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Vous savez sans doute qu'il y aura l'an prochain une épreuve de travaux
pratiques au baccalauréat série S.
 
Des sujets expérimentaux ont été testés dans plusieurs lycées et je vous
propose de regarder le sujet 1 de la liste.
 
Soit $(u)$ la suite définie par : $u_n=u_{n-1}+2(n-1)-11$ pour tout $n$
entier naturel non nul et $u_0=0$.
 
Déclarons la suite :
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> u[0]:0;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[0\]
\end{maxout}
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> u[n]:=u[n-1]+2*(n-1)-11$
\end{verbatim}
\end{maxin}
 
Calculons les seize premiers termes :
 
Représentons graphiquement les résultats obtenus:
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> xx:makelist(n,n,0,15);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14
  , 15 \right] \]
\end{maxout}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> yy:makelist(u[n],n,0,15);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ 0 , -11 , -20 , -27 , -32 , -35 , -36 , -35 , -32 , -27 , -20
  , -11 , 0 , 13 , 28 , 45 \right] \]
\end{maxout}
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> plot2d([discrete,xx,yy]);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\maxplot{fig01.pdf}
 
Nous remarquons, au regard du graphique obtenu, qu'il doit y avoir une
fonction polynôme du second degré derrière cela.
 
La suite $(u)$ serait-elle définie par: $u_n=f(n)$ où $f$ serait une
fonction polynomiale du second degré?
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> f(n):=a*n^2+b*n+c$
\end{verbatim}
\end{maxin}
 
Essayons de trouver $a$, $b$ et $c$ en résolvant un système linéaire
obtenu en égalisant $f(n)$ à $u_n$ pour trois valeurs de $n$.
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> linsolve([u[0]=f(0),u[1]=f(1),u[2]=f(2)],[a,b,c]);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ a=1 , b=-12 , c=0 \right] \]
\end{maxout}
 
Nous pouvons conjecturer que  $u_n=f(n)=n^2-12n$. Déterminons les seize
premières valeurs de $f(n)$.
 
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> f(n):=n^2-12*n$
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> makelist(f(n),n,0,15);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ 0 , -11 , -20 , -27 , -32 , -35 , -36 , -35 , -32 , -27 , -20
  , -11 , 0 , 13 , 28 , 45 \right] \]
\end{maxout}
 
Les résultats confirment la conjecture, nous n'avons plus qu'à démontrer
la propriété par récurrence.