Source de dm_trigo.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}% utf8, sous linux
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}
\usepackage{array}
\usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot}% Figures géométriques dans le code LaTeX
\usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante
\usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules
%\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main
\usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables
\usepackage{lmodern}% fonte modern
\usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes
\usepackage{ifthen}% pour faire des tests 'utile uniquement dans CalculPythagoreDirect'
\usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX
\rmfamily% importantion des petites capitales grasses
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête
\usepackage[frenchb]{babel}% francisation
\setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation
%
%#################################################################################
%########################### MES COMMANDES ###########################
%#################################################################################
%
%pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP
\def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}}
% mettre \def\nombrefr#1{\expandafter\nombre{\expandafter\changecomma{#1}}} pour avoir des séparations tous les 3 chiffres
\def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux}
\def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi}
\def\changecommapt#1.\changecommapt{#1}
% On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés
\newcommand*{\setenumeratedefaut}{
\setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}}
\setenumeratedefaut
\let\oldenumerate=\enumerate
\let\oldendenumerate=\endenumerate
%
%%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%%
\newenvironment{Questions}{%
\setenumerate{%
itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items
topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus
partopsep=0cm,%
parsep=0pt,%
leftmargin=*,% pas de marge gauche
align=left,% alignement des numéros à gauche
labelindent=0pt,% indentation du numéro
widest=8),% largeur du numéro
labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
%%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%%
\newenvironment{SousQuestions}{%
\setenumerate{
itemsep=0cm,% espacement vertical serré
topsep=0cm,% pas de séparation avec le haut
partopsep=0cm,%
parsep=0pt,%
leftmargin=*,%
align=left,% alignement des lettres à gauche
widest=b),% largeur maxi du numéro
labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
% Puces
\newcommand\Puces{\renewcommand\labelitemi{\hspace{0.8cm}{\textbullet}}}
%
% Affiche le "Nom prénom et classe"
\newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}}
%
% Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré
\newcommand{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}}
%
% Affiche la date en italique centré
\newcommand{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}}
%
% Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début
\newcommand{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}}
%
% Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables
\newcommand{\ligne}[5]{%
%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après
\vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne
\rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne
\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation
\rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne
\vspace*{-#3}\vspace*{#5}% on remonte de la séparation et on met l'espace final
}
%
% Affiche le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine)
\newcommand{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6ptplus2ptminus2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0.5pt}}
%
% Affiche le texte puis une ligne fine
\newcommand{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4ptplus2ptminus2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}}
%
% Met en gras dans les formules math
\newcommand\gras[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}}
%
% Forme un angle
\newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{\mathit{#1}}}}
%
% Met des lettres qui se suivent en italique
\newcommand*{\Ita}[1]{\ensuremath{\mathit{#1}}}
%
% Insère une segment
\newcommand*{\Seg}[1]{\ensuremath{[\mathit{#1}]}}
%
% Insère une droite
\newcommand*{\Drt}[1]{\ensuremath{(\mathit{#1})}}
%##############################################################################################
%########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ###########################
%##############################################################################################
%
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi}
%
% ______________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Thalès |
%| (les phrases de conclusion seulement) |
%|______________________________________________|
\newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{%
%les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès
On obtient l'égalité $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}$~, les points $\mathit{#1}$, $\mathit{#2}$, $\mathit{#3}$ et $\mathit{#1}$, $\mathit{#4}$, $\mathit{#5}$ sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites $\gras{(\mathit{#2#4})}$ et $\gras{(\mathit{#3#5})}$ sont parallèles}.
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) |
%| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{%
%#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Les droites $(\mathit{#2#3})$ et $(\mathit{#4#5})$ se coupent en $\mathit{#1}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother
\newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{%
%#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Dans le triangle $\mathit{#1#3#5}$, le point $\mathit{#2}$ appartient à $\mathit{[#1#3]}$ et le point $\mathit{#4}$ appartient à $\mathit{[#1#5]}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother
% _________________________________________________________________________________
%| |
%| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat |
%|_________________________________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 9)
%
% #3 x #4
% #2 = --------- = ResultatArrondi
% #5
\newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][9]{%
\FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}%
\FPclip{\Resultat}{\Resultat}%
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}%
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5
$\mathit{#2}=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother
% _________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) |
%|_________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2)
%
% [1] [3]
% #2 = de 1 à 4 : position de la longueur à calculer dans ----- = -----
% [2] [4]
%% #7 = unité [cm par exemple]
\newcommand*{\CalculThalesDirecT}[7][2]{%
\def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr}
\FPifeq{#2}{1}\def\OPa{\mathit}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#6}\fi%
\FPifeq{#2}{2}\def\OPb{\mathit}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#5}\fi%
\FPifeq{#2}{3}\def\OPc{\mathit}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#4}\fi%
\FPifeq{#2}{4}\def\OPd{\mathit}\def\Cherche{#6}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}\fi
De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#3}}{\OPb{#4}}=\MaFrac{\OPc{#5}}{\OPd{#6}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#7}%on rajoute l'unité
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother
% ______________________________________________________
%| |
%| Macros utilisée dans les macros ci dessous |
%| renvoie l'argument n°#1 |
%|______________________________________________________|
\newcommand*{\RectangleEn}[4]{%
\ifthenelse{#1=1}
{#2}% #1=2, renvoie #2
{\ifthenelse{#1=2}
{#3}% #1=3, renvoie #3
{\ifthenelse{#1=3}
{#4}% #1=4, renvoie #4
{??}% #1 est autre chose, renvoie ??
}
}
}
% ___________________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Pythagore |
%| la conclusion sans calculs préliminaires |
%|___________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à -dire la lettre du milieu)
On obtient l'égalité %
\ifthenelse{#1=1}{$\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$}{\null}%
, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#2#3#4}}$ est rectangle en }$\gras{\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}}$.%
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) |
%| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à -dire la lettre du milieu)
Le triangle $\mathit{#2#3#4}$ est rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}$, donc d'après le théorème de Pythagore%
\ifthenelse{\AvecEq=1}
{\ifthenelse{#1=1}
{ : $\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$}
{\ifthenelse{#1=2}
{ : $\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$}
{\ifthenelse{#1=3}
{ : $\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$}
{ : ??}
}
}
}
{ }
}
\makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother
% ___________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) |
%|___________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5)
% A4B5C6 : ABC : sommets
% 456 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un .
% #9 : unité
Dans le triangle $\mathit{#3#5#7}$ rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}}$, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip
\ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !}
}
}
}
\newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}
\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2}
\FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
$\begin{aligned}
\mathit{#2#3}^2&=\mathit{#5#2}^2+\mathit{#5#3}^2\\
\mathit{#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\
\mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\
\mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\
\mathit{#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\
\mathit{#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
}
\newcommand*{\CalculCote}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi
\FPabs{\Difference}{\Difference}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}
\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\Difference}{2}
\FPclip{\Difference}{\Difference}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
\FPifzero{\Signe}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC
$\begin{aligned}
\mathit{#3#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#5}^2\\
\nombrefr{#4}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#6}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#4}^2-\nombrefr{#6}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\BCcarre}-\nombrefr{\ACcarre}\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\
\mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\
\mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
\else% #6>#4, l'hypoténuse est donc AC
$\begin{aligned}
\mathit{#2#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#3#5}^2\\
\nombrefr{#6}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#4}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#6}^2-\nombrefr{#4}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\ACcarre}-\nombrefr{\BCcarre}\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\
\mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\
\mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
\fi
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le réciproque de théorème de Pythagore complète (avec calculs) |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreReciproque}[6]{
\FPmax{\MaxiAB}{#2}{#4}
\FPmax{\MaxiBC}{#4}{#6}
\FPmax{\MaxiAC}{#2}{#6}
\FPifgt{#2}{\MaxiBC}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#4}{\MaxiAC}\EcritureReciproquePythagore{#3}{#4}{#5}{#6}{#1}{#2}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#6}{\MaxiAB}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#6}{#5}{#4}{#3}{#2}{#1#3#5}\else\fi
}
\newcommand*{\EcritureReciproquePythagore}[7]{%
% #1#3 : extrémités hypoténuse
% #2 : longueur hypoténuse
% #5 : sommet angle droit
% #4 et #6 : longueurs cotes angles droit
% #7 : nom du triangle (avec les lettres dans l'ordre)
%
% #1
% |\
% | \
% | \
% | \
% | \
% #6| \ #2
% | \
% | \
% |_ \
% |_|_______\
% #5 #4 #3
%
\FPmul{\HypoCarre}{#2}{#2}
\FPeval{\SommeCarre}{{#4}*{#4}+{#6}*{#6}}
\FPclip{\HypoCarreClip}{\HypoCarre}
\FPclip{\SommeCarreClip}{\SommeCarre}
$\begin{aligned}% on aligne les équations sur le signe =
\mathit{#1#3}^2 &={\nombrefr{#2}}^2 &=\nombrefr{\HypoCarreClip}\\
\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2 &={\nombrefr{#6}}^2+{\nombrefr{#4}}^2 &=\nombrefr{\SommeCarreClip}
\end{aligned}$\smallskip
\FPifeq{\HypoCarre}{\SommeCarre}% s'il y a égalité
On obtient l'égalité $\mathit{#1#3}^2=\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ est rectangle en $\gras{\mathit{#5}}$}.
\else $\mathit{#1#3}^2\ne\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$ : on n'obtient pas d'égalité. La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, et donc \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ n'est pas rectangle}.
\fi
}
%########################################################################################
%########################### MACROS POUR LES DROITES GRADUÉES ###########################
%########################################################################################
% _________________________________________________
%| |
%| Marque un point sur la droite graduée |
%|_________________________________________________|
% #1 optionnel : épaisseur du point, par défaut 3.5pt
\newcommand*{\MarquePoint}[2][3.5]{\psdots[dotsize=#1pt 0](#2,0)}
% __________________________________________________________
%| |
%| Marque un trait vertical sur la droite graduée |
%|__________________________________________________________|
% #1 optionnel : hauteur du trait de part et d'autre de la droite. Par défaut 0.25cm
\newcommand*{\MarqueTrait}[2][0.25]{\psline[linewidth=1pt](#2,-#1)(#2,#1)}
% _________________________________________________________________
%| |
%| Affiche un texte à une abscisse et une hauteur donnée |
%|_________________________________________________________________|
\newcommand*{\AfficheTexte}[3]{%
%#1 : abscisse
%#2: decalage vertical (espace en cm entre le haut ou la bas de la lettre et la droite graduée)
%#3: texte
\FPifeq{#2}{0}\rput[c](#1,#2){#3}\fi% décalage nul bien qu'improbable, positionnement c[enter]
\FPifgt{#2}{0}\rput[b](#1,#2){#3}\fi% décalage positif, positionnement b[ottom]
\FPiflt{#2}{0}\rput[t](#1,#2){#3}\fi% décalage négatif, positionnement t[op]
}
% ________________________________________________________
%| |
%| Affiche une flèche verticale |
%| au dessus ou au dessous de la droite graduée |
%|________________________________________________________|
\newcommand*{\AfficheFleche}[3][\FPprint\HautGrad]{%
% #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite
% Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales)
% #2 : abscisse de la flèche
% #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous)
\FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi
\FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi
\FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi
\FPabs\Loin{#3}
\FPabs\Pres{#1}
\FPeval{Loin}{Pres+Loin}
\FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn}
\FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn}
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres)
}
% ________________________________________________________
%| |
%| Affiche une flèche verticale et un texte |
%| au dessus ou au dessous de la droite graduée |
%|________________________________________________________|
\newcommand*{\TexteEtFleche}[4][\FPprint\HautGrad]{%
% #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite.
% Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales)
% #2 : abscisse de la flèche
% #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous)
% #4 : texte à afficher
\FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi
\FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi
\FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi
\FPabs\Loin{#3}
\FPabs\Pres{#1}
\FPeval{Loin}{Pres+Loin}
\FPeval{DecalTexte}{(Loin+0.1)*PlusMoinsUn}% 0.1cm = séparation entre le début de la flèche et le texte
\FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn}
\FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn}
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres)
\AfficheTexte{#2}{\FPprint\DecalTexte}{#4}
}
% ___________________________________________
%| |
%| ENVIRONNEMENT DroiteGraduée |
%| Trace une droite gradué |
%|___________________________________________|
\newenvironment{DroiteGraduee}[8][all]{%
% Les arguments de l'environnement
% #1 : affichage des nombres, par défaut all (none est le contraire)
\FPset{Largeur}{#2}% #2 : largeur totale de la droite en cm
\FPset{Debut}{#3}% #3 : abscisse de la 1ère graduation
\FPset{Fin}{#4}% #4 : abscisse de la dernière graduation
\FPset{SousDiv}{#5}% #5 : Nombre d'intervalles sudivisant la graduation principale
\FPset{Increment}{#6}% #6 : Incrément entre 2 graduations principales
\FPset{DepassGauche}{#7}% #7 : Nombre de graduations principales à afficher avant la 1ère
\FPset{DepassDroite}{#8}% #8 : Nombre de graduations principales à afficher après la dernière
%
% Les constantes
\FPset{HautGrad}{0.15}% La hauteur en cm du trait de la graduation principale
\FPset{HautSousGrad}{0.7}% Le coefficient de réduction pour la hauteur du trait des graduations secondaires
\FPset{EpGrad}{1.5}% Epaisseur en pt de la graduation principale
\FPset{EpSousGrad}{0.8}% Epaisseur en pt de la graduation secondaire
%
% Calcul des abscisses et de l'unité d'axe
\FPeval{xGauche}{Debut-DepassGauche}% valeur de l'abscisse du début du tracé de la droite
\FPeval{xDroit}{Fin+DepassDroite}% valeur de l'abscisse de fin du tracé de la droite
\FPeval{xUnite}{(Largeur-0.6)/(xDroit-xGauche)}%valeur de l'unité d'axe (0.6cm en moins=largeur de la flèche)
\FPeval{xDroit}{xDroit+0.6/xUnite}% on corrige de la largeur de la flèche
%
% Tracé de la droite
\psset{xunit=\FPprint\xUnite cm,yunit=1cm,arrowsize=4pt 3}%
\begin{pspicture}(\FPprint\xGauche,-1)(\FPprint\xDroit,1)%
% tracé de la droite graduée
\psaxes[comma,% séparateur décimal
% labelFontSize=\small,
labelsep=5pt,% hauteur de séparation entre l'axe et nombres
labels=#1,% on affiche les nombres ?
Ox=\FPprint\Debut,% l'abscisse de la 1ère graduation
Dx=\FPprint\Increment,% nombre incrémenté entre 2 graduations
yAxis=false,% pas d'axe vertical
subticks=\FPprint\SousDiv,% nombre d'intervalles divisant la graduation principale
ticksize=-\FPprint\HautGrad cm \FPprint\HautGrad cm,% taille verticale des graduations principales
tickwidth=\FPprint\EpGrad pt,% épaisseur des graduations principales
subticksize=\FPprint\HautSousGrad,% coeff multiplicateur pour la hauteur des graduations secondaires
subtickwidth=\FPprint\EpSousGrad pt,% épaisseur des graduations secondaires
subtickcolor=black% couleur des graduations secondaires
]{->}% style de flèche
(\FPprint\Debut,0)% coordonnées l'origine de la droite
(\FPprint\xGauche,-1)% coordonnées du coin bas gauche (ordonnée à modifier ? --> à voir)
(\FPprint\xDroit,1)% coordonnées du coin haut droit (ordonnée à modifier ? --> à voir)
}
{\end{pspicture}}
% ___________________________________________________
%| |
%| Représentation graphique de l'ensemble |
%| des solutions d'une inéquation du 1è degrés |
%|___________________________________________________|
\newcommand*{\Crochet}[1]{% affiche un gros crochet
% #1 > 0 : crochet vers la droite [
% #1 < 0 : crochet vers la gauche ]
\FPifpos{#1}\LARGE\textbf{[}\else\LARGE\textbf{]}\fi
}
\newcommand*{\GraphiqueInequation}[5][0]{%repasse en gras avant ou après la solution et met le crochet et un point éventuellement
% #1 : optionnel = 0 par défaut (pas de hachure)
% #1 = H : on tace des hachures
% #2 = G : repasse à gauche de la borne
% #2 = D : repasse à droite de l'origine
% #3 = C : origine comprise
% #3 = NC : origine non comprise
% #4 : nombre à afficher au dessus de la borne
% #5 : largeur de la représentation
\def\Erreur{0}
\FPdiv{\xMaxi}{#5}{2}
\FPneg{\xMini}{\xMaxi}
\psset{unit=1 cm,arrowsize=4pt 3}
\begin{pspicture}(\FPprint\xMini,-0.5)(\FPprint\xMaxi,1)
\FPset{DecalCrochet}{0.07}
\FPset{DecalOrigine}{0.07}
\FPeval{\EpFleche}{0.2}% largeur de la flèche en cm
\ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d} \or \equal{#2}{-inf}}
{\FPset{Signe}{1}}
{\ifthenelse{\equal{#2}{G} \or \equal{#2}{g} \or \equal{#2}{+inf}}
{\FPset{Signe}{-1}}
{\def\Erreur{1}}
}
\FPneg{\SigneOpp}{\Signe}
\ifthenelse{\equal{#3}{C} \or \equal{#3}{c}}
{%
\MarquePoint[5]{0}% on met un point
\FPset{xOrigine}{0}
\FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\SigneOpp}
\rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\Signe}}
}
{%
\ifthenelse{\equal{#3}{NC} \or \equal{#3}{nc}}
{
\MarqueTrait[0.15]{0}% on met un trait
\FPset{xOrigine}{DecalOrigine}
\FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\Signe}
\rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\SigneOpp}}
}
{ \def\Erreur{1}
}
}
\ifthenelse{\Erreur=0}
{%
\psline[linewidth=1pt]{->}(\FPprint\xMini,0)(\FPprint\xMaxi,0)
\FPmul{\xExtremeHachures}{\xMaxi}{\SigneOpp}
\FPmul{\xExtreme}{\xMaxi}{\Signe}
\ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d}}
{\FPsub{\xExtreme}{\xExtreme}{\EpFleche}}
{\FPeval{xExtremeHachures}{xExtremeHachures-2*EpFleche}}
\FPmul{\xOrigine}{\xOrigine}{\Signe}
\psline[linewidth=2.5pt](\FPprint\xExtreme,0)(\FPprint\xOrigine,0)% on repasse en gras
\ifthenelse{\equal{#1}{H} \or \equal{#1}{h}}
{\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchwidth=0.5pt, hatchsep=3pt](\FPprint\xCrochet,-0.15)(\FPprint\xExtremeHachures,0.15)}
{}
\AfficheTexte{0}{0.4}{#4}
}
{Erreur dans les paramètres de\\ \texttt{\textbackslash GraphiqueInequation}}
\end{pspicture}
}
\author{BriCÃ MatH}
\title{Devoir maison 3ème : trigo}
\date{30/11/2007}
\begin{document}
\titre{Devoir maison \no4}
\DoubleLigne{\ladate{Pour le vendredi 7/12/2007}}
\exo{Exercice 1.}
On appelle $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon 6 cm.\par
$A$ et $B$ sont deux points du cercle $\mathcal{C}$ tels que $\Angle{AOB}=50\degres$
\begin{Questions}
\item Faire la figure en vraie grandeur.
\item Calculer au millimètre prés la longueur de la corde \Seg{AB}.\par
On pourra faire intervenir $H$, le milieu de la corde \Seg{AB} et on justifiera soigneusement toutes les étapes.
\end{Questions}
\exo{Exercice 2.}
Dans la figure ci-contre qui n'est pas représentée en vraie grandeur, \Ita{ABCD} est un trapèze de bases \Seg{BC} et \Seg{AD}, rectangle en $C$ et $D$ tel que :
\parbox{11cm}{
\Puces
\begin{itemize}
\item $\Ita{AD}=10\text{ cm}$
\item $\Ita{AB}=7\text{ cm}$
\item $\Angle{BAD}=70\degres$
\end{itemize}
\bigskip
Calculer au $\text{mm}^2$ près l'aire du trapèze \Ita{ABCD}.
}%
\parbox{6cm}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(5.5,3.5)
\psline(5,1.3)(4.7,1.3)(4.7,1)
\psline(5,2.7)(4.7,2.7)(4.7,3)
\pspolygon(1,1)(2,3)(5,3)(5,1)(1,1)
\rput[bl](0.66,0.8){$A$}
\rput[bl](1.7,3.1){$B$}
\rput[bl](5.1,3.1){$C$}
\rput[bl](5.2,0.8){$D$}
\end{pspicture*}
}
\exo{Exercice 3.}
\parbox{11.5cm}{
La figure ci-contre représente la charpente d'un toit, vue en coupe.\par
Les données de l'architecte sont les suivantes :\par\medskip
\Puces
\begin{itemize}
\item \Seg{AS}, \Seg{AH}, \Seg{SH} et \Seg{MN} sont des poutres rectilignes.
\item $\Angle{SAH}=40\degres$, $\Angle{SHA}=90\degres$ et $\Angle{SNM}=90\degres$
\item $\Ita{SA}=4,20\text{ m}$
\item $\Ita{SN}=1,20\text{ m}$
\end{itemize}
}%
\parbox{4.5cm}{
\psset{unit=1cm,dotsize=2.5pt}
\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(4.5,3.5)
\pspolygon(1,1)(4,1)(4,3)(1,1)
\psline(2.8,2.2)(4,2.2)
\psdots(1,1)\rput[bl](0.6,1){$A$}
\psdots(4,1)\rput[bl](4.2,1){$H$}
\psdots(4,3)\rput[bl](4,3.2){$S$}
\psdots(2.8,2.2)\rput[bl](2.4,2.3){$M$}
\psdots(4,2.2)\rput[bl](4.1,2.3){$N$}
\end{pspicture*}%
}
\bigskip
Vous êtes le charpentier du chantier, vous avez besoin de calculer au millimètre près les longueurs des poutres \Seg{AH}, \Seg{SH} et \Seg{MN}. Vous justifierez vos calculs.
\exo{Problème.}
On appelle $A$, $B$, $C$ et $D$ les 4 coins d'une feuille de papier de format A4 de telle sorte que \Seg{AB} et \Seg{DC} soient les grands côtés et \Seg{AD} et \Seg{BC} soient les petits côtés.\par\medskip
Les dimensions d'une feuille de format A4 sont de 21 cm par 29,7 cm.\par
Remarque : 29,7 est une valeur approchée de $21\sqrt{2}$. On considèrera donc que $\Ita{AB}=\Ita{DC}=21\sqrt{2}$ cm.\par\medskip
On appelle $I$ le milieu du côté \Seg{DC}.\par\bigskip
Vous ferez une figure précise à l'échelle $\frac{1}{5}$, et vous déterminerez par le calcul, en détaillant et justifiant avec soin, si les segments \Seg{AI} et \Seg{BD} sont perpendiculaires\ldots
\exo{Énigmes de décembre.}
Expliquez votre démarche, et donnez la solution de ces énigmes\ldots
\begin{Questions}
\item Une énorme comète se dirige directement vers la Terre !\par
Il y a deux jours, elle en était à \nombre{1000000} de km, hier à \nombre{100000}~km; aujourd'hui, elle n'en est plus qu'à \nombre{10000}~km et les astronomes ont calculé que demain, il ne lui resterait plus que \nombre{1000}~km à parcourir avant de s'écraser sur notre planète !\par
En supposant que la comète poursuive sa route exactement à ce rythme, dans cette direction et ne rencontre pas d'obstacle, combien de temps reste-t-il avant qu'elle s'écrase sur la Terre ?
\item Quelle distance maximale peut-on parcourir avec une voiture disposant de 7 pneus neufs, sachant que chaque pneu peut faire \nombre{40000}~km ?
\item $3^2$ est égal à $3\times3$ et vaut 9. De même, il est facile de calculer que $3^3=27$. Mais quel est le \emph{chiffre} des unités de $3^{2007}$?
\item Sur une route longue de 50 km, 2 cyclistes faisant du 25 km/h partent à la rencontre l'un de l'autre. Une mouette, qui vole à 50 km/h va sans arrêt de l'un à l'autre. Quelle distance aura-t-elle parcouru lorsque les cyclistes se rejoindront ?
\end{Questions}
\pagebreak
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir maison \no4}}
\exo{Exercice 1.}
\parbox{12.5cm}{%
\Ita{OAB} est un triangle isocèle en $O$. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également hauteur, médiatrice de la base et bissectrice. Par conséquent, \Drt{OH} est la médiatrice de \Seg{AB} (donc le triangle \Ita{OAH} est rectangle en $H$), et \Drt{OH} est la bissectrice de l'angle \Angle{AOB} : on a donc $\Angle{AOH}=25\degres$\par\bigskip
Dans le triangle \Ita{AOH}, rectangle en $H$ : $\sin\Angle{AOH}=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{OA}}\qquad\sin25\degres=\dfrac{\Ita{AH}}{6}$\par\medskip On obtient : $\Ita{AH}=6\times\sin25\degres\qquad$\qquad $\Ita{AB}=2\times\Ita{AH}=2\times6\times\sin25\degres\approx\gras{5,1\text{ cm}}$
}%
\parbox{5.1cm}{%
\begin{flushright}
\psset{unit=0.7cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(5.6,5.6)
\psline[linewidth=0.3pt](4.17,4.48)(4.28,4.39)(4.37,4.5)
\pscircle(3,3){2.24}
\pspolygon(3,3)(3.52,5.17)(5,4)(3,3)
\psline(3.16,4.07)(3.34,4.03)
\psline(3.18,4.14)(3.36,4.1)
\psline(3.95,4.95)(3.83,4.81)
\psline(4.69,4.36)(4.57,4.22)
\psline(3.93,3.56)(4.01,3.4)
\psline(3.99,3.6)(4.07,3.44)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3,3)(4.26,4.59)
\pscustom{\parametricplot{0.4636476090008061}{0.8999799219993885}{0.8*cos(t)+3|0.8*sin(t)+3}}
\parametricplot{0.4636476090008061}{0.8999799219993885}{0.8*cos(t)+3|0.8*sin(t)+3}
\psline(3.55,3.49)(3.64,3.57)
\psline(3.59,3.44)(3.69,3.51)
\pscustom{\parametricplot{0.8999799219993885}{1.3363122349979708}{0.6*cos(t)+3|0.6*sin(t)+3}}
\parametricplot{0.8999799219993885}{1.3363122349979708}{0.6*cos(t)+3|0.6*sin(t)+3}
\psline(3.21,3.5)(3.26,3.61)
\psline(3.26,3.47)(3.31,3.58)
\rput[bl](2.8,2.6){$O$}
\rput[bl](5.2,4){$A$}
\rput[bl](3.4,5.3){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0](4.26,4.59) \rput[bl](4.4,4.75){$H$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}
\exo{Exercice 2.}
Soit $H$ l'intersection avec \Drt{AD} de la perpendiculaire à \Drt{AD} passant par $B$. Le triangle \Ita{ABH} est rectangle en $H$, et :\par
\parbox{12.5cm}{
$\begin{aligned}
\sin\Angle{BAH}&=\dfrac{\Ita{BH}}{\Ita{AB}}\qquad&\sin70\degres&=\dfrac{\Ita{BH}}{7}\qquad&\Ita{BH}&=7\sin70\degres\\
\cos\Angle{BAH}&=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{AB}}\qquad&\cos70\degres&=\dfrac{\Ita{AH}}{7}\qquad&\Ita{AH}&=7\cos70\degres
\end{aligned}$
Finalement :\par
$\begin{aligned}
\text{Aire}_{\Ita{ABCD}}&=\text{Aire}_\Ita{ABH}+\text{Aire}_{\Ita{BCDH}}=\dfrac{\Ita{AH}\times\Ita{BH}}{2}+\Ita{HD}\times\Ita{BH}\\
&=\dfrac{7\cos70\degres\times7\sin70\degres}{2}+(10-7\cos70\degres)\times7\sin70\degres\approx\gras{57,90\text{ cm}^2}
\end{aligned}$
}%
\parbox{5cm}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(5.5,3.5)
\psline(5,1.2)(4.8,1.2)(4.8,1)
\psline(2.2,1)(2.2,1.2)(2,1.2)
\pspolygon(1,1)(2,3)(5,3)(5,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,3)(2,1)
\rput[bl](0.7,0.8){$A$}
\rput[bl](1.7,3){$B$}
\rput[bl](5.1,3){$C$}
\rput[bl](5.1,0.8){$D$}
\rput[bl](2,0.6){$H$}
\end{pspicture}
}
\exo{Exercice 3.}
Dans le triangle \Ita{SAH}, rectangle en $H$ :\par\medskip
Calcul de \Ita{AH} : \qquad$\cos\Angle{SAH}=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{SA}}\qquad\cos40\degres=\dfrac{\Ita{AH}}{4,2}\qquad\Ita{AH}=4,2\cos40\degres\qquad\Ita{AH}\approx\gras{3,217\text{ m}}$
\medskip
Calcul de \Ita{SH} :\qquad$\sin\Angle{SAH}=\dfrac{\Ita{SH}}{\Ita{SA}}\qquad\sin40\degres=\dfrac{\Ita{SH}}{4,2}\qquad\Ita{SH}=4,2\sin40\degres\qquad\Ita{SH}\approx\gras{2,700\text{ m}}$
Les droites \Drt{AH} et \Drt{MN} sont perpendiculaires à la même droite \Drt{SH} donc elles sont parallèles. Les angles \Angle{SAH} et \Angle{SMN} sont correspondants. Comme $\Drt{AH}/\!/\Drt{MN}$, ces angles correspondants sont égaux, et donc : $\Angle{SMN}=40\degres$.\par Dans le triangle \Ita{SMN}, rectangle en $N$ : $\tan\Angle{SMN}=\dfrac{\Ita{SN}}{\Ita{MN}}\qquad\tan40\degres=\dfrac{1,2}{\Ita{MN}}\qquad\Ita{MN}=\dfrac{1,2}{\tan40\degres}\qquad\Ita{AH}\approx\gras{1,430\text{ m}}$
\exo{Problème.}
\parbox{12.5cm}{
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]%
Dans le triangle \Ita{ADI}, rectangle en $D$ :
$\tan\Angle{DIA}=\dfrac{\Ita{AD}}{\Ita{ID}}=\dfrac{\cancel{21}}{\cancel{21}\sqrt{2}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}\qquad\Angle{DIA}\approx54,74\degres$
\medskip
\item[$\bullet$]%
Dans le triangle \Ita{DBC}, rectangle en $C$ :
$\tan\Angle{BDC}=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{\cancel{21}}{\cancel{21}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\qquad\Angle{DBC}\approx35,26\degres$
\end{itemize}\medskip
Par ailleurs, la somme des angles du triangle \Ita{DKI} vaut 180\degres{} donc\par
$\Angle{DKI}=180-54,74-35,26=90\degres$
}%
\parbox{5.5cm}{
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.5,0.3)(4.6,3.5)
\psline(4,1.21)(3.79,1.21)(3.79,1)
\psline(1.21,1)(1.21,1.21)(1,1.21)
\psline(1,2.79)(1.21,2.79)(1.21,3)
\psline(3.79,3)(3.79,2.79)(4,2.79)
\pspolygon(1,1)(1,3)(4,3)(4,1)(1,1)
\psline(1,1)(4,3)
\psline(1,3)(2.5,1)
\psline(1.72,1.09)(1.72,0.91)
\psline(1.79,1.09)(1.79,0.91)
\psline(3.22,1.09)(3.22,0.91)
\psline(3.28,1.09)(3.28,0.91)
\rput[c](2.5,3.2){$21\sqrt{2}$}
\rput[c](0.8,2){21}
\rput[tl](1.5,0.9){$\frac{21\sqrt{2}}{2}$}
\rput[tl](2.9,0.9){$\frac{21\sqrt{2}}{2}$}
\rput[bl](0.78,3.14){$A$}
\rput[bl](4.16,3.12){$B$}
\rput[bl](4.18,0.84){$C$}
\rput[bl](0.7,0.7){$D$}
\rput[bl](2.4,0.58){$I$}
\rput[bl](2.2,1.5){$K$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}
\medskip Cela prouve donc que \textbf{les segments $\gras{\Seg{DB}}$ et $\gras{\Seg{AI}}$ sont perpendiculaires}
\exo{Énigmes de décembre.}
\begin{Questions}
\item La comète parcourt chaque jour $\frac{9}{10}$ ce qui lui restait à parcourir la veille, et il lui reste $\frac{1}{10}$ à parcourir le lendemain. Bien que diminuant (puisqu'elle est divisée par 10 chaque jour), cette distance ne sera jamais nulle. \textbf{La comète n'atteindra jamais la terre, mais elle s'en rapprochera infiniment}.
\item En numérotant les pneus de 1 à 7, \textbf{on peut parcourir \nombre{70000}~km} par tranche de \nombre{10000}~km : 1234 - 5234 - 6234 - 7234 et 3 fois 1567.
\item Examinons les neuf premières puissances de 3 :\par $3^1=\gras{3}\quad3^2=\gras{9}\quad3^3=2\gras{7}\quad3^4=8\gras{1}\quad3^5=24\gras{3}\quad3^6=72\gras{9}\quad3^7=218\gras{7}\quad3^8=656\gras{1}\quad3^9=1968\gras{3}$.\par On constate que la suite des 4 chiffres 3 9 7 1 revient périodiquement au chiffre des unités. Il faut donc examiner le reste de la division de 2007 par 4 : on trouve 3. Par conséquent, le chiffre des unités de $3^{2007}$ est \textbf{7}.
\item Les 2 cyclisyes ont 25~km à parcourir, ils roulent donc pendant 1h. Pendant ce temps, la mouette parcourt \textbf{50~km}.
\end{Questions}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 3 décembre 2007 (0.09s - 3952793 - 9 janvier 2009)
