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\chapter{Analyse hilbertienne}
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\minitoc
\newpage


Le but de chapitre est de généraliser l'espace ordinaire et son
produit scalaire

\begin{itemize}
 \item à la dimension $n$ : espace euclidien;
 \item à la dimension infinie : espace préhilbertien réel;
 \item aux nombres complexes : espace préhilbertien complexe, espace hermitien.
\end{itemize}

 La généralisation portera essentiellement sur les notions
d'orthogonalité et de projection orthogonale.

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\section{Produit scalaire sur un espace vectoriel réel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 Dans cette section, $E$ désigne un $\R$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie, sauf avis contraire.

\begin{Df}[Produit scalaire réel]\alaligne

 On appelle \emph{produit scalaire réel} sur $E$, toute forme
bilinéaire symétrique et définie positive, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\R$ telle que
\begin{prop}
 \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire  \hfill \emph{linéarité à
droite};

 \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\vphi(\vc
y,\vc x)$ \hfill \emph{symétrie};

 \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Dfs}[Espace préhilbertien réel, espace euclidien]\alaligne

 $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé un
\emph{espace préhilbertien réel}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace euclidien}.

 Le produit scalaire scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots
\end{Dfs}

\begin{NBs}\alaligne

 La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à
gauche.

 Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

 Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

 Si $F$ est un $\R$-sous-espace de $E$, tout produit
scalaire réel sur $E$ induit un produit scalaire réel sur $F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}\alaligne

\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\R^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n x_k y_k
$$

 \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\R}\bigr)^2,\quad
\scal XY=\trans XY=\sum_{k=1}^nx_k y_k
$$

 \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\R}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans A B)=\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur
le segment $\intf ab$ et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b f(t) g(t)\,dt
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues,
$2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}(\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues et
de carré intégrable sur l'intervalle $I$, et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{L}^2(I,\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_I f(t)g(t)\,dt 
$$

 \item Produits scalaires sur l'espace des polynômes à
coefficients réels; si $I$ est un intervalle et $w$ une fonction
continue sur $I$ et à valeurs réelles (strictement) positives,
telle que, pour tout entier $n$, $t\mapsto t^n
w(t)$ soit intégrable sur $I$, l'application
$$
(P,Q)\in\bigl(\R[X]\bigr)^2\mapsto\scal PQ=\int_I P(t) Q(t)w(t)\,dt
$$
est un produit scalaire. Les cas classiques sont
\begin{gather*}
I=\intf{-1}1,\ w(t)=1\et\scal PQ=\int_{-1}^1 P(t) Q(t)\,dt      \\
I=\into{-1}1,\ w(t)=\ra1{\sqrt{1-t^2}}\et
 \scal PQ=\int_{-1}^1 P(t) Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}        \\
I=\intfo0{+\infty},\ w(t)=e^{-t}\et
 \scal PQ=\int_0^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t}\,dt            \\
I=\into{-\infty}{+\infty},\ w(t)=e^{-t^2}\et
 \scal PQ=\int_{-\infty}^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t^2}\,dt
\end{gather*}

 \item Produit scalaire sur l'espace des suites réelles de carré
sommable $\ell^2_\N(\R)$, \ie{} les suites réelles $\suite a$
telles que la série $\sum_n a_n^2$ soit convergente.
$$
\qqs(\vc a,\vc b)\in\bigl(\ell^2_\N(\R)\bigr)^2,\quad
\Scal ab=\sum_{k=0}^{\infty} a_k b_k
$$
\end{prop}
\end{Exs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Norme et distance associée à un produit scalaire réel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 $E$ désigne un espace préhilbertien réel dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance associée]\alaligne

 La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est
définie par :
\Reponse{$
\qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
$}
 La distance associée au produit scalaire est définie par :
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
 =\sqrt{\scal{(\vc y-\vc x)}{(\vc y-\vc x)}}
$}

 Dans ce cas réel, la norme et la distance sont qualifiées
d'\emph{euclidiennes}. 
\end{Dfs}

\begin{Prop}
 $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie
\begin{prop}
 \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill \emph{axiome de séparation;}

 \item $\qqs(\la,\vc x)\in\R\times E,\ \norme{\la\vc
x}=\abs\la\,\norme{\vc x}$ \hfill \emph{axiome d'homogénéité.}
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

 \monitem $\norme{\la\vc x}
=\sqrt{\scal{\la\vc x}{\la\vc x}}
=\sqrt{\la^2\Scal xx}=\abs{\la}\Scal xx$
\end{demprop}

\end{proof}
%--------------------------------------------------
L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Règles de calcul]\alaligne

 Voici trois relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
 \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2={\norme{\vc x}}^2+2\Scal
xy+{\norme{\vc y}}^2$;

 \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

 \item $\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$\\
\mbox{}\hfill expression du produit scalaire réel à l'aide de la norme.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la
symétrie du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
    +\Scal yx+\Scal yy                      \\
 & = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}
 \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
La deuxième égalité s'interprète par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]\alaligne

 La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
 L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
euclidiennes, \ie{} les normes qui sont associées à un produit
scalaire (réel).
\end{NB}


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\subsection{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne

 Pour $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
$}
\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}

\begin{proof}
 Si $\norme{\vc x}=0$, $\vc x$ est le vecteur nul, l'inégalité,
qui devient une égalité dans ce cas, est vérifiée, et la famille
$(\vc x=\vc 0,\vc y)$ est une famille liée.

 Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose, pour $\la\in\R$,
$T(\la)=\norme{\la\vc x+\vc y}^2
=\la^2\norme{\vc x}^2+2\la\Scal xy+\norme{\vc y}^2$.
$T(\la)$ est un trinôme du second degré, que l'on écrit sous sa
forme canonique
\begin{equation}
0\leq T(\la)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
+\ra{\norme{\vc x}^2\norme{\vc y}^2-{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2}
\end{equation}
En donnant la valeur particulière
$\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

 Dans le cas de l'égalité de Cauchy-Schwarz, on a
\begin{equation}
T(\la)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
\end{equation}
 Donnant à $\la$ la valeur particulière
$\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient
$0=T(\la_0)=\norme{\la_0\vc x+\vc y}^2$, soit
$\la_0\vc x+\vc y=\vc 0$ et la famille $(\vc x,\vc y)$ est
une famille liée.

 Réciproquement, si la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille
liée, par exemple $\vc y=\mu\vc x$, alors
$$
\abs{\Scal xy}=\abs{\scal{\vc x}{\mu\vc x}}=\abs{\mu}\Scal xx
=\abs{\mu}\,\norme{\vc x}^2
=\norme{\vc x}\,\norme{\mu\vc x}=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
 Voici quelques exemples d'application de l'inégalité de Schwarz :
 
\begin{prop}

 \item cas de $\R^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de  $\Mnp[n,1]{\R}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\trans XY}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k}\leq
\bigl(\trans XX\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans YY\bigr)^{\ra12}
=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12}\Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\Mnp{\R}$ : 
$$
\abs{\scal AB}
=\abs{\tr(\trans A B)}=\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}}
\leq\bigl(\tr(\trans AA)\bigr)^{\ra12}\bigl(\tr(\trans BB)\bigr)^{\ra12}=
\Bigl(\sum_{i,j}a_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{i,j}b_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\R)$ : 
$$
\abs{\scal fg}=\Bigl|\int_a^b f(t) g(t)\,dt\Bigr|
\leq\Bigl(\int_a^b \bigl(f(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_a^b \bigl(g(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\mcal{L}^2(I,\R)$ :
$$
\abs{\scal fg}=\Bigl|\int_I f(t)g(t)\,dt\Bigr|
\leq \Bigl(\int_I \bigl(f(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_I \bigl(g(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\R[X]$ :
$$
\abs{\scal PQ}=\Bigr|\int_I P(t) Q(t)w(t)\,dt\Bigl|
\leq\Bigl(\int_I \bigl(P(t)\bigr)^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_I \bigl(Q(t)\bigr)^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$
Par exemple :
$$
\Bigl|\int_{-\infty}^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t^2}\,dt\Bigr|
\leq\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(P(t)\bigr)^2e^{-t^2}\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(Q(t)\bigr)^2e^{-t^2}\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\ell^2_\N(\R)$ :
$$
\abs{\Scal ab}=\Bigl|\sum_{k=0}^{\infty} a_k b_k\Bigr|
\leq\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} a_k^2 \Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} b_k^2 \Bigr)^{\ra12}
$$

\end{prop}
\end{Exs}

 L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls
$\vc x$ et $\vc y$ de~$E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme{\vc
x}\,\norme{\vc y}}$ est un réel de $\intf{-1}1$, réel que l'on écrit
$\cos\theta$, pour un $\theta$ unique du segment $\intf0\pi$;
ce qui donne la

\begin{Df}[Écart angulaire entre deux vecteurs réels]\alaligne

 Si $\vc x$ et $\vc y$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace
préhilbertien réel, il existe un unique $\theta\in\intf0\pi$ tel que
$$
\Scal xy=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}\cos\theta
$$
$\theta$ est appelé \emph{l'angle (non orienté) entre $\vc x$ et
$\vc y$}; cet  angle est défini à $\pi$ près.
\end{Df}

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\subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]\alaligne

 On a l'inégalité, dite de MinKowski,
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
 Développons $\norme{\vc x+\vc y}^2$ et utilisons l'inégalité de
Schwarz : 
$$
\norme{\vc x+\vc y}^2
 = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
 \leq \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2
  =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}
 $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$.
\end{Cor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 Dans cette section, $E$ désigne un $\C$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie, sauf avis contraire.

\begin{NB}
 Sur $\R$, l'égalité $x_1^2+x_2^2=0$ est équivalente à $x_1=0$
\emph{et} $x_2=0$. Sur $\C$, la situation est différente; on a :
$$
0=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2)\iff
z_1+iz_2=0 \text{\textbf{ ou }} z_1-iz_2=0
$$
tandis que
$$
0=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2
=z_1\conjug{z_1}+z_2\conjug{z_2} \iff z_1=0 \text{\textbf{ et }} z_2=0
$$
\end{NB}

\begin{Df}[Produit scalaire complexe ou hermitien]\alaligne

 On appelle \emph{produit scalaire complexe} ou \emph{produit
scalaire hermitien} sur $E$, toute forme
\emph{sesquilinéaire à symétrie hermitienne} et définie positive, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\C$ telle que
\begin{prop}
 \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
x\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire  \hfill \emph{linéarité à
droite};

 \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\conjug{\vphi(\vc
y,\vc x)}$ \hfill \emph{symétrie hermitienne};

 \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Dfs}[Espace préhilbertien complexe, espace hermitien]\alaligne

 $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé \emph{espace
préhilbertien complexe}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace hermitien}.

 Le produit scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$,\ \dots
\end{Dfs}

\begin{NBs}\alaligne

 La linéarité à droite et la symétrie hermitienne impliquent la
\emph{semi-linéarité}  à gauche, \ie{} pour tous nombres complexes
$\la_1$ et $\la_2$, pour tous vecteurs $\vc x_1$, $\vc x_2$
et $\vc y$ de $E$, 
\begin{align*}
\scal{\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2}{\vc y}
 & = \conjug{\scal{\vc y}{\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2}}
   \qquad\text{symétrie hermitienne}                \\
 & = \conjug{\la_1\scal{\vc y}{\vc x_1}
    +\la_2\scal{\vc y}{\vc x_2}}
    \qquad\text{linéarité à droite}                \\
 & = \conjug{\la_1}\scal{\vc x_1}{\vc y}+
    \conjug{\la_2}\scal{\vc x_2}{\vc y}
    \qquad\text{symétrie hermitienne}
\end{align*}

 Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

 Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

 Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit
scalaire hermitien sur $E$ induit un produit scalaire hermitien sur $F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}
 Reprenons les mêmes exemples que dans le cas réel, arrangés
à la sauce complexe par l'utilisation de la
conjugaison de la première variable.
\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\C^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

 \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\Mnp[n,1]{\C}^2,\quad
\scal XY=\trans\conjug{X}Y=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

 \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\C}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans\conjug{A} B)=\sum_{i,j}\conjug{a_{i,j}} b_{i,j}
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur
le segment $\intf ab$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\C)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,dt
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues,
$2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,dt
$$

 \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues,
de carré intégrable sur l'intervalle $I$ et à valeurs complexes :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{L}^2(I)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_I \conjug{f(t)}g(t)\,dt 
$$

 \item Produits scalaires sur l'espace des polynômes à
coefficients complexes; si $I$ est un intervalle et $w$ une fonction
continue sur $I$ et à valeurs réelles (strictement) positives,
telle que, pour tout entier $n$, l'application $t\mapsto t^n
w(t)$ soit intégrable sur $I$, l'application
$$
(P,Q)\in\bigl(\C[X]\bigr)^2\mapsto
\scal PQ=\int_I \conjug{P(t)} Q(t)\,w(t)\,dt
$$
est un produit scalaire. Les cas classiques sont
\begin{gather*}
I=\intf{-1}1,\ w(t)=1\et\scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,dt  \\
I=\into{-1}1,\ w(t)=\ra1{\sqrt{1-t^2}}\et
 \scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}   \\
I=\intfo0{+\infty},\ w(t)=e^{-t}\et
 \scal PQ=\int_0^{+\infty} \conjug{P(t)} Q(t)\,e^{-t}\,dt      \\
I=\into{-\infty}{+\infty},\ w(t)=e^{-t^2}\et
 \scal PQ=\int_{-\infty}^{+\infty} \conjug{P(t)} Q(t)\,e^{-t^2}\,dt
\end{gather*}

 \item Produit scalaire sur l'espace des suites complexes de carré
sommable $\ell^2_\N(\C)$, \ie{} les suites complexes $\suite a$
telles que la série $\sum_n \abs{a_n}^2$ soit convergente:
$$
\qqs(\vc a,\vc b)\in\bigl(\ell^2_\N(\C)\bigr)^2,\quad
\Scal ab=\sum_{k=0}^{\infty} \conjug{a_k} b_k
$$
\end{prop}
\end{Exs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Norme et distance associées à un produit scalaire complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 $E$ désigne un espace préhilbertien complexe dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance hermitienne]\alaligne

 Les définitions sont identiques au cas réel.
 La norme associée au produit scalaire hermitien $\scal{\ }{\ }$ est
définie par :
\Reponse{$
\qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
$}
 La distance associée au produit scalaire hermitien est définie par :
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
 =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}}
$}
 Dans ce cas complexe, on donne le qualificatif
d'\emph{hermitienne} à la norme et à la distance associées au
produit scalaire (hermitien).
\end{Dfs}

\begin{Prop}
 $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie
\begin{prop}
 \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill \emph{axiome de séparation;}

 \item $\qqs(\la,\vc x)\in\C\times E,\ \norme{\la\vc
x}=\abs\la\,\norme{\vc x}$ \hfill
\emph{axiome d'homogénéité.}
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

 \monitem $\norme{\la\vc x}
=\sqrt{\scal{\la\vc x}{\la\vc x}}
=\sqrt{\abs{\la}^2\Scal xx}=\abs{\la}\Scal xx$
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Règles de calcul]\alaligne

 Voici des relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
 \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2
={\norme{\vc x}}^2+2\RE\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$;

 \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

 \item
$\RE\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$     \\
$\IM\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$     \\
et
$\Scal xy=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)
+\ra i4\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$\\
\mbox{}\hfill expression du produit scalaire complexe à l'aide de la norme.
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
 \monitem Utilisons la linéarité à droite, la semi-linéarité à gauche et la
symétrie hermitienne du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
    +\Scal yx+\Scal yy                      \\
 & = \norme{\vc x}^2+\Scal xy+\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2    \\
 & = \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}

 \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.

 \monitem Changeons $\vc y$ en $-i\vc y$; on obtient, en
utilisant $\RE(-iz)=\IM z$,
$$
{\norme{\vc x-i\vc y}}^2
= {\norme{\vc x}}^2+2\RE(-i\Scal xy)+{\norme{\vc y}}^2
= {\norme{\vc x}}^2+2\IM\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2
$$
Par addition, on obtient les identités demandées.
\end{demprop}
\end{proof}
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La deuxième égalité s'interprète toujours par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]\alaligne

 La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
 L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
hermitiennes, \ie{} les normes associées à un produit scalaire
complexe (ou hermitien).
\end{NB}



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\subsection{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
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\begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne

 Pour $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
$}
\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}
\begin{proof}
 Si $\norme{\vc x}=0$\dots{} voir le cas réel.

 Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose $T(\la)=\norme{\la\vc x+\vc y}^2$
pour $\la\in\C$. On développe et on trouve :
\begin{align*}
0\leq T(\la)
 & = \norme{\la\vc x+\vc y}^2
   =\scal{\la\vc x+\vc y}{\la\vc x+\vc y}
   =\la\conjug{\la}\norme{\vc x}^2
    +\conjug{\la}\Scal xy+\la\conjug{\Scal xy}
    +\norme{\vc y}^2                        \\
 & = \norme{\vc x}^2
\Bigl(\conjug{\la}+\ra{\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
\Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
+\norme{\vc y}^2-\ra{{\Scal xy}\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}   \\
 & = \norme{\vc x}^2
    \Bigl|\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr|^2
    +\ra{\norme{\vc x}^2 \norme{\vc y}^2-\abs{\Scal xy}^2}
       {\norme{\vc x}^2}
\end{align*}

$T(\la)$ est un trinôme du second degré en la variable
\emph{complexe} $\la$, que l'on a écrit sous
sa forme canonique.
En donnant la valeur particulière
$\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

 Le reste de la démonstration se traite comme dans le cas réel.
\end{proof}
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\begin{Exs}
 Toujours les mêmes exemples d'application de l'inégalité de
Cauchy-Schwarz; il suffit d'ajouter une pincée de condiment \og
conjugaison\fg{} sur la première variable et le plat est prêt.
 
\begin{prop}

 \item cas de $\C^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de  $\Mnp[n,1]{\C}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\tc XY}=\abs[Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k}\leq
\bigl(\tc{X} X\bigr)^{\ra12}\bigl(\tc{Y}Y\bigr)^{\ra12}
=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12}
 \Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\Mnp{\C}$ : 
$$% \begin{multline*}
\abs{\scal AB}=\abs{\tr(\trans\conjug{A} B)}
 =\Bigl|\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}\Bigr|            %\\
\leq\bigl(\tr(\trans\conjug{A}A)\bigr)^{\ra12}
   \bigl(\tr(\trans\conjug{B}B)\bigr)^{\ra12}
 =\Bigl(\sum_{i,j} \abs{a_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12}
   \Bigl(\sum_{i,j}\abs{b_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12}
$$% \end{multline*}

 \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\C)$ : 
$$
\abs{\scal fg}=\Bigl|\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,dt\Bigr|
\leq\Bigl(\int_a^b \bigl|f(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_a^b \bigl|g(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\mcal{L}^2(I)$ :
$$
\abs{\scal fg}=\Bigl|\int_I \conjug{f(t)}g(t)\,dt\Bigr|
\leq \Bigl(\int_I \bigl|f(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_I \bigl|g(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\C[X]$ :
$$
\abs{\scal PQ}=\Bigr|\int_I \conjug{P(t)} Q(t)w(t)\,dt\Bigl|
\leq\Bigl(\int_I \bigl|P(t)\bigr|^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_I \bigl|Q(t)\bigr|^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12}
$$
Par exemple :
$$
\Bigl|\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr|
\leq\Bigl(\int_{-1}^1 \bigl|P(t)\bigr|^2\,
 \ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_{-1}^1 \bigl|Q(t)\bigr|^2\,
 \ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr)^{\ra12}
$$

 \item cas de $\ell^2_\N(\C)$ :
$$
\abs{\Scal ab}=\Bigl|\sum_{k=0}^{\infty} \conjug{a_k} b_k\Bigr|
\leq\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} \abs{a_k}^2 \Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} \abs{b_k}^2 \Bigr)^{\ra12}
$$

\end{prop}
\end{Exs}

 L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls
$\vc x$ et $\vc y$ de $E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme{\vc
x}\,\norme{\vc y}}$ est un nombre \emph{complexe} de module
inférieur ou égal à $1$; on ne peut
plus parler d'écart angulaire entre deux vecteurs d'un espace
vectoriel complexe.

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\subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire}
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\begin