Soit $(v)$ la suite définie par la relation de récurrence suivante: $v_0$ réel quelconque et, pour tout $n\in \mathbb N^*$,\, $v_{n+1}=-\frac{1}{2v_n+6}$. Fixons une valeur de $v_0$ et déclarons la suite $(v)$: \begin{maxin} \begin{verbatim} > v[0]:0; \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[0\] \end{maxout} \begin{maxin} \begin{verbatim} > v[n]:=-0.5*v[n-1]+6; \end{verbatim} \end{maxin} Calculons maintenant les 12 premiers termes de la suite: \begin{maxin} \begin{verbatim} > makelist(v[n],n,0,11); \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[\left[ 0 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375 , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \] \end{maxout} On peut penser que $v$ converge vers 4. Changeons de valeur pour $v_0$,prenons 2. \begin{maxin} \begin{verbatim} > v[0]:2; \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[2\] \end{maxout} \begin{maxin} \begin{verbatim} > makelist(v[n],n,0,11); \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[\left[ 2 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375 , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \] \end{maxout} Nous remarquons que la limite semble être la même. Essayons de nouveau,prenons $v_0=-3$. \begin{maxin} \begin{verbatim} > v[0]:-3; \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[-3\] \end{maxout} \begin{maxin} \begin{verbatim} > makelist(v[n],n,0,11); \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[\left[ -3 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375 , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \] \end{maxout} Il ne fait plus de doute que la valeur de $v_0$ ne semble pas affecter la convergence de la suite $(v)$ vers 4. Étudions la suite $(w)$ définie par $w_n=v_n-4$. \begin{maxin} \begin{verbatim} > w[n]:=v[n]-4; \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxin} \begin{verbatim} > makelist(w[n+1]/w[n],n,1,15); \end{verbatim} \end{maxin} \begin{maxout} \[\left[ -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 \right] \] \end{maxout} La suite $(w)$ semble être géométrique de raison -0.5, il ne reste plus qu'à démontrer la propriété rigoureusement. La raison de la suite $(w)$ étant, en valeur absolue, inférieure strictement à 1, on peut en déduire que $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}w_n=0}$, donc que la suite $(v)$ converge bien vers 4, ceci quelque soit la valeur de $v_0$.