La bouteille de Klein est un objet particulier en mathématiques, c'est une surface qui n'a qu'un seul côté (donc impossible à orienter) et qui est sans bords. Très prisée en topologie elle l'est donc aussi en cosmologie (voir par exemple : Lachièze-Rey et Luminet (1996)).

Voici une méthode :

• Prendre une courbe paramétrée fermée (périodique) ayant un point de rebroussement tourné vers l'extérieur, son aspect déterminera le profil de la bouteille.
  
  
  
  
  
  
  
• Prendre une fonction de même période que la courbe précédente et positive. Pour donner une certaine « classe » au goulot/culot de la bouteille il est préférable que la dérivée de cette fonction ne soit pas nulle au point caractérisant le rebroussement dans le profil. Cette fonction détermine le diamètre de la bouteille en chaque point du profil.
  
  
  
  
  
  
  
• Imaginez maintenant le déplacement d'un cercle de diamètre variable et égal à R(t), centré sur le point (0,y(t),z(t)) dans un plan orthogonal à la tangente au profil et « vivez » le rebroussement. Bien, maintenant passons aux réalisations.

Fichiers : yzr.mp,fonctions.mp, yzr.pdf.

Celles-ci sont toutes réalisées suivant le même modèle, en attendant d'en trouver un autre.

Celle-ci est fendue, on voit mieux la jonction goulot/culot.

Vue extraite des animations que vous pouvez consultez ci-dessous.

Animations : [PNG ] [GIF ] [MOV]

Le maillage d'une bouteille.

En cours d'habillage.

Fichier : klein09.pdf (pour « visualiser » la construction).

En voici une bien posée.

La méthode utilisée est la même que celle déjà employée pour la construction des tubes sur ce site : tubes01.
L'utilisation d'un script pour le calcul des points et pour ordonner le dessin des dalles s'avère intéressant à deux points de vue :

• On s'affranchit des contraintes de gestion de la mémoire par MetaPost qui est toutefois capable de mouliner de gros fichiers comportant des instructions fill et draw avec des arguments en partie calculés.
• On dispose de fichiers réutilisables par ces mêmes scripts.