%&latex % % Usage : MAC % \documentclass[12pt,a4paper]{article} % \usepackage[applemac]{inputenc} % \usepackage{t1enc} % \usepackage{amssymb} % \usepackage[frenchb]{babel} % \usepackage{mathtime,geometry} % \usepackage[dvips]{graphics} % \geometry{margin=2.5cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm} % % Usage : Linux, Windows % \documentclass[12pt,a4paper]{article} % \usepackage[latin1]{inputenc} % \usepackage{t1enc} % \usepackage{amssymb} % \usepackage[frenchb]{babel} % \usepackage{geometry} % \usepackage[dvips]{graphics} % \geometry{margin=2.5cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm} %===================================================================== \def\C{\mathbf{C}} \let\le\leqslant \let\ge\geqslant % Symboles, notations \def\abs#1{\vert #1 \vert} %===================================================================== \parindent0pt \begin{document} \begin{center}\Large \textbf{Olympiades de mathématiques du 9 mai 2001}\\ Indications pour les exercices proposés à titre d'entraînement\\ \rule{1cm}{0.2mm}\\\large Auteurs : \textit{Hassan Tarfaoui} (HT) et \textit{Jean-Michel Sarlat} (JMS)\\ \rule{1cm}{0.2mm} \end{center} \textbf{Exercice 1} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat L'un des nombres $x$, $y$ ou $z$ est nécessairement plus grand (au sens large) que les autres\ldots \textbf{Exercice 2} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Cela semble bien régulier, à tel point qu'en observant des différences à droite on peut prévoir que sur la quatrième ligne on trouvera $29^2$.\\ Comme les chose se confirment, formalisons un peu : nommons $u_{n}$ l'entier à gauche de l'égalité à la ligne $n$ et $v_{n}$ celui qui est à droite.\\ On a~: $u_{n}=n\times(n+1)\times(n+2)\times(n+3)+1$. Pour $v_{n}$, il faut conjecturer une écriture simple en fonction de $n$. Il reste alors à vérifier l'égalité pour tout $n$, en développant les expressions obtenues par exemple. \textbf{Exercice 3} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Il faut se faire la main sur des inégalités du même type, avec un second membre plus petit, permettant du moins une représentation. La réponse correspond au dénombrement des points à coordonnées entières qui s'inscrivent dans un losange \ldots ou un carré. Cela dépend de la façon de « voir » l'ensemble des solutions et cela procure en fait deux méthodes de dénombrement ! \textbf{Exercice 4} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Considérons pour commencer le quadrilatère $OMBN$, il est convexe (à établir !) et se décompose en deux triangles : $OMN$ et $MNB$. Pour une raison simple, l'aire de $MNB$ est égale au quart de celle de $ABC$. Comparons maintenant les aires des deux triangles $OMN$ et $JMN$ sachant que la droite $(OJ)$ est parallèle à $(MN)$\ldots\\ La démonstration s'achève en comparant les aires de $JMN$ et $DAC$. \begin{center} \scalebox{0.6}{\includegraphics{fig01.1}} \end{center} \textbf{Exercice 5} -- HT -- % indication : Hassan Tarfaoui Il faut résoudre l'équation suivante $x^2-10x-22-p(x)=0$ en utilisant le discriminant réduit $\Delta'$, puis il faut chercher les valeurs de $p(x)$ pour que $\Delta'$ soit un carré parfait sachant que $0\le p(x)\le 81$ et on achève la démonstration. \textbf{Exercice 6} -- HT -- % indication : Hassan Tarfaoui On note $x_{i}$ ($i=1,2,\ldots,2n+1$) le nombre de jetons contenus dans le $i$-\textit{ième} sachet, et $S=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{2n+1}$, le nombre total de jetons.\\ Il faut démontrer que $x_{i}-x_{j}$ est pair pour tout indice $i$ et $j$, déduire de ce qui précède que tous les $x_{i}$ ont la même parité. Fabriquer une nouvelle partition en posant~: $$\left\{\matrix{y_{i}&=&\displaystyle \frac{x_{i}}2&\hbox{ si tout $x_{i}$ est pair}\cr y_{i}&=&\displaystyle \frac{x_{i}-1}2&\hbox{ si tout $x_{i}$ est impair}}\right.$$ Conclure. \textbf{Exercice 7} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Faire le choix d'un triangle équilatéral au hasard. Deux possibilités : les trois sommets sont de la même couleur ou deux sont d'une couleur -- bleu (B), par exemple -- et le troisième de l'autre couleur -- rouge (R) --.\\ Dans ce dernier cas considérer le point milieu des deux sommets ayant la même couleur (B). Deux cas~:\\ -- il est bleu alors en considérant les milieux des deux autres côtés, immanquablement il apparaît un triangle équilatéral avec trois sommets de la même couleur~;\\ -- il est rouge alors il faut considérer le point symétrique du sommet rouge par rapport à ce point\ldots\\ Bien entendu il faut faire un dessin ! \textbf{Exercice 8} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Il faut « jouer » ici avec deux types de formules permettant le calcul de l'aire du triangle $ABC$, constante lorsque $C$ varie sur une droite parallèle à $(AB)$. La première est la formule classique et la seconde celle faisant intervenir le produit de deux côtés et le sinus de l'angle formé. Après quelques manipulation, constater que le produit des hauteurs est maximal lorsque le sinus de l'angle en $C$ est maximal. Il reste à faire une figure pour voir où cette condition semble réalisée et le démontrer ensuite\ldots \textbf{Exercice 9} -- JMS -- % indication : Jean-Michel Sarlat Pour la première question, les deux nombres étant positifs, il suffit de comparer leurs carrés. Pour rendre la démonstration plus « fluide », on peut supposer que $\abs{u}$ est inférieur ou égal à $\abs{v}$.\\ La seconde question exploite plusieurs fois le résultat de la première, dans un premier temps faire $u\leftarrow u_{1}$, $v\leftarrow u_{2}$, puis $u\leftarrow u_{3}$, $v\leftarrow u_{4}$, mettre de côté ce qui convient puis faire $u\leftarrow u_{1}-u_{2}$ et $v\leftarrow u_{3}-u_{4}$. Terminer avec l'inégalité triangulaire. \begin{center}\large \textit{Bon courage !} \end{center} \end{document}