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Source de resultant.tex

Fichier TeX
\exo{Le résultant de deux polynômes, aperçu}

Soient~$P$ et~$Q$ deux polynômes de~$K[X]$ (où~$K = \RR$ ou~$\CC$) de degré~$p$ et~$q$
respectivement~:
$$
P(X) = a_p X^p + \cdots + a_0
\qquad \text{et} \qquad
Q(X) = b_q X^q + \cdots + b_0
$$
Une fois n'est pas coutume, pour~$n > 0$, on note~$K_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré
{\bfseries strictement} inférieur à~$n$ ---~au fait quelle est la dimension de cet espace~--- que
l'on munit de la base~$\mathcal{B}_n = \{X^{n-1}, X^{n-2}, \ldots, X, 1\}$. Enfin,
on introduit l'application~:
$$
\begin{array}{rccc}
\varphi~: & K_q[X] \times K_p[X] & \longrightarrow & K_{p+q}[X] \\
          &             (U,V)          & \longmapsto     & UP + VQ
\end{array}
$$
L'espace de départ est muni de la base~$\mathcal{B}_q \times \mathcal{B}_p
= \{(X^{q-1}, 0), \ldots, (1, 0), (0, X^{p-1}), \ldots, (0, 1)\}$ et celui d'arrivée de la
base~$\mathcal{B}_{p+q}$.

\q Vérifier que~$\varphi$ est une application linéaire et dresser, dans les bases fixées
précédemment, la matrice de l'application~$\varphi$ pour~$p = 6$ et~$q = 4$ par exemple.

\vspace{0.5em}

On définit le {\bfseries résultant} des polynômes~$P$ et~$Q$, noté~$\res(P,Q)$, comme étant le
déterminant de cette application~:~$\res(P,Q) = \det(\varphi)$.

\q Calculer ce résultant pour~$p = q = 1$ pour~$p = 2$ et~$Q = P'$ (poser~$P(X) = aX^2 + bX + c$
dans le deuxième cas, histoire de peut-être vous interpeller).

\q Nous allons établir un certain nombre de formules liées au résultant~; dans chacun des
cas avant de vous attaquer au cas général, traiter des cas particuliers avec de petites
valeurs de~$p$ et~$q$.

\subq Vérifier que pour~$r \in K$, on a~$\res(X-r, Q) = Q(r)$.
\subq Montrer que~$\res(XP, Q) = Q(0)\res(P,Q)$.
\subq Montrer que pour~$r \in K$, on a~$\res(P(X-r), Q(X-r)) = \res(P, Q)$.
\subq Gr’ce aux deux questions précédentes prouver que~:
$$
\res((X-r)P, Q) = Q(r)\res(P,Q)
\qquad \text{et} \qquad
\res((X - r_1) \cdots (X - r_p), Q) = Q(r_1) \cdots Q(r_p)
$$
les~$r_i$ et~$r$ étant des éléments de~$K$.

\q Montrer le résultat\footnote{J'attire votre attention sur le fait que ce test est
complètement effectif (i.e. programmable en machines). Sachez de plus que le résultant est un
déterminant loin d'être quelconque~; d'ailleurs, il existe des algorithmes spécifiques (et
assez sophistiqués) permettant de calculer un résultant efficacement. Autrement dit, tout
système de calcul formel digne de ce nom n'utilise jamais la fonction {\sl déterminant} ---~si
cette dernière existe~--- pour calculer un résultant.} fondamental suivant~: les polynômes~$P$
et~$Q$ ont une racine commune dans~$\CC$ si et seulement si~$\res(P,Q) = 0$.

\q Confronter le résultat précédent aux exemples du début de cet exercice. Notamment, le
deuxième résultant, calculé à cette occasion, ne vous rappelle-t-il pas, à un coefficient près,
un certain réel (ou complexe) associé au polynôme~$aX^2 + bX + c$.

\q Considérons maintenant le résultant de~$P$ et~$Q$ comme un déterminant à coefficients
dans~$K[X]$, plutôt que dans~$K$.

\subq Pour~$1 \leq i \leq p+q$, on note~$L_i$ la $i$-ème ligne du déterminant
définissant~$\res(P, Q)$~; effectuer l'opération sur les lignes indiquée ci-dessous~:
$$
L_{p+q} \leftarrow X^{p+q-1} L_1 + X^{p+q-2} L_2 + \cdots + X L_{p+q-1} + L_{p+q}
$$
et montrer que~$\res(P, Q)$ peut se définir comme un déterminant à coefficients dans~$K[X]$
tous les coefficients étant constants sauf ceux de la dernière ligne qui sont de la
forme~$X^i P$ ou~$X^j Q$ avec~$0 \leq i < q$ et~$0 \leq j < p$ (conseil d'ami~: effectuer tout
d'abord cette opération pour deux valeurs de~$p$ et~$q$ petites, par exemple~$p = 6$ et~$q= 4$).

\subq En utilisant la nouvelle expression du résultant que vous venez de mettre en évidence,
prouver qu'il existe~$(U,V) \in K_q[X] \times K_p[X]$ tel que~$\res(P,Q) = UP + VQ$.

\subq Retrouver le fait que si~$P$ et~$Q$ ont une racine commune dans~$\CC$ alors leur résultant
est nul.

\ifwithcorrection \correction

\q Pour fixer les idées, on a~:
$$
\res(a_6 X^6 + \cdots + a_0, b_4 X^4 + \cdots + b_0) =
\begin{vmatrix}
a_6 & 0 & 0 & 0 & b_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a_5 & a_6 & 0 & 0 &  b_3 & b_4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a_4 & a_5 & a_6 & 0 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 & 0 & 0 \\
a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 & 0 \\
a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 \\
a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\
a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\
0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 \\
0 & 0 & a_0 & a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 \\
0 & 0 & 0 & a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_0 \\
\end{vmatrix}
$$
(c'est donc une matrice carrée~$(p+q) \times (p+q)$)

\q Pour~$p = q = 1$, on trouve~$\res(P, Q) = a_1 b_0 - a_0 b_1$~; le deuxième exemple
donne~:
$$
\res(aX^2 + bX + c, 2aX + b) = - a (b^2 - 4ac)
$$
qui, à une constante près, n'est rien d'autre que l'ultra-classique discriminant
de~$aX^2 + bX + c$ souvent noté~$\Delta$.

\q Quelques propriétés.
\subq Il suffit de développer par rapport à la dernière colonne.
\subq Il suffit de développer par rapport à la dernière ligne.
\subq \'Ecrire le premier résultant dans les bases constituées d'éléments de la
forme~$(X-r)^i$.
\subq D'après ce qui précède~:
\begin{align*}
\res((X - r)P(X), Q(X)) &= \res(X P(X+r), Q(X+r)) \\
                        &= Q(r) \res(P(X+r), Q(X+r)) = Q(r) \res(P(X), Q(X))
\end{align*}
La deuxième formule découle directement de la dernière.

\q \'Evident compte tenu des formules précédentes.

\q On retrouve le fait que le polynôme~$aX^2 + bX + c$ admet une racine double
quand~$\Delta = 0$.

\q S'y va !
\subq Après la manipulation indiquées, la dernière ligne du déterminant~$\res(P,Q)$ vaut~:
$$
\begin{bmatrix}
X^{q-1} P & X^{q-2} P & \cdots & X P & P & X^{p-1} Q & X^{p-2} Q & \cdots & X Q & Q
\end{bmatrix}
$$

\ifnote LA FLEMME
$$
\res(P,Q) =
\begin{vmatrix}
a_p     & 0       & \cdots  & 0       & b_q     & 0       &        & \cdots  &        & 0     \\
a_{p-1} & a_p     &         & \vdots  & b_{q-1} & b_q     &        &         &        &       \\
        & a_{p-1} & \ddots  & 0       & \vdots  & b_{q-1} & b_q    &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
        &         &         &         &         &         &        &         &        &       \\
\end{vmatrix}
$$
\fi

\subq Il suffit de développer par rapport à la dernière ligne.
\subq ok.
\fi