Source de dm5.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% %%
%% P R É A M B U L E %%
%% ___________________________ %%
%% %%
%% BriCàMatH %%
%% %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[latin1]{inputenc}% codage utf8, sous linux principalement
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[pdfauthor={Christian TELLECHEA, administrateur de www.bricamath.net},colorlinks,citecolor=black,filecolor=black,linkcolor=black,urlcolor=black,bookmarks=false,pdfcreator={LaTeX}]{hyperref}
\usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}% pour les maths
\usepackage{array}% divers outils pour les tableaux
\usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-xkey,pst-text,pstricks-add}% Figures géométriques dans le code LaTeX
\usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante
\usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules
%\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main
\usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables
\usepackage{lmodern}% fonte modern
\usepackage{mathrsfs}% fonte cursive : emploi \mathscr{TEXTE}, en majuscules
%\usepackage{mathptmx}% fonte
%\usepackage{mathpazo}% fonte
%\usepackage{pslatex}% fonte Times
\usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes
\usepackage{ifthen}% pour faire des tests
\usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX
\usepackage{setspace}% pour spécifier l'interlignage
% importantion des petites capitales grasses
\rmfamily\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête
\usepackage[frenchb]{babel}% francisation
\FrenchFootnotes% des notes de bas de pages conformes à la typo française
\setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation
%
%#################################################################################
%########################### MES COMMANDES ###########################
%#################################################################################
%
% Pour avoir des lettres majuscules droites dans le mode math
% par JCC sur f.c.t.tex
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{65}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{66}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{67}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{68}
\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{69}
\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{70}
\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{71}
\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{72}
\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{73}
\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{74}
\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{75}
\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{76}
\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{77}
\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{78}
\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{79}
\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{80}
\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{81}
\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{82}
\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{83}
\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{84}
\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{85}
\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{86}
\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{87}
\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{88}
\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{89}
\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{90}
%
% pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP
% par JCC sur f.c.t.tex
\def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}}
\def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux}
\def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi}
\def\changecommapt#1.\changecommapt{#1}
%
% Teste si l'argument est un nombre
% par JCC sur f.c.t.tex
% Utilisation : \IFnombre{#1}{code si #1 est un nombre}{code si #1 n'est pas un nombre}
% \decimalpart et \intergerpart contiennent les parties décimales et entières
\makeatletter
\newcount\integerpart
\newcount\decimalpart
\newcommand\IFnombre[3]{%
\decimalpart=0
\afterassignment\defnext\integerpart=0#1\relax\@nil
\expandafter\@dotorcomma\next\@nil
\if\relax\@remain
#2%
\else
#3
\fi
}
\def\defnext#1\@nil{\def\next{#1}}%
\def\@dotorcomma{\@ifnextchar.{\@decimal}{\@comma}}
\def\@comma{\@ifnextchar,{\@decimal}{\@endnumber}}
\def\@decimal#1#2\@nil{%
\afterassignment\defnext\decimalpart=0#2\@nil
\expandafter\@endnumber\next\@nil
}
\def\@endnumber#1\@nil{\def\@remain{#1}}
\makeatother
% On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés
\newcommand*{\setenumeratedefaut}{
\setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}}
\setenumeratedefaut
\let\oldenumerate=\enumerate
\let\oldendenumerate=\endenumerate
%
%%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%%
\newenvironment{Questions}{%
\setenumerate{%
itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items
topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus
partopsep=0cm,%
parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item
leftmargin=*,% pas de marge gauche
align=left,% alignement des numéros à gauche
labelindent=0pt,% indentation du numéro
widest=8),% largeur du numéro
labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
%%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%%
\newenvironment{SousQuestions}{%
\setenumerate{
itemsep=3ptplus1ptminus2pt,% espacement vertical entre items
topsep=4ptplus2ptminus4pt,% séparation avec avec le texte de l'item de hiérarchie plus haute, si celui ci existe
partopsep=0pt,%
parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item
leftmargin=*,%
align=left,% alignement des lettres à gauche
widest=b),% largeur maxi du numéro
labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
% Puces
\newenvironment{Puces}[1][1cm]%
{\begin{list}%
{$\bullet$}%
{ \setlength{\leftmargin}{#1}% marge à gauche, par défaut=1cm
\setlength{\itemsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre item
\setlength{\topsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre le paragraphe précédent et le 1er item
}}%
{\end{list}}
%
% Affiche "Nom : Prénom : Classe :"
\newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}}
%
% Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré
\newcommand*{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}}
%
% Affiche la date en italique centré
\newcommand*{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}}
%
% Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début
\newcommand*{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}}
%
% Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables
\newcommand*{\ligne}[5]{%
%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après
\vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne
\rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne
\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation
\rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne
\vspace*{#5}% on met l'espace final
}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine)
\newcommand*{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0pt}}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une ligne fine
\newcommand*{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}}
%
% Met en gras dans les formules math
\newcommand*{\gras}[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}}
%
% Forme un angle
\newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}}
%
% Forme un arc commande n°1 : arc plutôt bas
\makeatletter
\newcount\r@pport \newdimen\r@ppord
\newcount\kslant \newdimen\kslantd
\newcommand*{\arc}[1]{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0
\divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1
\divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1
\divide\kslantd by7750\kern\kslantd
\r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0
\multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0
\pspicture(0,0)
\parabola[linewidth=.3pt]{-}(0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.15\r@ppord)
\endpspicture
\kern-\kslantd\box0}
\makeatother
%
% Forme un arc commande n°2 : arc plus haut, argument optionnel = épaisseur de la ligne
\newcommand*{\Arc}[2][0.3pt]{%
\newlength{\longarc}
\settowidth{\longarc}{$#2$}%
\unitlength\longarc%
\ensuremath{%
\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)\linethickness{#1}\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)\end{picture}}%
{#2}%
}%
}
% Met entre guillemets français
\def\guill#1{\og{}#1\fg{}}
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%% F I N D U P R É A M B U L E %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\author{BriCàMatH}
\hypersetup{pdftitle={Devoir maison. Classe troisième},pdfsubject={Devoir de maths niveau troisième avec correction},pdfkeywords={équations,trigonométrie}}
\title{Devoir maison n°5 : équation et trigonométrie}
\date{21/12/2007}
\begin{document}
\titre{Devoir maison \no5}
\DoubleLigne{\ladate{Pour le lundi 7/01/2008}}
\exo{Exercice 1.}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{flalign*}
(2x-3)^2-(2x-1)(2x+3)=0 && x\sqrt{2}+1=2x\sqrt{2}-5 && \dfrac{x}{2}-\dfrac{2x-5}{3}=1 && \dfrac{x+2\sqrt{2}}{x\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}
\end{flalign*}
\exo{Exercice 2.}
Dans mon porte monnaie, j'ai des pièces de 20 centimes et des pièces de 10 centimes.
J'ai 30 pièces pour un total de 5,30~\textgreek{\euro}.\medskip
Combien de pièces de chaque valeur y a t-il dans mon porte monnaie ?
\exo{Exercice 3.}
Un rectangle a un périmètre de 58 cm.
Si l'on augmente la largeur de 1 cm et que l'on diminue la longueur de 2 cm, l'aire reste inchangée.\medskip
Quelles sont les dimensions initiales de ce rectangle ?
\exo{Exercice 4.}
ABCD est un rectangle tel que : \quad$AB=DC=9\text{ cm}\qquad AD=BC=5\text{ cm}$
M est un point du segment [AB], et on appelle $x$ la longueur AM.
\begin{Questions}
\item Calculer en fonction de $x$ les aires du triangle BMC et du trapèze AMCD.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du trapèze AMCD vaut-elle le double de celle du triangle BMC?
\end{Questions}
\exo{Exercice 5.}
Soit l'expression littérale suivante : $A=4x^2-4x+1-(2x-1)(3x-2)$
\begin{Questions}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser $4x^2-4x+1$, et en déduire la factorisation de A.
\item Résoudre l'équation $A=0$
\item Calculer la valeur de A lorsque $x=-5$ . Donner également l'écriture scientifique du résultat.
\end{Questions}
\exo{Exercice 6.}
Le but de cet exercice est de calculer la valeur exacte de $\sin15\degres$\medskip
Dans la figure ci-dessous qui n'est pas représentée en vraie grandeur, ABC est un triangle équilatéral de côté 2 cm pour lequel [AH] est une médiatrice, BCD est un triangle rectangle isocèle en D, et K est le pied de la hauteur issue de D dans le triangle ABD.\newline
On admet que le point D appartient au segment [AH].\medskip
\begin{minipage}{11cm}
\begin{Questions}
\item%
\begin{SousQuestions}
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs BD, DH, AH et AD.
\item En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle ABD.
\end{SousQuestions}
\item Dans cette question, on \emph{n'utilisera pas} les résultats de la question 1.
\begin{SousQuestions}
\item En justifiant votre réponse, donner la mesure de l'angle \Angle{ABD}.
\item Démontrer que $KD=\sqrt{2}\times\sin15\degres$
\item Déduire de la question précédente, l'expression de l'aire du triangle ABD en fonction de $\sin15\degres$.
\end{SousQuestions}
\item Démontrer que $\sin15\degres=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
\end{Questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(5.5,5)
\psline[linewidth=0.3pt](2.8,2.8)(3,2.6)(3.2,2.8)%codages angles droits
\psline[linewidth=0.3pt](3.28,1)(3.28,1.28)(3,1.28)
\psline[linewidth=0.3pt](2.55,3.26)(2.66,3.44)(2.47,3.55)
\pspolygon(1,1)(5,1)(3,4.46)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,4.46)(3,1)%AH
\psline(1,1)(3,3)(5,1)%BD et DC
\psline[linewidth=0.3pt](1.91,2.04)(2.04,1.91)%codages segments égaux
\psline[linewidth=0.3pt](1.96,2.09)(2.09,1.96)
\psline[linewidth=0.3pt](4.04,2.09)(3.91,1.96)
\psline[linewidth=0.3pt](4.09,2.04)(3.96,1.91)
\psline[linestyle=dashed,dash=1.5pt 1.5pt](2.37,3.37)(3,3)%KD
\rput[bl](0.6,0.9){B}\rput[bl](5.1,0.9){C}\rput[bl](2.9,4.64){A}
\rput[bl](2.92,0.6){H}\rput[bl](3.1,3.1){D}\rput[bl](2.1,3.4){K}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\exo{Énigmes de Noël.}
\begin{Questions}
\item L'air chaud, plus léger que l'air froid, monte.\newline
Comment expliquer alors qu'il fasse plus froid en haut des montagnes qu'en bas?
\item Lorsque l'on ajoute du sel dans de l'eau ou de la glace, cela fait baisser la température.\newline
Comment expliquer alors que l'on mette du sel sur les routes pour éviter le gel?
\item La voyante réputée Inès Kroquerie peut répondre avec exactitude à n'importe quelle question concernant les évènements futurs. Trouverez-vous une question simple sur un évènement futur à laquelle la voyante ne peut nécessairement pas répondre?
\item Compléter logiquement les <<\!?>> dans cette série : \textsf{A3 M4 T2 K3 Z3 V\!? \!?1 E\!?}
\end{Questions}
\pagebreak
\titre{Correction du devoir maison \no5}
\exo{Exercice 1.}
\begin{align*}
(2x-3)^2-(2x-1)(2x+3)&=0& x\sqrt{2}+1&=2x\sqrt{2}-5\\
4x^2-12x+9-(4x^2+6x-2x-3)&=0& x\sqrt{2}-2x\sqrt{2}&=-5-1\\
\cancel{4x^2}-12x+9-\cancel{4x^2}-6x+2x+3&=0& -x\sqrt{2}&=-6\\
-12-6x+2x&=-9-3& x&=\dfrac{-6}{-\sqrt{2}}\\
-16x&=-12& x&=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2}\\
x&=\dfrac{-12}{-16}& x&=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}\\
\gras{x}&\gras{=\dfrac{3}{4}}& \gras{x}&\gras{=3\sqrt{2}}\\[8mm]
\dfrac{x}{2}-\dfrac{2x-5}{3}&=1& \dfrac{x+2\sqrt{2}}{x\sqrt{2}-1}&=\sqrt{2}\\
\dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}+\dfrac{5}{3}&=1& x+2\sqrt{2}&=\sqrt{2}(2\sqrt{2}-1)\\
\dfrac{3x}{6}-\dfrac{4x}{6}&=\dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3}& x+2\sqrt{2}&=2x-\sqrt{2}\\
-\dfrac{x}{6}&=-\dfrac{2}{3}& x-2x&=-\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
x&=\dfrac{2\times6}{3}& -x&=-3\sqrt{2}\\
\gras{x}&\gras{=4}& \gras{x}&=\gras{3\sqrt{2}}
\end{align*}
\exo{Exercice 2.}
On pose par exemple $x$ le nombre de pièces de 20 centimes ($x>0$) : cela représente $20x$ centimes.\par
Dans ce cas, comme il y a 30 pièces, j'ai $30-x$ pièces de 10 centimes : cela représente $10(30-x)$ centimes.\par\smallskip
On obtient l'équation du 1\ier{} degré en écrivant que la somme que représente toutes ces pièces vaut 530 centimes : $20x+10(30-x)=530$\par\smallskip
On obtient facilement $x=23$, et donc \textbf{j'ai 23 pièces de 20 centimes et 7 pièces de 10 centimes}.
\exo{Exercice 3.}
Appelons par exemple $a$ la largeur de ce rectangle. Comme le périmètre vaut 58 cm, alors la longueur vaut $\dfrac{58-2a}{2}$ c'est-à-dire $29-a$.\par
On a donc le tableau suivant :\qquad
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
& initial & après changements \\ \hline
largeur & $a$ & $a+1$ \\ \hline
longueur & $29-a$ & $29-a-2$\\\hline
\end{tabular}\smallskip
En écrivant la conservation des aires, on a l'équation suivante : $a(29-a)=(a+1)(27-a)$\par
On la résout aisément, et on trouve $a=9$.\par\smallskip
Par conséquent, \textbf{le rectangle initial a pour largeur 9 cm et pour longueur 20 cm}.
\exo{Exercice 4.}
\begin{Questions}
\item $\text{Aire}_{BMC}=\dfrac{BC\times BM}{2}=\gras{\dfrac{5(9-x)}{2}\text{ cm}^2}$\par
$\text{Aire}_{AMCD}=\text{Aire}_{\text{rectangle}}-\text{Aire}_{BMC}=\gras{45-\dfrac{5(9-x)}{2}\text{ cm}^2}$
\item Il suffit de résoudre $\text{Aire}_{AMCD}=2\times\text{Aire}_{BMC}$ c'est -à-dire $45-\dfrac{5(9-x)}{2}=2\times\dfrac{5(9-x)}{2}$\par
Cette équation devient $45=\dfrac{3\times5\times(9-x)}{2}$\par
On la résout classiquement en écrivant l'égalité des produits en croix.\par
On trouve $x=3$. Et donc, \textbf{lorsque $\gras{x=3\text{ cm}}$, l'aire de AMCD est le double de l'aire du BMC}.
\end{Questions}
\pagebreak
\exo{Exercice 5.}
\begin{multicols}{2}
\begin{Questions}
\item ~\par$
\begin{aligned}
A&=4x^2-4x+1-(2x-1)(3x-2)\\
&=4x^2-4x+1-(6x^2-4x-3x+2)\\
&=4x^2-4x+1-6x^2+4x+3x-2\\
&=\gras{-2x^2+3x-1}
\end{aligned}
$
\item $4x^2-4x+1$ est le développement d'une identité remarquable, et on a : $4x^2-4x+1=\gras{(2x-1)^2}$\par\smallskip
On peut donc écrire $A$ sous la forme :\par
$
\begin{aligned}
A&=(2x-1)^2-(2x-1)(3x-2)\\
&=(2x-1)(2x-1)-(2x-1)(3x-2)\\
&=(2x-1)[(2x-1)-(3x-2)]\\
&=(2x-1)(2x-1-3x+2)\\
&=\gras{(2x-1)(-x+1)}
\end{aligned}
$
\item On utilise l'expression factorisée pour obtenir une équation-produit.
\begin{align*}
&&(2x-1)(-x+1)=0\\
2x-1&=0&\text{ou}&&-x+1&=0\\
2x&=1&\text{ou}&&-x&=-1\\
x&=\dfrac{1}{2}&\text{ou}&&x&=1
\end{align*}
\textbf{Les solutions sont donc $\gras{\dfrac{1}{2}}$ et 1}.
\item On prend l'expression factorisée, et\par
$A=(2\times(-5)-1)\times(-(-5)+1)=-11\times6=\gras{-66}\\
A=\gras{-6,6\times10^1}$
\end{Questions}
\end{multicols}
\exo{Exercice 6.}
\begin{Questions}
\item
\begin{SousQuestions}
\item Le triangle BDC étant rectangle isocèle en D, $\Angle{DBC}=45\degres$. Par conséquent, le triangle BDH est également rectangle isocèle en H, et donc $\gras{DH=BH=1\text{ cm}}$.\par
Dans le triangle DBH rectangle en H, avec le théorème de Pythagore, on trouve que $\gras{BD=\sqrt{2}\text{ cm}}$.\par
Dans le triangle ABH rectangle en H, avec le théorème de Pythagore, on trouve que $\gras{AH=\sqrt{3}\text{ cm}}$.\par
Par soustraction, $AD=AH-DH$, on a $\gras{AD=\sqrt{3}-1\text{ cm}}$.
\item $\text{Aire}_{ABD}=\dfrac{AD\times BH}{2}=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\times1}{2}=\gras{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\text{ cm}^2}$
\end{SousQuestions}
\item
\begin{SousQuestions}
\item Le triangle ABC étant équilatéral, $\Angle{ABC}=60\degres$. Le triangle BCD étant rectangle isocèle en D, $\Angle{DBC}=45\degres$.\par
Par conséquent, $\Angle{ABD}=\Angle{ABC}-\Angle{DBC}=60-45=\gras{15\degres}$.
\item Dans le triangle BKD rectangle en K : $\sin\Angle{KBD}=\dfrac{KD}{BD}$ et donc $\sin15\degres=\dfrac{KD}{\sqrt{2}}.$\par
On a bien $\gras{KD=\sqrt{2}\times\sin15\degres}$
\item $\text{Aire}_{ABD}=\dfrac{AB\times KD}{2}=\dfrac{\cancel{2}\times\sqrt{2}\sin15\degres}{\cancel{2}}=\gras{\sqrt{2}\times\sin15\degres\text{ cm}^2}$
\end{SousQuestions}
\item On a trouvé aux questions 1b et 2c, deux façons différentes d'exprimer l'aire du triangle ABD.
\par On peut écrire qu'elles sont égales, et on a : $\sqrt{2}\times\sin15\degres=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$\par
On obtient alors : $\sin15\degres=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\gras{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
\end{Questions}
\exo{Énigmes de Noël.}
\begin{Questions}
\item Plusieurs facteurs interviennent dans ce paradoxe, dont certains sont très complexes.\par
L'air chaud qui est plus léger que l'air froid, a tendance à monter. En montant, il se dilate puisque la pression diminue. Et lorsque qu'un gaz se dilate, sa température diminue. On dit que l'air a subit une \emph{dilatation adiabatique\footnote{\guill{Adiabatique} signifie sans échange de chaleur.}}.
\item Lorsqu'on ajoute du sel sur de la glace, la température diminue mais le point de congélation diminue encore plus : pour environ 23\% de sel\footnote{Cette proportion est énorme, et n'est jamais atteinte sur les routes. Malgré des proportions de sel moins importantes, le salage des routes est une source non négligeable de pollution en France. D'ailleurs, le salage est-il vraiment nécessaire?} dans l'eau, le mélange eau-sel ne gèle qu'à $-21$~\degres C !\par
Faire des recherches sur google avec ''\verb|Sel routes|'' ou consulter\par
\verb|http://fr.wikipedia.org/wiki/Glace#Fusion_eutectique|
\item La voyante ne peut répondre à cette question : \guill{Votre prochaine réponse sera t-elle : ''Non'' ?}
\item Après chaque lettre figure le nombre de segment(s) nécessaire(s) pour la tracer.\par
La suite complète est donc : \textsf{A3 M4 T2 K3 Z3 V\textbf{2} \textbf{I}1 E\textbf{4}}
\end{Questions}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 19 janvier 2008 (0.06s - 3952644 - 9 janvier 2009)
