Source de brevet_blanc.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\input{preambule}
\input{espace}
\hypersetup{pdftitle={Brevet blanc. Classes de troisième},pdfsubject={Brevet blanc maths niveau troisième},pdfkeywords={fractions,racines carrées,calcul littéral,Thalès,Pythagore,trigonométrie,fonctions}}
\newcommand*{\Activites}[1]{%
\bigskip\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{3.2pt}{1.5pt}{0pt}\par
\DoubleLigne{\titre{#1}}\par
\bigskip}
\newcommand\TSVP{\vfil\par\hfill T.S.V.P.$\rightharpoonup$}
\newcommand*\Partie[1]{\bigskip{\textit{\textbf{#1}}}\bigskip}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\null\par\vfill
\begin{center}
\begin{minipage}{0.75\linewidth}
\begin{center}
{\Huge\bfseries Brevet blanc}\par\vspace{5pt}
\small classes de 3\ieme{}\par\vspace{30pt}
\normalsize le 28 mars 2008
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill
\TSVP
\end{titlepage}
\emph{Avertissements} :
\setlength{\parindent}{2em}
\begin{itemize}
\item la calculatrice est autorisée, mais le prêt ou l'échange de calculatrice entre candidats est interdit;
\item la durée de l'épreuve est de 2 heures;
\item ce sujet comporte 1 page de garde et 3 pages dactylographiées;
\item la feuille de papier millimétrée, utilisée dans le problème, est à rendre avec votre copie.
\item le barème sur 40 points se décompose comme suit :\setlength{\parindent}{3em}
\begin{itemize}
\item[$\ast$] 12 points pour les activités numériques;
\item[$\ast$] 12 points pour les activités géométriques;
\item[$\ast$] 12 points pour le problème;
\item[$\ast$] 4 points pour la présentation et le soin apportés à la copie.
\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0em}
\bigskip
\Activites{Activités numériques (12 points)}
\bigskip
Les cinq exercices sont \emph{totalement indépendants}.
Tous les calculs devront être détaillés par suffisamment d'étapes intermédiaires.\bigskip
\exo{Exercice 1.}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
La formule de l'aire d'un trapèze est donnée par $\mathscr{A}=\dfrac{(B+b)\times h}{2}$\smallskip
dans laquelle les lettres $B$, $b$ et $h$ représentent respectivement la grande base, la petite base et la hauteur.\bigskip
Calculer l'aire d'un trapèze dans lequel $B=\dfrac{9}{2}\text{ cm}$, $b=\dfrac{8}{3}\text{ cm}$ et $h=5\text{ cm}$.
La réponse sera donnée en valeur exacte puis arrondie au $\text{mm}^2$ près.
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5,3)
\pspolygon(1,1)(1.5,2.5)(3,2.5)(4.5,1)%
\Cotation[styleTraitRappel=none,decalFleche=-0.5](1,1)(4.5,1){$B$}%
\Cotation[styleTraitRappel=none,decalFleche=0.4](1.5,2.5)(3,2.5){$b$}%
\Cotation[styleTraitRappel=none,rotationTexte=0,decalFleche=-0.5](4.5,1)(4.5,2.5){$h$}%
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}%
\exo{Exercice 2.}
On donne : $A=\sqrt{27}+1\quad\text{et}\quad B=2\sqrt{3}-5$\medskip
Calculer $A-B$ et $A\times B$ en donnant les résultats sous forme $a\sqrt{3}+b$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
\exo{Exercice 3.}
Dans un restaurant M. Durand commande 1 pizza et 2 jus de fruit et paie 11 euros.\smallskip
Ă€ la table voisine, la famille Dupont commande 5 pizzas et 9 jus de fruit et paie en tout 53 euros.\medskip
Dans ce restaurant, toutes les pizzas sont au mĂŞme tarif et tous les jus de fruit ont un prix identique.
\begin{Questions}
\item Écrire un système de deux équations traduisant les données.
\item Calculer à l'aide de ce système le prix d'une pizza et celui d'un jus de fruit.
\end{Questions}
\exo{Exercice 4.}
Les membres de la famille Dupuis commandent 5 desserts à 2,40€ chacun.
\\Le restaurateur leur accorde une remise de 15\%.
\medskip
Combien la famille Dupuis va-t-elle payer, en tout, pour ses desserts ?
\exo{Exercice 5.}
On considère deux carrés ABCD et MNPQ (voir figure ci-contre).
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{Questions}
\item Que représente sur la figure l'expression $E= (2x-5)^2-8^2$
\item Développer et réduire cette expression E.
\item Factoriser E.
\item En déduire les solutions de l'équation E=0.
\end{Questions}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{pspicture}(0,0)(5,4.5)
\psframe[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=8pt](1,1)(4,4)%
\rput[br](0.95,4.05){A}%
\rput[bl](4.05,4.05){B}%
\rput[tl](4.05,0.95){C}%
\rput[tr](0.95,0.95){D}%
\Cotation[styleTraitRappel=none,decalFleche=0.4](1,4)(4,4){$2x-5$}%
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,1.75)(3.25,3.25)%
\rput[br](1.7,3.3){M}%
\rput[bl](3.3,3.3){N}%
\rput[tl](3.3,1.7){P}%
\rput[tr](1.7,1.7){Q}%
\Cotation[styleTraitRappel=none,decalFleche=0.2](1.75,1.75)(3.25,1.75){8}%
\end{pspicture}
\end{minipage}
\TSVP
\pagebreak
\Activites{Activités géométriques (12 points).}
La figure ci-dessous représente un parallélogramme ABCD tel que $AB=\numprint[cm]{8}$\quad;\quad$AD=\numprint[cm]{5}$\quad et\quad$\Angle{ABD}=\numprint[\tcdegree]{30}$.
Elle n’est pas en vraie grandeur. On a également représenté le cercle de diamètre [AD].
\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(0,0)(15,7)
\psline(6,2)(1,4)%
\psline(1,4)(9,4)%
\pspolygon(9,4)(14,2)(6,2)%
\rput[br](0.9,4.1){A}%
\rput[bl](9.1,4.1){B}%
\rput[tl](14.1,1.9){C}%
\rput[t](6.2,1.9){D}%
\psline(9,4)(6,2)%
\pscircle(3.5,3){2.693}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip
\begin{Questions}
\item Construire le parallélogramme ABCD en vraie grandeur sachant que l’angle \Angle{BAD} doit être aigu.
\item Construire le cercle de diamètre [AD]. On note H le deuxième point d’intersection de ce cercle avec la droite (BD). Construire le point H.
\item DĂ©montrer que le triangle ADH est rectangle en H.
\item DĂ©montrer que $AH=\numprint[cm]{4}$, puis calculer DH.
\item Placer le point P appartenant au segment [AB] tel que $AP=\numprint[cm]{2}$. La parallèle à (AD) passant par P coupe (BD) au point Q. Construire le point Q.\par
Calculer PQ en justifiant.
\item Placer le point S appartenant Ă [AH] tel que $AS=\numprint[cm]{3,5}$ et le point T appartenant Ă [AD] tel que $AT=\numprint[cm]{4,2}$.\par
Les droites (ST) et (HD) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{Questions}
\TSVP
\pagebreak
\Activites{Problème (12 points).}
\Partie{Partie A}
L’association des élèves propose de financer le voyage de la classe de 3\ieme{}A d’un collège en vendant des calendriers. Pour cela, elle propose trois formules de financement :
\begin{Puces}
\item Formule A : 7,40€ par calendrier vendu;
\item Formule B : une aide forfaitaire de 170€ et 5,90€ par calendrier vendu;
\item Formule C : une aide forfaitaire de 750€ quel que soit le nombre de calendriers vendus
\end{Puces}
\bigskip
\begin{Questions}
\item
\begin{SousQuestions}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\rule[-1ex]{0ex}{3.5ex}}r|*5{>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}}
\hline
Nombre de calendriers vendus&10&50&100&150&250\\
\hline
Formule A&&&&&\\
\hline
Formule B&&&760&&\\
\hline
Formule C&&750&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item En s’aidant du tableau complété ci-dessus, dire quelle est la formule qui rapporte le plus d’argent à la classe si l’association vend 10 calendriers ? 100 calendriers ? 250 calendriers ?
\end{SousQuestions}
\item On note $x$ le nombre de calendriers vendus par l’association des élèves. On appelle :
\setlength{\parindent}{3em}
\begin{itemize}
\item $P_A$ le montant du financement obtenu avec la formule A;
\item $P_B$ le montant du financement obtenu avec la formule B;
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0em}
Exprimer $P_A$ et $P_B$ en fonction de $x$.
\item
\begin{SousQuestions}
\item Résoudre l’inéquation $170+\numprint{5,90}x\leqslant\numprint{7,40}x$.
\item À partir de combien de calendriers vendus, la formule A rapporte-t-elle plus d’argent que la formule B ? Justifier.
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\bigskip
\Partie{Partie B}
Les constructions seront réalisées avec le plus grand soin sur la feuille millimétré fournie.
\begin{Questions}
\item
\begin{SousQuestions}
\item Tracer un repère orthogonal $(O;\;I,\;J)$ avec O placé en bas à gauche.
On prendra les unités suivantes :
\setlength{\parindent}{3em}
\begin{itemize}
\item 1 cm pour 20 calendriers vendus sur l’axe des abscisses;
\item 1 cm pour 100 euros sur l’axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0em}
\item Dans le repère précédent, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :\par
\hspace{3em}$f(x)=\numprint{7,40}x$\par
\hspace{3em}$g(x)=170+\numprint{5,90}x$
\end{SousQuestions}
\item L’association des élèves a gagné \numprint{1350}€ avec la formule B.\par
Déterminer graphiquement le nombre de calendriers vendus (tracer des pointillés verts sur le graphique permettant la lecture).
\item Retrouver le résultat de la question précédente en résolvant une équation.
\item On admet donc que cette année l’association des élèves a financé le voyage de la 3\ieme{}A à hauteur de \numprint{1350}€. Sachant que l’année dernière elle avait financé ce même voyage à hauteur de \numprint{1150}€, calculer le pourcentage d’augmentation du financement entre l’année dernière et cette année (arrondir au dixième de pourcent).
\end{Questions}
\vfill\hfill $\square$
\end{document}
— Syracuse — Derničre modification : 23 avril 2008 (0.08s - 3952741 - 9 janvier 2009)
