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%$f\left( x\right) =\ln x-2-\frac{1}{x}\ln x+\frac{2}{x}$
%$F\left( x\right) =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt$
%}
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\begin{document}

\title{%
%TCIMACRO{\TeXButton{TITRE}{\begin{minipage}{15cm}
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\date{Ann\'{e}e scolaire 1999/2000}
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eat}

\section{Remplacement 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1} (\textit{4 points})\\[0pt]
\end{center}

Dans tout l'exercice, on donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions
irr\'{e}ductibles. \newline Une urne contient trois boules noires et une boule
blanche. On consid\`{e}re l'exp\'{e}rience suivante :\newline On lance un
jeton parfaitement \'{e}quilibr\'{e}, pr\'{e}sentant une face noire et une
face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule
blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule
noire dans l'urne.\newline Puis on tire simultan\'{e}ment, et au hasard, trois
boules de l'urne.

\begin{enumerate}
\item [1.]On appelle $E_{0}$ l'\'{e}v\'{e}nement : aucune boule blanche ne
figure parmi les trois boules tir\'{e}es et $B$ l'\'{e}v\'{e}nement : le jeton
est tomb\'{e} sur la face blanche.
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item [a)]Calculer P ($E_{0} \cap B$), P ($E_{0} \cap\overline{B}$), puis P
($E_{0}$).

\item[b)] On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans
ce tirage. Quelle est la probabilit\'{e} que le jeton soit tomb\'{e} sur la
face noire ?
\end{enumerate}

\item[2.] On appelle $E_{1}$ l'\'{e}v\'{e}nement : une boule blanche et une
seule figure parmi les trois boules tir\'{e}es et $B$ l'\'{e}v\'{e}nement : le
jeton est tomb\'{e} sur la face blanche.

\begin{enumerate}
\item [a)]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$.

\item[b)] On effectue successivement quatre fois l'exp\'{e}rience d\'{e}crite
au d\'{e}but, qui consiste \`{a} lancer le jeton, puis \`{a} tirer les trois
boules de l'urne.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une
fois une et une seule boule blanche ?\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points})\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas
suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0.3cm]
\end{center}

Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O ;\
\vect{u},\vect{v}\right)$}$ (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On note
$Z_{M}$ l'affixe du point $M$.
\index{Affixe}\newline Soit $A$ le point d'affixe $4$ et $B$ le point d'affixe
$4i$.\newline

\begin{enumerate}
\item [1.]Soit $\theta$ un r\'{e}el de $[0,\ 2\pi\lbrack$ et $r$ un r\'{e}el
strictement positif.\newline On consid\`{e}re le point $E$ d'affixe
$re^{i\theta}$ et $F$ le point tel que $OEF$ est un triangle rectangle
\index{Triangle!rectangle} isoc\`{e}le v\'{e}rifiant $(\overrightarrow{\strut
OE},\ \overrightarrow{\strut OF})=\displaystyle\frac{\pi}{2}$.\newline Quelle
est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ?

\item[2.] Faire une figure et la compl\'{e}ter au fur et \`{a} mesure de
l'exercice. On choisira, uniquement pour cette figure :
\[
\theta= \displaystyle\frac{5\pi}{6}\ \text{et}\ r=3.
\]

\item[3.] On appelle $P$, $Q$, $R$, $S$ les milieux respectifs des segments
$[AB]$, $[BE]$, $[EF]$, $[FA]$.
\index{Milieu}

\begin{enumerate}
\item [a)]Prouver que $PQRS$ est un parall\`{e}logramme.
\index{Parall\'{e}logramme}

\item[b)] On pose : $Z=\displaystyle\frac{Z_{R}-Z_{Q}}{Z_{Q}-Z_{P}}.$%
\newline D\'{e}terminer le module et un argument de Z. En d\'{e}duire que
$PQRS$ est un carr\'{e}.
\index{Module}
\index{Argument}
\index{Carr\'{e}}
\end{enumerate}

\item[4.]

\begin{enumerate}
\item [a)]Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives
des points $P$ et $Q$.

\item[b)] Quelle est, en fonction dr $r$ et $\theta$, l'aire du carr\'{e}
$PQRS$ ?

\item[c)] $r$ \'{e}tant fix\'{e}, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire
est-elle maximale ?\newline
\index{Aire}Quelle est alors l'affixe de $E$ ?\\[0.3cm]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBL\`{E}ME} (\textit{11 points})\\[0.3cm]
\end{center}

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $]0,\ +\infty\lbrack$ par
$f(x)=\displaystyle\frac{(\ln x)^{2}}{x}.$
\index{Fonction!logarithme}\newline On appelle $\mathcal{C}$ la repr\'{e}%
sentation graphique de $f$, dans un rep\`{e}re orthogonal $\mbox
{$\left(O;\  \vect{i},\vect{j}\right)$}$ du plan (unit\'{e}s graphiques : 1 cm
sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonn\'{e}es).

\textbf{\underline{Partie I}}

\begin{enumerate}
\item [1.]D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0$.
\index{Limite}

\item[2.] Calculer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $x$.\newline Montrer que
$f^{\prime}(x)$ a le m\^{e}me signe que $\ln x\ (2 - \ln x)$.\newline
D\'{e}terminer le sens de variation de $f$ sur $]0,\ + \infty[$.

\item[3.] Tracer la repr\'{e}sentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ dans
$\mbox{$\left(O;\  \vect{i},\vect{j}\right)$}$.

\item[4.] On pose pour $p \geqslant1,\ I_{p} = \displaystyle{\int_{\,1}
^{\,e^{2}} \displaystyle\frac{(\ln x)^{p}}{x^{2}} \mathrm{d}x}.$

\begin{enumerate}
\item [a)]\`{A} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer :
\index{Int\'{e}gration!par parties} $I_{1}=\displaystyle{\int_{\,1}^{\,e^{2}%
}\displaystyle\frac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x}.$

\item[b)] Prouver, en effectuant une int\'{e}gration par parties, que pour
tout entier $p$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $1$ :
\[
I_{p+1} = - \displaystyle\frac{2^{\,p+1}}{e^{2}} + (p+1)\, I_{p}%
\]

\item[c)] En utilisant les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents, calculer
successivement $I_{2}$, $I_{3}$, $I_{4}$.

\item[d)] On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe
constitu\'{e} des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre $1$ et
$e^{2}$. Le point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, d\'{e}crit alors un
cercle de rayon $f(x)$.\newline Calculer le volume du solide ainsi
engendr\'{e}, en unit\'{e}s de volume.
\index{Calcul!de volume}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Partie II}}\\[0.2cm]Soit $a$ un r\'{e}el strictement
positif et $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. Soit T$_{a}$ la
tangente \`{a} $\mathcal{C}$ au point $A$.

\begin{enumerate}
\item [1.]\'{E}crire une \'{e}quation de T$_{a}$.
\index{Tangente}

\item[2.] D\'{e}terminer les r\'{e}els $a$ pour lesquels T$_{a}$ passe par
l'origine $O$ du rep\`{e}re.

\item[3.] Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes \`{a} $\mathcal{C}%
$, passant par $O$. Tracer ces tangentes sur la figure.
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Partie III}}\\[0.2cm]On \'{e}tudie maintenant
l'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $\Delta$ d'\'{e}quation $y =
\displaystyle\frac{1}{e^{2}} x.$

\begin{enumerate}
\item [1.]On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{1}(x) = x - e\,\ln
x$.\newline Montrer que $\varphi_{1}$ est strictement croissante sur $]e,\,
+\infty[$ et strictement d\'{e}croissante sur $]0,\,e[$.

\item[2.] On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{2}(x) = x + e\,\ln
x$.

\begin{enumerate}
\item [a)]\'Etudier le sens de variation de $\varphi_{2}$ sur $]0,\,+ \infty[$.

\item[b)] Prouver que $\varphi_{2}(x)=0$ a une solution unique sur $\left[
\displaystyle\frac{1}{2},\,1\right]  $. On appelle $\alpha$ cette solution ;
donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-1}$.

\item[c)] En d\'{e}duire que $\varphi_{2} (x) = 0$ a une seule solution sur
$]0,\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\item[3.] D\'{e}terminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de
$\Delta$.
\end{enumerate}

\section{Sujet national 1999\label{bac99}}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1} (\textit{5\ points)}\\[0pt]\textbf{Commun \`{a} tous les
candidats}\\[0pt]
\end{center}

Le plan P est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  .$ On prendra 4 cm comme
unit\'{e} sur les deux axes. On consid\`{e}re l'application $F$ du plan dans
lui-m\^{e}me qui, \`{a} tout point $m$, d'affixe $z$, associe le point $M$
d'affixe
\index{Complexe}
\index{Affixe}
\[
\frac{1}{2}z^{2}-z
\]

L'objet de cet exercice est de tracer la courbe $\Gamma$ d\'{e}crite par $M$
lorsque $m$ d\'{e}crit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1.

Soit $t$ un r\'{e}el de $\left[  -\pi,\pi\right]  $ et $m$ le point de
$\mathcal{C}$ d'affixe $z=e^{it}.$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonn\'{e}es
:
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\left(  t\right)  =\frac{1}{2}\cos2t-\cos t\\
\\
y\left(  t\right)  =\frac{1}{2}\sin2t-\sin t
\end{array}
\right.
\]
Ces relations constituent une repr\'{e}sentation param\'{e}trique
\index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e}de la courbe $\Gamma.$

\item  Comparer $x\left(  -t\right)  $ et $x\left(  t\right)  $ d'une part,
$y\left(  -t\right)  $ et $y\left(  t\right)  $ d'autre part. En d\'{e}duire
que $\Gamma$ admet un axe de sym\'{e}trie que l'on pr\'{e}cisera.

\item  Montrer que $x^{\prime}\left(  t\right)  =\sin t\left(  1-2\cos
t\right)  $. \'{E}tudier les variations de $x$ sur $\left[  0,\pi\right]  $.
\index{Trigonom\'{e}trie}

\item  Montrer que $y^{\prime}\left(  t\right)  =\left(  \cos t-1\right)
\left(  1+2\cos t\right)  $. \'{E}tudier les variations de $y$ sur $\left[
0,\pi\right]  $.

\item  Dans un m\^{e}me tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur
$\left[  0,\pi\right]  .$

\item  Placer les points de $\Gamma$ correspondant aux valeurs $0,$ $\frac
{\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du param\`{e}tre $t$ et tracer les
tangentes en ces points ( on admettra que pour $t=0$ la tangente \`{a}
$\Gamma$ est horizontale). Tracer la partie de $\Gamma$ obtenue lorsque $t$
d\'{e}crit $\left[  0,\pi\right]  $ puis tracer $\Gamma$ compl\`{e}tement.\medskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas
suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}
\end{center}

Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On consid\`{e}re la
suite $\left(  u_{n}\right)  $ d\'{e}finie par :
\index{Suite}
\index{Int\'{e}grale}
\[
u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}dt
\]

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $\varphi$ la fonction d\'{e}finie sur $\left[  0,2\right]  $ par
\[
\varphi\left(  t\right)  =\frac{2t+3}{t+2}%
\]
\'{E}tudier les variations de $\varphi$ sur $\left[  0,2\right]  .$ En
d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[  0,2\right]  ,$%
\[
\frac{3}{2}\leqslant\varphi\left(  t\right)  \leqslant\frac{7}{4}%
\]

\item  Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[  0,2\right]  $, on a :
\index{Encadrement}
\[
\frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}}\leqslant\varphi\left(  t\right)  e^{\frac{t}{n}%
}\leqslant\frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}}%
\]

\item  Par int\'{e}gration en d\'{e}duire que :
\[
\frac{3}{2}n\left(  e^{\frac{2}{n}}-1\right)  \leqslant u_{n}\leqslant\frac
{7}{4}n\left(  e^{\frac{2}{n}}-1\right)
\]

\item  On rappelle que
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{h}-1}{h}=1
\]
Montrer {}que, si $\left(  u_{n}\right)  $ poss\`{e}de une limite $L$, alors
\[
3\leqslant L\leqslant\frac{7}{2}%
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que pour tout $t$ dans $\left[  0,2\right]  $, on a
\[
\frac{2t+3}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}%
\]
En d\'{e}duire l'int\'{e}grale
\[
I=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}dt
\]

\item  Montrer que, pour tout $t$ dans $\left[  0,2\right]  ,$ on a
\[
1\leqslant e^{\frac{t}{n}}\leqslant e^{\frac{2}{n}}%
\]
En d\'{e}duire que
\[
I\leqslant u_{n}\leqslant e^{\frac{2}{n}}I
\]

\item  Montrer que $\left(  u_{n}\right)  $ est convergente et d\'{e}terminer
sa limite $L$.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME} ( \textit{10 points)}
\end{center}

Dans tout le probl\`{e}me le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re
orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $ : on prendra 2 cm
comme unit\'{e} sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu
de la feuille et l'axe des ordonn\'{e}es sur le bord gauche de la feuille
millim\'{e}tr\'{e}e.

\textbf{Partie A: \'{E}tude d'une fonction }$f$\textbf{\ et de sa courbe
repr\'{e}sentative }$C$\textbf{.}

On consid\`{e}re la fonction $f$, d\'{e}finie sur $\left]  0,+\infty\right[  $
par :
\index{Fonction!logarithme}
\[
f\left(  x\right)  =\left(  1-\frac{1}{x}\right)  \left(  \ln x-2\right)
\]
et on d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'{e}sentative relativement
au rep\`{e}re $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0.$

\item  Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left]  0,+\infty\right[  $ et
calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  $.
\index{Fonction!d\'{e}rivable}

\item  Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par
\[
u\left(  x\right)  =\ln x+x-3
\]

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $u$.

\item  Montrer que l'\'{e}quation $u\left(  x\right)  =0$ poss\`{e}de une
solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[  2,3\right]  .$ Montrer que
$2,20<\alpha<2,21$.

\item \'{E}tudier le signe de $u\left(  x\right)  $ sur $\left]
0,+\infty\right[  .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $f$.

\item  Exprimer $\ln\alpha$ comme polyn\^{o}me en $\alpha$. Montrer que
\index{Polyn\^{o}me}
\[
f\left(  \alpha\right)  =-\frac{\left(  \alpha-1\right)  ^{2}}{\alpha}%
\]
En d\'{e}duire un encadrement de $f\left(  \alpha\right)  $ d'amplitude
$2\times10^{-2}$.
\index{Encadrement}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le signe de $f\left(  x\right)  .$

\item  Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : \'{E}tude d'une primitive de }$f$\textbf{\ sur }$\left]
0,+\infty\right[  .$

Soit $F$ la primitive de $f$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $ qui s'annule
pour $x=1.$ On appelle $\Gamma$ la courbe repr\'{e}sentative de $F$
relativement au rep\`{e}re $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  .$
\index{Primitive}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Sans calculer $F\left(  x\right)  ,$ \'{e}tudier les variations de $F$
sur $\left]  0,+\infty\right[  .$

\item  Que peut-on dire des tangentes \`{a} $\Gamma$ en ses points d'abscisses
$1$ et $e^{2}$?
\end{enumerate}

\item \emph{Calcu1 de }$F\left(  x\right)  $\emph{.}

\begin{enumerate}
\item $x$ \'{e}tant un r\'{e}el strictement positif, calculer l'int\'{e}grale
\[
\int_{1}^{x}\ln t\,dt
\]
( on pourra faire une int\'{e}gration par parties).
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  Montrer que, pour tout $x$ strictement positif :
\[
f\left(  x\right)  =\ln x-\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x}-2
\]

\item  En d\'{e}duire l'expression de $F\left(  x\right)  $ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\left(  x\ln x\right)  =0$. En
d\'{e}duire la limite de $F$ en $0.$

\item  Montrer que, pour $x$ strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1,$
\[
F\left(  x\right)  =x\ln x\left(  1-\frac{1}{2}\times\frac{\ln x}{x}+\frac
{2}{x}-\frac{3}{\ln x}\right)  +3
\]
En d\'{e}duire la limite de $F$ en $+\infty$

\item  Dresser le tableau de variation de $F$.

\item  Tracer $\Gamma$ sur le m\^{e}me graphique que $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'une aire.}\newline Calculer, en cm$^{2}$, l'aire du
domaine limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les
droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e^{2}.$
\index{Calcul!d'aire}
\end{enumerate}

\section{Guadeloupe 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)}
\end{center}

Lors d'un examen , un questionnaire \`{a} choix multiple (Q.C.M.) est
utilis\'{e}.\newline On s'int\'{e}resse \`{a} cinq questions de ce
Q.C.M.\textbf{suppos\'{e}es ind\'{e}pendantes}.A chaque question sont
associ\'{e}es quatre affirmations , num\'{e}rot\'{e}es 1,2,3 et 4, dont une
seule est exacte.\newline Un candidat doit r\'{e}pondre \`{a} chaque question
en donnant seulement le num\'{e}ro de l'affirmation qu'il juge exacte ; sa
r\'{e}ponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue est vraie, sinon sa
r\'{e}ponse est incorrecte. \newline Dans cet exercice , les probabilit\'{e}s
demand\'{e}es seront donn\'{e}es sous forme fractionnaire.\newline

\begin{enumerate}
\item  Un candidat r\'{e}pond \`{a} chaque question au hasard , c'est-\`{a}%
-dire qu'il consid\`{e}re que les quatre affirmations correspondantes sont
\'{e}quiprobables.\newline

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements suivants:
\index{Probabilit\'{e}}\newline A : ''Le candidat r\'{e}pond correctement
\`{a} la premi\`{e}re des cinq questions'';\newline B : ''Le candidat
r\'{e}pond correctement \`{a} deux questions au moins sur cinq''.\newline

\item  On attribue la note 4 \`{a} toute r\'{e}ponse correcte et la note -1
\`{a} toute r\'{e}ponse incorrecte.\newline Calculer la probabilit\'{e} de
l'\'{e}v\`{e}nement C : ''Le candidat obtient une note au moins \'{e}gale
\`{a} 10 pour l'ensemble des cinq questions''.\newline
\end{enumerate}

\item  On suppose maintenant qu'un candidat conna\^{i}t la r\'{e}ponse
correcte \`{a} deux questions et qu'il r\'{e}pond au hasard aux trois autres
questions.\newline Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement C
d\'{e}crit au \textbf{1.b}?\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}
\end{center}

Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct (O ;$\vec{u}$,
$\vec{v}$).\newline On consid\`{e}re le point A d'affixe 1 et , pour tout
$\theta$ appartenant \`{a} $[0;2\pi\lbrack$ , le point M d'affixe
$z=e^{i\theta}$. On d\'{e}signe par P le point d'affixe $1+z$ et par Q le
point d'affixe $z^{2}$.\newline
\index{Affixe}

\begin{enumerate}
\item \'{A} partir du point M ,donner une construction g\'{e}om\'{e}trique du
point P et une construction g\'{e}om\'{e}trique du point Q. Les points O ,A ,
M, Q et P seront plac\'{e}s sur une m\^{e}me figure.

\item  D\'{e}terminer l'ensemble des points P pour $\theta$ appartenant \`{a}
$[0,2\pi\lbrack$.\newline Tracer cet ensemble sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente
.\newline
\index{Ensemble!de points}

\item  Soit S le point d'affixe $1+z+z^{2}$ , o\`{u} $z$ d\'{e}signe toujours
l'affixe du point M . Construire S , en justifiant la construction.\newline

\item  Dans le cas o\`{u} S est diff\'{e}rent de O , Tracer la droite
(OS).\newline Quelle conjecture appara\^{i}t , relativement au point
M?\newline D\'{e}montrer que le nombre
\index{Complexe}
\[
\frac{1+z+z^{2}}{z}%
\]
est un r\'{e}el , quel que soit $\theta$ appartenant \`{a} $[0,2\pi\lbrack
$.\newline Conclure sur la conjecture pr\'{e}c\'{e}dente.\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME}{\ }\textbf{(11 points)}
\end{center}

L'objet de ce probl\`{e}me est d'\'{e}tudier une fonction \`{a} l'aide d'une
fonction auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan.

\textbf{PARTIE A}

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left]  -1,+\infty\right[
$ par :
\index{Fonction!logarithme}
\[
f\left(  x\right)  =\frac{x}{x+1}-2\ln\left(  x+1\right)
\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f^{\prime}\left(  x\right)  ,$ \'{e}tudier son signe et en
d\'{e}duire le tableau de variation de la fonction $f.$

\item  Calculer $f\left(  0\right)  .$ Montrer que l'\'{e}quation $f\left(
x\right)  =0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on d\'{e}signe
par $\alpha,$ appartient \`{a} $\left[  -0,72;-0,71\right]  .$

\item  Donner le signe de $f\left(  x\right)  ,$ pour $x$ appartenant \`{a}
$\left]  -1,+\infty\right[  .$
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur l'ensemble $\left]  -1;0\right[
\cup\left]  0,+\infty\right[  $ par :
\[
g\left(  x\right)  =\frac{\ln\left(  x+1\right)  }{x^{2}}%
\]

\begin{enumerate}
\item \emph{Etude de }$g$\emph{\ aux bornes de son ensemble de d\'{e}finition.}

\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de $g\left(  x\right)  $ quand $x$ tend vers $0$
par valeurs inf\'{e}rieures et quand $x$ tend vers $0$ par valeurs
sup\'{e}rieures.
\index{Limite}

\item  Calculer $\lim_{x\rightarrow-1}g\left(  x\right)  $ et $\lim
_{x\rightarrow+\infty}g\left(  x\right)  .$
\end{enumerate}

\item \emph{Sens de variation de }$g.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g^{\prime}\left(  x\right)  $ et d\'{e}duire, \`{a} l'aide de
la partie $A,$ son signe.

\item  Montrer que
\[
g\left(  \alpha\right)  =\frac{1}{2\alpha\left(  \alpha+1\right)  }%
\]
En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $g\left(  \alpha\right)  $ en
prenant $\alpha=-0,715.$
\end{enumerate}

\item \emph{Tableau de variation et repr\'{e}sentation graphique de }$g.$

\begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$

\item  Repr\'{e}senter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapport\'{e}
\`{a} un rep\`{e}re orthonormal ( unit\'{e} graphique : $2$ cm ).
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'aire}\newline Soit $a$ un r\'{e}el strictement
sup\'{e}rieur \`{a} $0.$ On pose :
\[
I\left(  a\right)  =\int_{1}^{a}g\left(  x\right)  \;dx
\]

\begin{enumerate}
\item  Donner, suivant les valeurs de $a,$ une interpr\'{e}tation
g\'{e}om\'{e}trique du r\'{e}el $I\left(  a\right)  .$

\item  En remarquant que, pour $x$ appartenant \`{a} $\left]  0,+\infty
\right[  $ :
\[
\frac{1}{x\left(  1+x\right)  }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}%
\]
calculer $I\left(  a\right)  $ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties.
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  Calculer $\lim_{a\rightarrow+\infty}I\left(  a\right)  $ et
$\lim_{a\rightarrow0}I\left(  a\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Polyn%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
esie 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)}
\end{center}

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.\newline On en
pr\'{e}l\`{e}ve $n$ successivement et avec remise, $n$ \'{e}tant un entier
naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.\newline On consid\`{e}re les deux
\'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$:
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient des boules des deux couleurs
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
; \newline $B$ :
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient au plus une blanche
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement :\newline
\index{Probabilit\'{e}}%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Toutes les boules tir\'{e}es sont de la m\^{e}me couleur
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement :\newline
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient exactement une boule blanche
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\item  En d\'{e}duire que les probabilit\'{e}s $p(A\cap B)$, $p(A)$, $p(B)$
sont :
\index{Intersection}
\[
p(A\cap B)=\frac{n}{2^{n}}\qquad p(A)=1-\frac{1}{2^{n-1}}\qquad p(B)=\frac
{n+1}{2^{n}}%
\]
\end{enumerate}

\item  Montrer que : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ si et seulement si :
\[
2^{n-1}=n+1
\]

\item  Soit $(u_{n})$ la suite d\'{e}finie pour tout entier naturel
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} deux par :
\index{Suite}
\[
u_{n}=2^{n-1}-(n+1)
\]
Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$.\newline D\'{e}montrer que la suite
$(u_{n})$ est strictement croissante.

\item  En d\'{e}duire la valeur de l'entier $n$ tel que les \'{e}v\'{e}nements
$A$ et $B$ soient ind\'{e}pendants.\bigskip
\index{Ev\`{e}nements!ind\'{e}pendants}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 4 points)}
\end{center}

Le plan complexe $(P)$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unit\'{e} graphique 2 cm.

\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation :
\index{Equation}
\[
z^{3}-8=0
\]

\item  On consid\`{e}re dans le plan $(P)$ les points $A$, $B$ et $C$
d'affixes respectives :
\index{Affixe}
\[
z_{A}=-1+i\sqrt{3}\qquad z_{B}=2\qquad z_{C}=-1-i\sqrt{3}%
\]

\begin{enumerate}
\item  Ecrire $z_{A}$ et $z_{C}$ sous la forme trigonom\'{e}trique.
\index{Forme!trigonom\'{e}trique}

\item  Placer les points $A$, $B$ et $C$.

\item  D\'{e}terminer la nature du triangle $ABC$.
\index{Triangle}
\end{enumerate}

\item  On consid\`{e}re l'application $f$ du plan dans lui-m\^{e}me qui \`{a}
tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe
$\displaystyle{z^{\prime}=e^{\frac{2i\pi}{3}}z.}$
\index{Affixe}

\begin{enumerate}
\item  Caract\'{e}riser g\'{e}om\'{e}triquement l'application $f$.

\item  D\'{e}terminer les images des points $A$ et $C$ par $f$.\newline En
d\'{e}duire l'image de la droite $(AC)$ par $f$.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points )}
\end{center}

\textbf{Partie A}\newline Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$
par :
\index{Fonction!exponentielle}
\[
f(x)=x-e^{2x-2}%
\]
On note $(C)$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re
orthonormal $\left(  O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)
$.\newline On prendra 5 cm comme unit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la limite de $f$ en $-\infty$ .

\item  V\'{e}rifier que pour tout r\'{e}el $x$ non nul :
\[
f(x)=x\,\left[ 1-2e^{-2}\times\left(  \frac{e^{2x}}{2x}\right) \right]
\]
D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item  D\'{e}terminer $f^{\prime}$. Etudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et
calculer la valeur exacte du maximum de $f$.
\index{Maximum}

\item  D\'{e}montrer que la droite $(D)$ d'\'{e}quation : $y=x$ est asymptote
\`{a} la courbe $(C)$.\newline
\index{Asymptote}Etudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$.

\item  On note $A$ le point de la courbe $(C)$ d'abscisse 1.\newline
D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente $(T)$ en $A$ \`{a} la courbe
$(C)$.
\index{Tangente}

\item
\begin{enumerate}
\item  On note $I$ l'intervalle $[0; 0,5]$.\newline D\'{e}montrer que
l'\'{e}quation : $f(x)=0$ admet dans l'intervalle $I$ une unique solution
qu'on notera $a$.

\item  D\'{e}terminer une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s de $a
$.
\end{enumerate}

\item  Construire la courbe $(C)$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\newline \textbf{D\'{e}termination d'une valeur approch\'{e}e
de $\mathbf{a}$}\newline On d\'{e}finit dans $\mathbb{R}$ la suite $(u_{n})$
par :
\index{Suite!r\'{e}currente}\newline $u_{o}=0$ et $\displaystyle
{u_{n+1}=e^{2u_{n}-2}}$

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=e^{2x-2}%
$\newline D\'{e}montrer que l'\'{e}quation : $f(x)=0$ est \'{e}quivalente
\`{a} : $g(x)=x$.\newline En d\'{e}duire $g(a)$.

\item  D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$ on a :
\[
|g^{\prime}(x)|\leqslant\frac{2}{e}%
\]

\item  D\'{e}montrer que pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$, $g(x)$
appartient \`{a} $I$.

\item  Utiliser l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis pour
d\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis}
\[
|u_{n+1}-a|\leqslant\frac{2}{e}|u_{n}-a|
\]

\item  D\'{e}montrer, par r\'{e}currence que :
\index{R\'{e}currence}
\[
|u_{n}-a|\leqslant\left(  \frac{2}{e}\right)  ^{n}%
\]

\item  En d\'{e}duire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

\item  D\'{e}terminer un entier naturel $p$ tel que : $|u_{p}-a|<10^{-5}$.

\item  En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $a$ \`{a} $10^{-5}$ pr\`{e}s
: on expliquera l'algorithme utilis\'{e} sur la calculatrice.
\index{Algorithme}
\end{enumerate}

\section{Asie 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)}
\end{center}

Voici le tableau des principaux groupes sanguins des habitants de la France :
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|c|c|c|c|}\cline{2-5}%
& O & A & B & AB\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus +} & 35,0 \% & 38,1 \% & 6,2 \% & 2,8
\%\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus -} & 9,0 \% & 7,2 \% & 1,2 \% & 0,5 \%\\\hline
\end{tabular}
\]
Dans cet exercice, les r\'{e}sultats num\'{e}riques demand\'{e}s seront, s'il
y a lieu, arrondis \`{a} 3 d\'{e}cimales.

\begin{enumerate}
\item  L'objectif de cette question est de compl\'{e}ter \`{a} l'aide de
donn\'{e}es de ce tableau l'arbre suivant, \`{a} recopier sur la
copie.\newline
%TCIMACRO{\TeXButton{arbre}{\hspace{1cm}
%\unitlength=0.8cm
%\begin{picture}(4,5.8)
%\put(0,2){\line(1,1){2}}
%\put(0,2){\line(1,-1){2}}
%\put(3,4){\line(4,1){4}}
%\put(3,4){\line(1,0){4}}
%\put(3,4){\line(2,-1){4}}
%\put(3,4){\line(4,-1){4}}
%\put(3,0){\line(4,1){4}}
%\put(3,0){\line(1,0){4}}
%\put(3,0){\line(2,-1){4}}
%\put(3,0){\line(4,-1){4}}
%\put(2.1,3.9){Rh+}
%\put(2.1,-0.2){Rh-}
%\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
%\put(0.3,0.8){?}
%\put(7.2,-2.2){AB}
%\put(7.2,-1.2){B}
%\put(7.2,-0.1){A}
%\put(7.2,0.9){O}
%\put(7.2,1.9){AB}
%\put(7.2,2.8){B}
%\put(7.2,3.9){A}
%\put(7.2,4.9){O}
%\put(6,-1.5){?}
%\put(6,-0.7){?}
%\put(6,0.1){?}
%\put(6,0.8){?}
%\put(6,2.5){?}
%\put(6,3.3){?}
%\put(6,4.0){?}
%\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
%\end{picture}
%}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}
\unitlength=0.8cm
\begin{picture}(4,5.8)
\put(0,2){\line(1,1){2}}
\put(0,2){\line(1,-1){2}}
\put(3,4){\line(4,1){4}}
\put(3,4){\line(1,0){4}}
\put(3,4){\line(2,-1){4}}
\put(3,4){\line(4,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,1){4}}
\put(3,0){\line(1,0){4}}
\put(3,0){\line(2,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,-1){4}}
\put(2.1,3.9){Rh+}
\put(2.1,-0.2){Rh-}
\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
\put(0.3,0.8){?}
\put(7.2,-2.2){AB}
\put(7.2,-1.2){B}
\put(7.2,-0.1){A}
\put(7.2,0.9){O}
\put(7.2,1.9){AB}
\put(7.2,2.8){B}
\put(7.2,3.9){A}
\put(7.2,4.9){O}
\put(6,-1.5){?}
\put(6,-0.7){?}
\put(6,0.1){?}
\put(6,0.8){?}
\put(6,2.5){?}
\put(6,3.3){?}
\put(6,4.0){?}
\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
\end{picture}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{vskip}{\vskip2cm}}%
%BeginExpansion
\vskip2cm%
%EndExpansion
L'exp\'{e}rience consiste \`{a} choisir une personne au hasard dans la
population donn\'{e}e\newline ( les habitants de la France ).\newline On note
Rh+ l'\'{e}v\`{e}nement '' la personne a le facteur Rh+ ''\newline On note O
l'\'{e}v\`{e}nement '' la personne appartient au groupe O ''

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $p_{1},$ c'est \`{a} dire $p\left(
\text{Rh+}\right)  .$ On d\'{e}taillera le calcul effectu\'{e} puis on
reportera ce r\'{e}sultat dans l'arbre.\newline
\index{Probabilit\'{e}}
\index{Arbre!de probabilit\'{e}}D\'{e}terminer de m\^{e}me la probabilit\'{e}
$p_{2}$ ( en d\'{e}taillant les calculs ).

\item  Compl\'{e}ter le reste de l'arbre, en rempla\c{c}ant chaque point
d'interrogation par la probabilit\'{e} correspondante ( il est inutile de
d\'{e}tailler les nouveaux calculs ).
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Comment peut-on, \`{a} partir de l'arbre compl\'{e}t\'{e},
d\'{e}terminer la probabilit\'{e} de O ?\newline V\'{e}rifier ce r\'{e}sultat
\`{a} l'aide du tableau.

\item  Quelle est la probabilit\'{e} pour qu'une personne appartenant au
groupe O ait le facteur Rh+ ?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  On consid\`{e}re $n$ personnes choisies au hasard dans la population
donn\'{e}e ( les habitants de la France ).\newline Calculer, en fonction de
$n,$ la probabilit\'{e} $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une
personne du groupe O.

\item  Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p\geqslant
0,999.\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre complexe $Z,$ on pose $P\left(  Z\right)  =Z^{4}-1.$
\index{Complexe}

\begin{enumerate}
\item  Factoriser $P\left(  Z\right)  .$

\item  En d\'{e}duire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres
complexes de l'\'{e}quation $P\left(  Z\right)  =0,$ d'inconnue $Z.$

\item  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions dans
$\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation d'inconnue $z$ :
\[
\left(  \frac{2z+1}{z-1}\right)  ^{4}=1
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Le plan complexe $\left(  P\right)  $ est rapport\'{e} \`{a} un
rep\`{e}re orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow
{v}\right)  $ ( l'unit\'{e} graphique est $5$ cm ).\newline Placer les points
$A,$ $B$ et $C$ d'affixes respectives :
\index{Affixe}
\[
a=-2\quad b=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i\quad c=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i
\]

\item  D\'{e}montrer que les points $O,$ $A,$ $B$ et $C$ sont situ\'{e}s sur
un cercle, que l'on d\'{e}terminera.
\index{Cercle}
\end{enumerate}

\item  Placer le point $D$ d'affixe $d=-\frac{1}{2}.$\newline Exprimer sous
forme trigonom\'{e}trique le nombre complexe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par :
\index{Forme!trigonom\'{e}trique}
\[
z^{\prime}=\frac{a-c}{d-c}%
\]
En d\'{e}duire le rapport $\dfrac{CA}{CD}.$\newline Quelle autre
cons\'{e}quence g\'{e}om\'{e}trique peut-on tirer de l'expression de
$z^{\prime}$ ?\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points )}
\end{center}

\textbf{PARTIE A}

$\blacksquare$ \emph{R\'{e}solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle}
$\left(  E\right)  :$ $y^{\prime}+y=x-1.$
\index{Equation!diff\'{e}rentielle}

\begin{enumerate}
\item  A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer
\index{Int\'{e}gration!par parties}
\[
\int_{1}^{x}e^{t}\left(  t-1\right)  \,dt
\]

\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ une fonction d\'{e}rivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des
nombres r\'{e}els. On pose $f\left(  x\right)  =z\left(  x\right)  e^{-x}.$
Montrer que la fonction $f$ est solution de $\left(  E\right)  $ si et
seulement si pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left(  x\right)
=e^{x}\left(  x-1\right)  .$

\item  A l'aide de la premi\`{e}re question, d\'{e}terminer toutes les
fonctions $z$ v\'{e}rifiant pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left(
x\right)  =e^{x}\left(  x-1\right)  .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions de $\left(
E\right)  .$

\item  D\'{e}terminer la solution de $\left(  E\right)  $ pour laquelle
l'image de $1$ est $0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

$\blacksquare$ \emph{Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(  x\right)
=x-2+e^{1-x}.$ Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal
$\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $ ( unit\'{e} graphique : $1$ cm
). On d\'{e}signe par $\left(  C_{f}\right)  $ la courbe repr\'{e}sentative de
$f.$
\index{Fonction!exponentielle}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Etudier le sens de variation de $f.$

\item  Pr\'{e}ciser $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  $ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\left(  D\right)  ,$ d'\'{e}quation $y=x-2$, est
asymptote \`{a} la courbe $\left(  C_{f}\right)  .$
\index{Asymptote}

\item  Pr\'{e}ciser la position de $\left(  C_{f}\right)  $ par rapport \`{a}
$\left(  D\right)  .$
\end{enumerate}

\item  Tracer $\left(  D\right)  $ et $\left(  C_{f}\right)  .$
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

$\blacksquare$ \emph{Calcul d'aires}

Soit $x_{0}$ un nombre r\'{e}el strictement positif.

\begin{enumerate}
\item  On consid\`{e}re le domaine limit\'{e} par la courbe $\left(
C_{f}\right)  ,$ son asymptote $\left(  D\right)  $ et les droites
d'\'{e}quations $x=0$ et $x=x_{0}.$ \newline Exprimer, \`{a} l'aide de $x_{0}%
$, l'aire $S_{1}$ de ce domaine.
\index{Calcul!d'aire}

\item  On consid\`{e}re la fonction $g,$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par
$g\left(  x\right)  =e^{1-x}.$

\begin{enumerate}
\item  Etudier rapidement $g,$ puis tracer sa courbe repr\'{e}sentative
$\left(  C_{g}\right)  .$

\item  Donner une interpr\'{e}tation, en terme d'aire, de l'int\'{e}grale
ayant servie au calcul de $S_{1}$ \`{a} l'aide de la courbe $\left(
C_{g}\right)  .$
\index{Int\'{e}grale}
\end{enumerate}

\item $A$ est le point de coordonn\'{e}es $\left(  x_{0},0\right)  .$
\newline $B$ est le point de la courbe $\left(  C_{g}\right)  $ d'abscisse
$x_{0}.$ \newline Soit $\left(  T\right)  $ la tangente \`{a} la courbe
$\left(  C_{g}\right)  $ au point d'abscisse $x_{0}.$
\index{Tangente}\newline $C$ est le point d'intersection de $\left(  T\right)
$ et de l'axe des abscisses.\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $C.$

\item  Calculer ( en unit\'{e}s d'aire ) l'aire $S_{2}$ du triangle $ABC.$
V\'{e}rifier que $S_{1}+2S_{2}=0.$
\end{enumerate}

\section{Am%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erique 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 (4\ points)}\\[0pt]
\end{center}

\textbf{I-} Lors de la pr\'{e}paration d'un concours, un \'{e}l\`{e}ve n'a
\'{e}tudi\'{e} que 50 des 100 le\c{c}ons. On a mis 100 papiers contenant
chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des le\c{c}ons
diff\'{e}rentes. Le candidat tire simultan\'{e}ment au hasard 2 papiers.

On donnera les r\'{e}ponses sous forme de fractions irr\'{e