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Source de matrices_elementaires.tex

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\exo{L'égalité~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$}

On désigne par~$E_{ij}$ la matrice~$n \times n$ dont tous les termes sont nuls sauf le~$(ij)$-ème
qui vaut~$1$ et pour~$i \not= j$ et~$\lambda \in \RR$, on introduit la
matrice~$B_{ij}(\lambda) = {\rm I}_n + \lambda E_{ij}$. C'est un grand honneur pour moi de vous
présenter~$B_{31}(\lambda)$ pour~$n=4$~:
$$
B_{31}(\lambda) = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ \lambda &0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}
$$
Enfin on note~$E_n(\RR)$ le sous-groupe de~$GL_n(\RR)$ engendré par les matrices~$B_{ij}(\lambda)$
pour~$\lambda \in \RR$. Nous allons établir l'égalité~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$.

\q Que vaut le produit~$B_{ij}(\lambda)B_{ij}(\mu)$ pour~$\lambda, \mu \in \RR$~? Quel est
l'inverse de~$B_{ij}(\lambda)$~?

\q Quel est l'effet sur une matrice~$M \in M_n(\RR)$ d'une multiplication par~$B_{ij}(\lambda)$
à droite~? Et à gauche~?

\q Momentanément, on suppose que~$n=2$.
\subq Commencer par dresser un dictionnaire liant les quatres transformations~:
$$
L_1 \leftarrow L_1 + \lambda L_2
\qquad
L_2 \leftarrow L_2 + \lambda L_1
\qquad
C_1 \leftarrow C_1 + \lambda C_2
\qquad
C_2 \leftarrow C_2 + \lambda C_1
$$
et les quatres multiplications par~$B_{12}(\lambda)$ à gauche et à droite et par~$B_{21}(\lambda)$
à gauche et à droite.

\subq Montrer que pour toute matrice~$M$ de la forme~$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
avec~$a$ ou~$b$ non nul, il existe~$Q \in E_2(\RR)$ telle que~:
$$
MQ = \begin{pmatrix}1&0\\c'&d'\end{pmatrix}
$$
(on pourra distinguer les cas~$a = 0$, $b = 0$ et~$a,b$ non nuls).
\subq En déduire que pour toute matrice~$M$ de taille~$2 \times 2$ avec une première ligne non
nulle, il existe~$P, Q \in E_2(\RR)$ telles que~:
$$
PMQ = \begin{pmatrix}1&0\\0&\Delta\end{pmatrix}
$$
Au fait que vaut~$\Delta$~?
\subq Montrer que pour toute matrice~$M \in SL_2(\RR)$ il existe~$P, Q \in E_2(\RR)$
telles que~$P M Q = {\rm I}_2$. Pourquoi cela prouve-t-il que~$M \in E_2(\RR)$.
\subq \`A titre d'exemple, pour~$a \in \RR^*$ écrire la
matrice~$\begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix}$ comme produit de~$B_{ij}(\lambda)$.

\q Bon, il faut grandir maintenant et passer au cas $n$ quelconque en
considérant~$M \in SL_n(\RR)$.
\subq Commencer par montrer qu'il existe~$P,Q \in E_n(\RR)$ telles que~:
$$
PMQ = \begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}
$$
avec~$N \in SL_{n-1}(\RR)$.
\subq En déduire que~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$.

\q Soit~$M \in GL_n(\RR)$, montrer qu'il existe~$P \in E_n(\RR)$ et une autre~$Q \in E_n(\RR)$
telles
que~$M = P \times {\rm diag}(1, \ldots, 1, \Delta) = {\rm diag}(1, \ldots, 1, \Delta) \times Q$.

\ifwithcorrection \correction

\q On vérifie que~$B_{ij}(\lambda)B_{ij}(\mu) = B_{ij}(\lambda+\mu)$ ce qui permet de dire
que~$B_{ij}(\lambda)^{-1} = B_{ij}(-\lambda)$.

\q La multiplication par~$B_{ij}(\lambda)$ à droite revient à faire l'opération suivante
sur les colonnes~$C_j \leftarrow C_j + \lambda_i C_i$. Quant à la multiplication à gauche,
elle a pour effet l'opération sur les lignes suivante~$L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$.

\q Commençons petit en supposant~$n = 2$.
\subq Voici le dictionnaire~:
\begin{align*}
&B_{12}(\lambda) \times \bullet \; \Longleftrightarrow \; L_1 \leftarrow L_1 + \lambda L_2
&\bullet \times B_{12}(\lambda) \; \Longleftrightarrow \; C_2 \leftarrow C_2 + \lambda C_1 \\
&B_{21}(\lambda) \times \bullet \; \Longleftrightarrow \; L_2 \leftarrow L_2 + \lambda L_1
&\bullet \times B_{21}(\lambda) \; \Longleftrightarrow \; C_1 \leftarrow C_1 + \lambda C_2
\end{align*}
Les traductions deviennent alors faciles.
\subq On vérifie que~:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}0&b\\c&d\end{pmatrix}
     B_{21}({\textstyle \frac{1}{b}}) B_{12}(-b) = \begin{pmatrix}1&0\\ * & *\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
     B_{21}({\textstyle \frac{1-a}{b}}) B_{12}(-b) = \begin{pmatrix}1&0\\ * & *\end{pmatrix} \\
&\begin{pmatrix}a&0\\c&d\end{pmatrix}
  B_{12}({\textstyle \frac{1}{a}}) B_{21}(1-a) B_{12}(-1) = \begin{pmatrix}1&0\\ * &*\end{pmatrix}
\end{align*}
\subq L'étape précédente étant franchie, il suffit de tuer le coefficient~$c'$ ce qui se
fait en multipliant à gauche par~$B_{21}(-c')$. \'Evidemment en bas à droite, on retrouve
le déterminant de~$M$.
\subq Si~$M \in SL_2(\RR)$ alors~$\det(M) = 1$ donc...
\subq Le mieux est d'opérer les transformations et de traduire ensuite~:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix}
&\underrightarrow{C_2 \leftarrow C_2 + {\textstyle \frac{1}{a}} C_1}
\begin{pmatrix}a&1\\0&1/a\end{pmatrix}
\underrightarrow{C_1 \leftarrow C_1 + (1-a) C_2}
\begin{pmatrix}1&1\\\frac{1-a}{a}&1/a\end{pmatrix} \\
&\underrightarrow{C_2 \leftarrow C_2 - C_1}
\begin{pmatrix}1&0\\\frac{1-a}{a}&1\end{pmatrix}
\underrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - {\textstyle \frac{1-a}{a}} L_1}
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\end{align*}
ce qui se réécrit~:
$$
\begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1&0\\\frac{1-a}{a}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\a-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1/a\\0&1\end{pmatrix}
= B_{21}({\textstyle \frac{1-a}{a}})B_{12}(1)B_{21}(a-1)B_{12}({\textstyle \frac{-1}{a}})
$$

\q Considérons~$M \in SL_n(\RR)$~; on note~$M = (a_{ij})$.
\subq On commence par faire apparaître un~$1$ en position~$a_{11}$. Si ce terme est nul il suffit
de multiplier à droite par~$B_{i1}(1/a_{1i})$ avec~$a_{1i} \not = 0$ dont l'existence est
assurée~$M$ étant inversible. Si~$a_{11} \not= 0$ alors on s'aide d'un autre coefficient~$a_{1i}$
non nul si un tel élément existe~: on multiplie à droite par~$B_{i1}(\frac{1-a_{11}}{a_{1i}})$.
Enfin, si tous les~$a_{1i}$ sont nuls pour~$i \geq 2$, on procède en deux temps en multipliant
toujours à droite par~$B_{12}(\frac{1}{a_{11}}) B_{21}(1-a_{11})$.

\`A l'issue de cette étape, on a~$a_{11} = 1$. Il est alors aisé de tuer les coefficients~$a_{1i}$
et~$a_{j1}$. Pour les premiers, il suffit de multiplier à droite par~$B_{1i}(-a_{1i})$
et pour les seconds à gauche par~$B_{j1}(-a_{j1})$.
\subq On conclue par récurrence.

\q ok.
\fi