Source de dstrigos2.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% %%
%% M O N P R É A M B U L E %%
%% __________________________ %%
%% %%
%% BriCàMatH %%
%% %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[latin1]{inputenc}% codage utf8, sous linux principalement
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}% pour les maths
\usepackage{array}% divers outils pour les tableaux
\usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}% Figures géométriques dans le code LaTeX
\usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante
\usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules
%\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main
\usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables
\usepackage{lmodern}% fonte modern
\usepackage{mathrsfs}% fonte cursive : emploi \mathscr{TEXTE}, en majuscules
%\usepackage{mathptmx}% fonte
%\usepackage{mathpazo}% fonte
\usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes
\usepackage{ifthen}% pour faire des tests
\usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX
\usepackage{setspace}% pour spécifier l'interlignage
\rmfamily% importantion des petites capitales grasses
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête
\usepackage[frenchb]{babel}% francisation
\FrenchFootnotes% des notes de bas de pages conformes à la typo française
\setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation
%
%#################################################################################
%########################### MES COMMANDES ###########################
%#################################################################################
%
% Pour avoir des lettres majuscules droites dans le mode math (par JCC sur f.c.t.tex)
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{65}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{66}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{67}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{68}
\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{69}
\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{70}
\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{71}
\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{72}
\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{73}
\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{74}
\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{75}
\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{76}
\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{77}
\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{78}
\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{79}
\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{80}
\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{81}
\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{82}
\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{83}
\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{84}
\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{85}
\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{86}
\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{87}
\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{88}
\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{89}
\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{90}
%
% pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP
% par JCC sur f.c.t.tex
\def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}}
\def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux}
\def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi}
\def\changecommapt#1.\changecommapt{#1}
%
% Teste si l'argument est un nombre
% par JCC sur f.c.t.tex
% Utilisation : \IFnombre{#1}{code si #1 est un nombre}{code si #1 n'est pas un nombre}
% \decimalpart et \intergerpart contiennent les parties décimales et entières
\makeatletter
\newcount\integerpart
\newcount\decimalpart
\newcommand\IFnombre[3]{%
\decimalpart=0
\afterassignment\defnext\integerpart=0#1\relax\@nil
\expandafter\@dotorcomma\next\@nil
\if\relax\@remain
#2%
\else
#3
\fi
}
\def\defnext#1\@nil{\def\next{#1}}%
\def\@dotorcomma{\@ifnextchar.{\@decimal}{\@comma}}
\def\@comma{\@ifnextchar,{\@decimal}{\@endnumber}}
\def\@decimal#1#2\@nil{%
\afterassignment\defnext\decimalpart=0#2\@nil
\expandafter\@endnumber\next\@nil
}
\def\@endnumber#1\@nil{\def\@remain{#1}}
\makeatother
% On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés
\newcommand*{\setenumeratedefaut}{
\setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}}
\setenumeratedefaut
\let\oldenumerate=\enumerate
\let\oldendenumerate=\endenumerate
%
%%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%%
\newenvironment{Questions}{%
\setenumerate{%
itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items
topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus
partopsep=0cm,%
parsep=0pt,%
leftmargin=*,% pas de marge gauche
align=left,% alignement des numéros à gauche
labelindent=0pt,% indentation du numéro
widest=8),% largeur du numéro
labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
%%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%%
\newenvironment{SousQuestions}{%
\setenumerate{
itemsep=3ptplus1ptminus2pt,% espacement vertical entre items
topsep=4ptplus2ptminus4pt,% séparation avec avec le texte de l'item de hiérarchie plus haute, si celui ci existe
partopsep=0pt,%
parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item
leftmargin=*,%
align=left,% alignement des lettres à gauche
widest=b),% largeur maxi du numéro
labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
% Puces
\newenvironment{Puces}[1][1cm]%
{\begin{list}%
{$\bullet$}%
{ \setlength{\leftmargin}{#1}% marge à gauche, par défaut=1cm
\setlength{\itemsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre item
\setlength{\topsep}{0pt}% espacement entre le paragraphe précédent et le 1er item
}}%
{\end{list}}
%
% Affiche "Nom : Prénom : Classe :"
\newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}}
%
% Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré
\newcommand*{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}}
%
% Affiche la date en italique centré
\newcommand*{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}}
%
% Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début
\newcommand*{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}}
%
% Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables
\newcommand*{\ligne}[5]{%
%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après
\vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne
\rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne
\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation
\rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne
\vspace*{#5}% on met l'espace final
}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine)
\newcommand*{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0pt}}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une ligne fine
\newcommand*{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}}
%
% Met en gras dans les formules math
\newcommand*{\gras}[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}}
%
% Forme un angle
\newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}}
%
% Forme un arc
\makeatletter
\newcount\r@pport \newdimen\r@ppord
\newcount\kslant \newdimen\kslantd
\newcommand*{\arc}[1]{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0
\divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1
\divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1
\divide\kslantd by7750\kern\kslantd
\r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0
\multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0
\pspicture(0,0)
\parabola[linewidth=.3pt]{-}(0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.15\r@ppord)
\endpspicture
\kern-\kslantd\box0}
\makeatother
%
% Met entre guillemets français
\def\guill#1{\og{}#1\fg{}}
%##############################################################################################
%########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ###########################
%##############################################################################################
%
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi}
%
% ______________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Thalès |
%| (les phrases de conclusion seulement) |
%|______________________________________________|
\newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{%
%les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès
On obtient l'égalité $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}$~, les points #1, #2, #3 et #1, #4, #5 sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles}.
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) |
%| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{%
%#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Les droites (#2#3) et (#4#5) se coupent en #1, les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother
\newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{%
%#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Dans le triangle #1#3#5, le point #2 appartient à [#1#3] et le point #4 appartient à [#1#5], les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother
% _________________________________________________________________________________
%| |
%| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat |
%|_________________________________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2)
%
% #3 x #4
% #2 = --------- = ResultatArrondi
% #5
\newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][2]{%
\FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}%
\FPclip{\Resultat}{\Resultat}%
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}%
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5
$#2=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother
% _________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) |
%|_________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2)
%
% Calcule l'argument qui n'est pas un nombre dans l'égalité :
% #2 #4
% ----- = -----
% #3 #5
%
% #6 = unité [cm par exemple]
\newcommand*{\CalculThalesDirecT}[6][2]{%
\def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr}
\IFnombre{#2}%
{\IFnombre{#3}
{\IFnombre{#4}
{\IFnombre{#5}
{Erreur !}% tous sont des nombres --> erreur
{\def\OPd{}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#2}}%#5 n'est pas un nombre
}%
{\def\OPc{}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}}%#4 n'est pas un nombre
}%
{\def\OPb{}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#4}}%#3 n'est pas un nombre
}%
{\def\OPa{}\def\Cherche{#2}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#5}}%#2 n'est pas un nombre
De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#2}}{\OPb{#3}}=\MaFrac{\OPc{#4}}{\OPd{#5}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#6}%on rajoute l'unité
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother
% ______________________________________________________
%| |
%| Macros utilisée dans les macros ci dessous |
%| renvoie l'argument n°#1 |
%|______________________________________________________|
\newcommand*{\RectangleEn}[4]{%
\ifthenelse{#1=1}
{#2}% #1=2, renvoie #2
{\ifthenelse{#1=2}
{#3}% #1=3, renvoie #3
{\ifthenelse{#1=3}
{#4}% #1=4, renvoie #4
{??}% #1 est autre chose, renvoie ??
}%
}%
}
% ___________________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Pythagore |
%| la conclusion sans calculs préliminaires |
%|___________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu)
On obtient l'égalité %
\ifthenelse{#1=1}{${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=2}{${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=3}{${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}{\null}%
, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}.%
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) |
%| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu)
Le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}, donc d'après le théorème de Pythagore%
\ifthenelse{\AvecEq=1}%
{\ifthenelse{#1=1}%
{ : ${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}%
{\ifthenelse{#1=2}%
{ : ${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}%
{\ifthenelse{#1=3}%
{ : ${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}%
{ : ??}%
}%
}%
}%
{}%
}
\makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother
% ___________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) |
%|___________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5)
% A4B6C8 : ABC : sommets
% 468 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un .
% #9 : unité
Dans le triangle #3#5#7 rectangle en \RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip
\ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>}
}
}
}
{L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !}
}
}
}
\newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}
\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2}
\FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
$\begin{aligned}
{#2#3}^2&={#5#2}^2+{#5#3}^2\\
{#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\
{#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\
{#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\
{#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\
{#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
}
\newcommand*{\CalculCote}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi
\FPabs{\Difference}{\Difference}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\Difference}{2}
\FPclip{\Difference}{\Difference}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
\FPifzero{\Signe}
\def\CoteGauche{#3#5}\FPset{NbrGauche}{#4}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC
\def\CoteDroit{#2#5}\FPset{NbrDroit}{#6}
\FPset{CarreAv}{BCcarre}\FPset{CarreAp}{ACcarre}
\else
\def\CoteGauche{#2#5}\FPset{NbrGauche}{#6}%#6>#4, l'hypoténuse est donc AC
\def\CoteDroit{#3#5}\FPset{NbrDroit}{#4}
\FPset{CarreAv}{ACcarre}\FPset{CarreAp}{BCcarre}
\fi
$\begin{aligned}
{\CoteGauche}^2&={#2#3}^2+{\CoteDroit}^2\\
\nombrefr{\NbrGauche}^2&={#2#3}^2+\nombrefr{\NbrDroit}^2\\
{#2#3}^2&=\nombrefr{\NbrGauche}^2-\nombrefr{\NbrDroit}^2\\
{#2#3}^2&=\nombrefr{\CarreAv}-\nombrefr{\CarreAp}\\
{#2#3}^2&=\nombrefr{\Difference}\\
{#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\
{#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le réciproque de théorème de Pythagore complète (avec calculs) |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreReciproque}[6]{
\FPmax{\MaxiAB}{#2}{#4}
\FPmax{\MaxiBC}{#4}{#6}
\FPmax{\MaxiAC}{#2}{#6}
\FPifgt{#2}{\MaxiBC}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#4}{\MaxiAC}\EcritureReciproquePythagore{#3}{#4}{#5}{#6}{#1}{#2}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#6}{\MaxiAB}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#6}{#5}{#4}{#3}{#2}{#1#3#5}\else\fi
}
\newcommand*{\EcritureReciproquePythagore}[7]{%
% #1#3 : extrémités hypoténuse
% #2 : longueur hypoténuse
% #5 : sommet angle droit
% #4 et #6 : longueurs cotes angles droit
% #7 : nom du triangle (avec les lettres dans l'ordre d'affichage)
%
% #1
% |\
% | \
% | \
% | \
% | \
% #6| \ #2
% | \
% | \
% |_ \
% |_|_______\
% #5 #4 #3
%
\FPmul{\HypoCarre}{#2}{#2}
\FPeval{\SommeCarre}{{#4}*{#4}+{#6}*{#6}}
\FPclip{\HypoCarreClip}{\HypoCarre}
\FPclip{\SommeCarreClip}{\SommeCarre}
$\begin{aligned}% on aligne les équations sur le signe =
{#1#3}^2 &={\nombrefr{#2}}^2 &=\nombrefr{\HypoCarreClip}\\
{#5#1}^2+{#5#3}^2 &={\nombrefr{#6}}^2+{\nombrefr{#4}}^2 &=\nombrefr{\SommeCarreClip}
\end{aligned}$\smallskip
\FPifeq{\HypoCarre}{\SommeCarre}% s'il y a égalité
On obtient l'égalité ${#1#3}^2={#5#1}^2+{#5#3}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle #7 est rectangle en #5}.
\else ${#1#3}^2\ne{#5#1}^2+{#5#3}^2$ : on n'obtient pas d'égalité. La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, et donc \textbf{le triangle #7 n'est pas rectangle}.
\fi
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%% F I N D U P R É A M B U L E %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\author{BriCàMatH}
\title{Devoir surveillé 3ème : Trigonométrie et autres}
\date{12/12/2007}
\begin{document}
\titre{Devoir surveillé \no4}
\DoubleLigne{\ladate{3\ieme C -- Le mercredi 12/12/2007}}
\ladate{\textbf{Calculatrice autorisée -- Pas de prêt ni d'échange de calculatrice !}}
\exo{Exercice 1.}
Dans cet exerccie, on pourra utiliser les valeurs exactes indiquées en bas de page \footnote{$\sin 30\degres=\cos 60\degres=\frac{1}{2}\qquad\sin45\degres=\cos45\degres=\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad\sin60\degres=\cos30\degres=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad\tan 30\degres=\frac{\sqrt{3}}{3}\qquad\tan 45\degres=1\qquad\tan 60\degres=\sqrt{3}$}.
\begin{minipage}{11.5cm}
La figure ci-contre n'est pas représentée en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.\par\medskip
Dans cette figure, on sait que :\medskip
\begin{Puces}
\item $EO=5\text{ cm}$, $OC=3\text{ cm}$ et $OA=6\text{ cm}$;
\item les points E, O et C sont alignés;
\item les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et C;
\item la droite (AO) recoupe la droite (NE) en S.
\end{Puces}\medskip
\begin{Questions}
\item Montrer que la longueur AC, en cm est $3\sqrt{3}$.
\item%
\begin{SousQuestions}
\item Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.
\item Calculer les valeurs exactes de OS et ES.
\end{SousQuestions}
\item Calculer la valeur exacte de ON, sachant que \Angle{NOE}=30\degres. Donner également la valeur approchée au mm.
\item %
\begin{SousQuestions}
\item Calculer l'angle \Angle{COA}.
\item Démontrer que le triangle SON est rectangle.
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=1.0cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(0.5,-4)(6.5,4.5)
\psline[linewidth=0.5pt](6,1.28)(5.72,1.28)(5.72,1)
\psline[linewidth=0.5pt](1.28,1)(1.28,1.28)(1,1.28)
\pspolygon(4,1)(6,1)(6,4)(4,1)(1,3)(1,1)(4,1)(1,-3.5)(1,1)
\pscustom{\parametricplot{2.5535900500422257}{3.141592653589793}{0.7*cos(t)+4|0.7*sin(t)+1}}
\rput[tl](2.9,1.3){{\footnotesize 30\degres}}
\rput[tl](2,0.92){{\footnotesize 5 cm}}
\rput[tl](4.74,0.92){{\footnotesize 3 cm}}
\rput[tl]{56.3}(4.6,2.4){{\footnotesize 6 cm}}
\rput[bl](6.16,0.9){C}
\rput[bl](6.14,4.14){A}
\rput[bl](3.86,1.2){O}
\rput[bl](0.68,0.92){E}
\rput[bl](0.82,3.14){N}
\rput[bl](0.84,-3.88){S}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\exo{Exercice 2.}
Le croquis ci-contre représente une échelle [NP] de 5 m appuyée sur un mur (représenté hachuré) perpendiculaire au sol.\par\medskip Le sommet N de l'échelle se trouve juste au sommet du mur. La hauteur du mur est de 4 m.\par\bigskip
\begin{minipage}{11cm}
\begin{Questions}
\item Calculer la distance MP entre le pied du mur et le pied de l'échelle.
\item L'inclinaison de l'échelle par rapport au sol horizontal est la mesure de l'angle \Angle{MPN}. Déterminer la valeur, arrondie au degré, de cette mesure.
\item Afin que l'échelle ne glisse pas sur le sol, on tend une corde entre un anneau A situé à 1 m de hauteur sur le mur, et un barreau B de l'échelle situé à $1,25$ m du bas de l'échelle (voir figure).\par
\begin{SousQuestions}
\item Calculer NA et NB.
\item La corde est-elle parallèle au sol ?
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.5cm}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(0,0.4)(6.5,4.5)
\pspolygon[linewidth=1.2pt,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt](2,1)(2,4)(3,4)(3,1)
\psline(0.5,1)(6.5,1)
\psline(3,4)(5.5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,1.68)(4.93,1.68)
\psline{<->}(1.48,4)(1.48,1)
\psline{<->}(3.57,1.68)(3.57,1)
\psline{<->}(5.31,1.99)(5.87,1.31)
\rput[tl]{-50.2}(5.6,2.15){{\footnotesize1,25 m}}
\rput[tl]{90}(3.25,1.05){{\footnotesize1 m}}
\rput[tl]{90}(1.2,2.3){{\footnotesize4 m}}
\rput[bl](3.08,4.12){N}
\rput[bl](2.8,0.64){M}
\rput[bl](5.52,0.62){P}
\psdots[dotsize=2.5pt](4.93,1.68)
\rput[bl](5,1.7){B}
\psdots[dotsize=2.5pt](3,1.68)
\rput[bl](3.08,1.8){A}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\exo{Exercice 3.}
On donne l'expression littérale $A=25-(3-2x)^2$
\begin{Questions}
\item Développer et réduire A.
\item Factoriser A.
\item Calculer A lorsque $x=\sqrt{3}$, et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
\end{Questions}
\exo{Exercice 4.}
\begin{Questions}
\item $\alpha$ est un angle aigu tel que $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$\par
Calculer la valeur exacte de $\sin\alpha$ et en déduire celle de $\tan\alpha$.
\item $x$ est un angle aigu. Exprimer plus simplement : $(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2$.
\end{Questions}
\pagebreak
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no4}}
\exo{Exercice 1.}
\begin{Questions}
\item \PythagoreDirect*[3]OAC :\par
$ OA^2=OC^2+AC^2\\
6^2=3^2+AC^2\\
AC^2=36-9=27\qquad AC=\sqrt{27}=\sqrt{9}\sqrt{3}=\gras{3\sqrt{3}\text{ cm}}
$
\item%
\begin{SousQuestions}
\item Les droites (NS) et (AC) sont perpendiculaires à la même droite (EC) donc \textbf{(NS) est parallèle à (AC)}.
\item \ThalesDirectTrois*{O}{A}{S}{C}{E} ce qui donne $\dfrac{6}{OS}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\sqrt{3}}{ES}$\par
De l'égalité $\dfrac{6}{OS}=\dfrac{3}{5}$, on tire que $OS=\dfrac{6\times5}{3}=\dfrac{30}{3}=\gras{10\text{ cm}}$\par
De l'égalité $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\sqrt{3}}{ES}$, on tire que $ES=\dfrac{5\times\cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}}=\gras{5\sqrt{3}\text{ cm}}$
\end{SousQuestions}
\item Dans le triangle NOE rectangle en E : $\cos\Angle{NOE}=\dfrac{OE}{ON}\qquad\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5}{ON}\qquad ON=\dfrac{5\times2}{\sqrt{3}}=\gras{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}\approx\gras{5,8\text{ cm}}$
\item%
\begin{SousQuestions}
\item Dans le triangle OAC, rectangle en C : $\cos\Angle{COA}=\dfrac{OC}{OA}\qquad\cos\Angle{COA}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, et donc $\gras{\Angle{COA}=60\degres}$
\item Les angles \Angle{COA} et \Angle{EOS} sont opposés par le sommet donc égaux : $\Angle{EOS}=60\degres$\par
Et donc : $\Angle{NOS}=\Angle{NOE}+\Angle{EOS}=30\degres+60\degres=90\degres$ : \textbf{Le triangle NOS est donc bien rectangle en O}.
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\exo{Exercice 2.}
\begin{Questions}
\item Dans le triangle MNP rectangle en M, d'après le théorème de Pythagore : $NP^2=MN^2+MP^2$\par
On obtient après calculs : $MP=\gras{3\text{ m}}$
\item Dans le triangle MNP rectangle en M : $\sin\Angle{MPN}=\dfrac{MN}{NP}\qquad\sin\Angle{MPN}=\dfrac{4}{5}\qquad\gras{\Angle{MPN}\approx53\degres}$
\item%
\begin{SousQuestions}
\item $NA=NM-AM=4-1=\gras{3\text{ m}}$\qquad et\qquad $NB=NP-BP=5-1,25=\gras{3,75\text{ m}}$
\item $\dfrac{NA}{NM}=\dfrac{3}{4}\qquad\qquad\dfrac{NB}{NP}=\dfrac{3,75}{5}=\dfrac{375}{500}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$\par
\ThalesReciproque*{N}{A}{M}{B}{P}\textbf{La corde est bien parallèle au sol}.
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\exo{Exercice 3.}
\begin{Questions}
\begin{multicols}{3}
\item$
A=25-(3-2x)^2\\
A=25-(9-12x+4x^2)\\
A=25-9+12x-4x^2\\
\gras{A=-4x^2+12x+16}$\columnbreak
\item$
A=25-(3-2x)^2\\
A=5^2-(3-2x)^2\\
A=[5-(3-2x)][5+(3-2x)]\\
A=(5-3+2x)(5+3-2x)\\
\gras{A=(2x+2)(-2x+8)}$\columnbreak
\item$
A=-4(\sqrt{3})^2+12\sqrt{3}+16\\
A=-4\times3+12\sqrt{3}+16\\
A=-12+12\sqrt{3}+16\\
\gras{A=4+12\sqrt{3}}$
\end{multicols}
\end{Questions}
\exo{Exercice 4.}
\begin{Questions}
\item\begin{multicols}{2}
De la relation $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, on a :\par
$\begin{aligned}
\sin^2\alpha+\left( \dfrac{2}{3} \right)^2&=1\\
\sin^2\alpha&=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\\
\sin\alpha&=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\gras{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}
\end{aligned}$\columnbreak
De la relation $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, on a :\par
$\begin{aligned}
\tan\alpha&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\
\tan\alpha&=\dfrac{\sqrt{5}}{\cancel{3}}\times\dfrac{\cancel{3}}{2}=\gras{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}
\end{aligned}$
\end{multicols}
\item $
(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x-(\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x)\\
(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\cancel{\sin^2 x}+2\sin x\cos x+\cancel{\cos^2 x}-\cancel{\sin^2 x}+2\sin x\cos x-\cancel{\cos^2 x}\\
(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\gras{4\sin x\cos x}
$
\end{Questions}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 12 décembre 2007 (0.08s - 3952743 - 9 janvier 2009)
