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Scarabée

Soit O' un point de coordonnée (a,0), et les droites (AC) et (BD) à 45° des axes avec A distant de 2l de O' et C son symétrique, B et D étant construits de la même manière.
Prenons un segment [PQ] de longueur 2l. P appartenant à [AC] et Q à [BD]. On prend ensuite le point M comme le projeté de O (origine) sur (PQ).
Quand P décrit le segment [AC] et Q le segment [BD], M décrit le scarabee. On remarque aussi que [PQ] enveloppe une astroïde avec comme points de rebroussement A, B, C, D.

%@AUTEUR: Maxime Chupin
%@DATE: 19 mai 2007
 
verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[mdugm]{mathdesign}
\begin{document}
etex
 
u:=4cm;
picture trait[];
 
vardef proj(expr P,M,N) =
    save H;
 pair H;
    H = whatever [M,N];
    H - P = whatever * (M - N) rotated 90;
    H
enddef;
path scara,astro;
 
for i:=0 upto 400:
  beginfig(i+1);
    path ida,mida,dr,cercle,drb;
    pair A,B,C,D,Q,T,O',P,O,M,N;
    O:=(0,0);
    O':=(-u/3,0);
    A:=(u/sqrt(2),u/sqrt(2)) shifted O' ;
    B:=(u/sqrt(2),-u/sqrt(2)) shifted O';
    C:=(-u/sqrt(2),-u/sqrt(2))shifted O';
    D:=(-u/sqrt(2),u/sqrt(2)) shifted O';
    ida := 12[A,C]--12[C,A];
    mida := (12[D,B]--12[B,D]);
    drawarrow (-1.5u,0)--(1u,0);
    drawarrow (0,-1.2u)--(0,1.2u);
    dr:=A--C;
    drb:=B--D;
    if (i<200) or (i=200):
	P:= point (i*0.005) of dr;
	cercle:=halfcircle 
	    scaled 2u rotated 45 shifted P;
	if (i=0):
	    Q=O';
	fi;
	if (i<>0) and (i<>200):
	    Q:=cercle intersectionpoint drb;
	fi;
	if i=200:
	    Q=O';
	fi;
    fi;
    if (i>200):
	P:= point (2-i*0.005) of dr;
	cercle:=halfcircle 
	    scaled 2u rotated (-135) shifted P;
	if i<>400:
	    Q:=cercle intersectionpoint drb;
	fi;
	if i=400:
	    Q=O';
	fi;
    fi;
    M=proj(O,P,Q);
    draw 12[P,Q]--12[Q,P] dashed evenly;
    if i=0:
	scara:=M;
    else:
	scara:=scara--M;
    fi;
    % je définit ici la picture i faite d'un trait
    trait[i]:=image(
	draw P--Q withcolor 0.9 white;
    );
    % et je dessine toute succesivement jusqu'à i
    for j:=0 step 8 until i:
	draw trait[j];
    endfor;
    draw ida dashed evenly;
    draw mida dashed evenly;
    draw O--M dashed evenly;
    pickup pencircle scaled 1pt;
    draw scara withcolor red;
    pickup pencircle scaled 1.4pt;
    draw P--Q withcolor blue;
    label.rt(btex $2l$ etex, 0.5[P,Q]);
    label.top(btex $a$ etex, 0.5[O,O']);
    label.top(btex $x$ etex, (0.8u,0));
    label.rt(btex $y$ etex, (0,u));
    label.bot(btex 
	\itshape{\underline{scarabée}} etex,(-1.1u,1.1u));
    label.bot(btex $r=l\cos 2t-a\cos t$ etex, (-u/2,1.1u));
    dotlabel.urt(btex $O'$ etex, O');
    dotlabel.urt(btex $O$ etex, O);
    dotlabel.urt(btex $P$ etex, P);
    dotlabel.llft(btex $Q$ etex,Q);
    dotlabel.top(btex $M$ etex,M);
    dotlabel.rt(btex $A$ etex,A);
    dotlabel.rt(btex $B$ etex,B);
    dotlabel.lft(btex $C$ etex,C);
    dotlabel.lft(btex $D$ etex,D);
    clip currentpicture to 
	(u,1.2u)--(u,-1.2u)--(-1.5u,-1.2u)--(-1.5u,1.2u)--cycle;
  endfig;
endfor;
end.