de $\Gamma$ distinct de $B$ et de
$C$.\newline L'affixe de $Q$ est not\'{e}e $q=x+iy$ ( avec $x$ et $y$
r\'{e}els ).
\item  Soient $F$ et $G$ les points du plan tels que $QBFG$ soit un carr\'{e}
de sens direct, c'est \`{a} dire tels que : $\left(  \overrightarrow
{QB\;},\overrightarrow{QG\;}\right)  =\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$%
.\newline On pose $\displaystyle{Z=\frac{g-q}{b-q}}$ o\`{u} $g$ est l'affixe
du point $G$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un
argument de $Z$. En d\'{e}duire $Z$.
\index{Argument}
\item  Prouver que : $g=(1+x+y)+i(1-x-y)$. En d\'{e}duire $|g|$ en fonction de
$x$ et de $y$.
\item  En utilisant la question 2. exprimer $|g|$ en fonction de y.
\item  A l'aide de consid\'{e}rations g\'{e}om\'{e}triques, prouver que :
$|f|=|g|$, $f$ \'{e}tant l'affixe du point $F$.
\item  Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points $E$, $D$, $G$, et $F$
sont-ils sur un cercle de centre $O$ ?\newline Pr\'{e}ciser le rayon de ce
cercle. En d\'{e}duire alors la nature du triangle $QBC$.\medskip
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{PROBLEME }(11 points)\medskip
\end{center}
Le but du probl\`{e}me est l'\'{e}tude d'une fonction $g_{k}$ o\`{u} $k$ est
un r\'{e}el fix\'{e} qui v\'{e}rifie : $0<k<e$.\newline Dans la partie
\textbf{A} on met en \'{e}vidence certaines propri\'{e}t\'{e}s d'une fonction
$f$ qui seront utilis\'{e}es dans la partie \textbf{B}.\newline \textbf{Partie
A}\newline Soit $f$ la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur
$\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=(2-x)e^{x}-k
\]
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\index{Fonction!exponentielle}
\item  Calculer $f^{\prime}(x)$. En d\'{e}duire le tableau de variation de $f
$. Calculer $f(1)$.
\item
\begin{enumerate}
\item \'Etablir que l'\'{e}quation $f(x)=0$ a deux solutions, une not\'{e}e
$\alpha_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]-\infty, 1[$ et l'autre
not\'{e}e $\beta_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]1 , +\infty[$.
\item  Montrer que :
\[
{e^{\alpha_{k}}-k\alpha_{k}=(e^{\alpha_{k}}-k)(\alpha_{k}-1)}\newline
\]
On d\'{e}montrerait de m\^{e}me que $\beta_{k}$ v\'{e}rifie l'\'{e}galit\'{e}
:
\[
{e^{\beta_{k}}-k\beta_{k}=(e^{\beta_{k}}-k)(\beta_{k}-1)}%
\]
\end{enumerate}
\item  Pr\'{e}ciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\newline
\begin{enumerate}
\item  Soit u la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur
$\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^{x}-kx$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le sens de variation de $u$.
\item  On rappelle que $0<k<e$. Justifier la propri\'{e}t\'{e} suivante
:\newline \centerline{pour tout réel $x$, $e^{x}-kx>0$.}
\end{enumerate}
\item  Soit $g_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
{g_{k}(x)=\frac{e^{x}-k}{e^{x}-kx}}%
\]
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $g_{k}$
dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthogonal.
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la limite de $g_{k}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item  Prouver que : $\displaystyle{g^{\prime}_{k}(x)=\frac{k\;f(x)}%
{(e^{x}-kx)^{2}}}$.
\item  En d\'{e}duire le tableau de variation de $g_{k}$. Calculer $g_{k}(1)$.
\end{enumerate}
\item  On nomme $M_{k}$ et $N_{k}$ les points de la courbe $\mathcal{C}_{k}$
d'abscisses respectives $\alpha_{k}$ et $\beta_{k}$.
\begin{enumerate}
\item  En utilisant la question \textbf{3}.b)(\textbf{Partie A}), montrer que
:
\[
{g_{k}(\alpha_{k})=\frac{1}{\alpha_{k}-1}}%
\]
\item  Donner de m\^{e}me $g_{k}(\beta_{k})$.
\item  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que lorsque $k$ varie les
points $M_{k}$ et $N_{k}$ sont sur une courbe fixe $\mathcal{H}$ dont on
donnera une \'{e}quation.
\end{enumerate}
\item \textbf{Repr\'{e}sentations graphiques pour des valeurs particuli\`{e}%
res de k}
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et
$\mathcal{C}_{2}$.
\index{Position!relative}
\item  Prouver que $\alpha_{2}=0$.
\item  En prenant comme unit\'{e}s 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur
l'axe des ordonn\'{e}es, construire les courbes $\mathcal{C}_{1}$,
$\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{H}$ sur un m\^{e}me graphique.\newline On
prendra $\alpha_{1}=-1,1$ ; $\beta_{1}=1,8$ ; $\beta_{2}=1,6$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Pondich%
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ery 1998}
\begin{center}
\vspace{0cm}\noindent\textbf{EXERCICE I }( 4 points )
\end{center}
\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges
et sept boules noires.\newline On extrait simultan\'{e}ment deux boules de
cette urne ; on consid\`{e}re que tous les tirages sont \'{e}quiprobables.
\index{Probabilit\'{e}}
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Quelle est la probabilit\'{e} $p_{1}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient rouges~?
\item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{2}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient noires~?
\item[\textbf{c.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{3}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient de m\^{e}me couleur~?
\item[\textbf{d.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{4}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient de couleurs diff\'{e}rentes~?
\end{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On dispose aussi d'une deuxi\`{e}me urne U$_{2}$ contenant
quatre boules rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux
boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous
les tirages sont \'{e}quiprobables.\newline On consid\`{e}re les \'{e}%
v\'{e}nements suivants :\newline R~:
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~Les boules tir\'{e}es sont rouges~%
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;\newline D~:
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Les trois boules tir\'{e}es ne sont pas toutes de la m\^{e}me couleur
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;\newline B~:
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La boule tir\'{e}e dans l'urne U$_{2}$ est rouge
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.
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement R.
\item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} de tirer trois boules de
m\^{e}me couleur~?
\item[\textbf{c.}] Calculer la probabilit\'{e} conditionnelle $p_{D}$(B) de
l'\'{e}v\'{e}nement B sachant que l'\'{e}v\'{e}nement D est r\'{e}%
alis\'{e}.\newline
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\noindent\textbf{EXERCICE II ( 5 points)}\\[0pt]
\end{center}
On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, o\`{u} $z$
est un nombre complexe.
\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que :
\index{Polyn\^{o}me!complexe}
\[
\mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20).
\]
\item[\textbf{2.}] R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$.
\item[\textbf{3.}] Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, les images M, N, P et Q des
nombres complexes respectifs $m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$.
\item[\textbf{4.}]
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K.
\item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le
rectangle en K.
\index{Triangle!isoc\`{e}le}
\end{enumerate}
\item[\textbf{5.}]
\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L,
quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL.
\item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.
\item[\textbf{c.}] Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de
centre R. \\[0,3cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\vspace{0cm}\textbf{\noindent PROBLEME} ( 11 points)\\[0pt]
\end{center}
On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\ ;\ +\infty\lbrack$ par
\[
f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}%
\]
\newline On d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe
\index{Fonction!exponentielle} repr\'{e}sentative dans le plan rapport\'{e}
\`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $
; unit\'{e} graphique : 4 cm.\newline \textbf{Partie A}\newline
\textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la
fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par
$g(x)=x+2-e^{x}.$
\index{Fonction!auxiliaire}
\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]\'{E}tudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,