Source de index.tex
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0mm}
\lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}}
\chead{}
\rhead{\textit{Année} 2005/2006}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\begin{document}
\centerline{\LARGE Triangle rectangle et cercle circonscrit}
\vskip 1.5cm
\begin{center}
\shadowbox{
\begin{minipage}[c]{\textwidth}
\begin{multicols}{2}
On considère le triangle $ABC$ ci-contre où le cercle $({\cal C})$
est le cercle circonscrit du triangle $ABC$. On a donc
$$OA=OB=OC.$$
Mesurer l'angle $\widehat{BAC}$.\\
Que remarque-t-on ?
\vskip 0.4cm
\columnbreak
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\pspicture(-4,-4)(4,4)
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,-90,0}](-4,0){B}(0,0){O}(4,0){C}
\pstCircleOA{O}{B}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=95]{O}{B}{A}{-100}
\pspolygon(A)(B)(C)
\psline(A)(O)
\pstMarkAngle{B}{A}{O}{$x$}
\pstMarkAngle[Mark=MarkHash,MarkAngleRadius=0.7,LabelSep=1.3]{O}{A}{C}{$y$}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{A}
\put(3.2,3.1){$({\cal C})$}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\end{minipage}
}
\end{center}
\textit{Justifions cette affirmation.}\\
Répondre aux questions suivantes pour justifier l'affirmation.
\begin{enumerate}[1.]
\item \begin{enumerate}[(a)]
\item Quelle est la nature du triangle $AOB$ ?
\item Que peut-on en déduire sur la mesure de
l'angle $\widehat{ABO}$ en fonction des données de la figure ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[(a)]
\item Quelle est la nature du triangle $AOC$ ?
\item Que peut-on en déduire sur la mesure de
l'angle $\widehat{ACO}$ en fonction des données de la figure ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[(a)]
\item Quelle est la mesure en degrés de la somme des angles d'un triangle ?
\item Exprimer la somme des angles du triangle
$ABO$ en fonction des mesures $x$ et $y$.
\item En déduire la mesure exacte en degrés de
l'angle $\widehat{BAC}$.
\end{enumerate}
\item \'Ecrire ci-dessous la propriété que nous venons de
justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}
\shadowbox{
\begin{minipage}[c]{\textwidth}
\vskip 0.5cm
\textbf{Propriété :} \dotfill \null\\
\dotfill \null\\
\dotfill \null\\
\dotfill \null\\
\end{minipage}
}
\end{center}
Faire une figure pour vérifier si la propriété réciproque de la
propriété précédente est vraie ou fausse.
\newpage
\centerline{\Huge Exercices}
\begin{exercice}
Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles
suivants sont-ils rectangles ? ($O_1$, $O_2$ et $O_3$ sont les centres des cercles).\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-2)(7,2)
\pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-90,-45,-135}](-8,0){O_1}(-6,0){A}(-10,0){B}
\pstCircleOA[PointSymbol=+,linecolor=red]{O_1}{A}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O_1}{A}{C}{45}
\pstLineAB[linecolor=blue]{A}{B}
\pstLineAB[linecolor=blue]{B}{C}
\pstLineAB[linecolor=blue]{A}{C}
\rput{15}{
\pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-90,-45,-135}](-2,0){O_2}(0,0){D}(-4.3,0){E}
\pstCircleOA[PointSymbol=+,linecolor=blue]{O_2}{D}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O_2}{D}{F}{75}
\pstLineAB[linecolor=red]{D}{E}
\pstLineAB[linecolor=red]{E}{F}
\pstLineAB[linecolor=red]{D}{F}
}
\rput{5}{
\pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](5,0){O_3}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3,0){N}
\pstCircleOA[PointSymbol=+]{O_3}{N}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{Q}{0}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{P}{190}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{R}{90}
\pstLineAB[linecolor=blue]{P}{Q}
\pstLineAB[linecolor=blue]{Q}{R}
\pstLineAB[linecolor=blue]{R}{P}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{exercice}
\vskip 1cm
\begin{exercice}~
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[1.]
\item Parmi les points suivants, entourer ceux qui
appartiennent au demi-cercle de diamètre $[MN]$, \textbf{sans tracer
ce demi-cercle}, en utilisant uniquement l'équerre.
\item Expliquer la méthode employée dans la question précédente
en citant la propriété du cours utilisée.
\end{enumerate}
\begin{flushright}
\pspicture(8,4.2)
\pstGeonode[PointSymbol=x,PosAngle={-135,-45}](0,0){M}(8,0){N}
\pstLineAB{M}{N}
\pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{M}{N}{I}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{K}{60}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{L}{150}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{P}{80}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{S}{340}
\pstGeonode[PointSymbol=x](2.5,2){D}(1,4){E}(3,1){E}(3.8,4){G}
\endpspicture
\end{flushright}
\end{multicols}
\end{exercice}
\vskip 1cm
\begin{exercice}
\begin{multicols}{2}
Sur la figure ci-contre, le point $O$ est le milieu du segment
$[AB]$. $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont les demi-cercles
de diamètres $[AO]$ et $[AB]$ et les points $A$, $I$ et $J$ sont
alignés. De plus, $I\in\mathcal{C}_1$ et $J\in\mathcal{C}_2$.
Démontrer que les droites $(OI)$ et $(BJ)$ sont parallèles.
\center{ \pspicture(4.3,2.2)
\pswedge[linecolor=gray](1,0){1}{0}{180}
\pswedge[linecolor=gray](2,0){2}{0}{180}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-135,-45}](0,0){A}(4,0){B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstMiddleAB[PointSymbol=x,PosAngle=-90]{A}{B}{O}
\pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O}{B}{J}{50}
\pstLineAB{A}{J}
\pstLineAB{J}{B}
\pstProjection[PointSymbol=none]{A}{J}{O}{I}
\pstLineAB{O}{I}
\uput[0]{0}(2,0.5){$\mathcal{C}_1$}
\uput[0]{0}(0.1,1.68){$\mathcal{C}_2$}
\endpspicture
}
\end{multicols}
\end{exercice}
\vskip 1cm
\begin{exercice}
Utiliser les indications données sur le dessin pour répondre en
justifiant bien.Le triangle $RST$ est rectangle en $R$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{RST}$ ?
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle $C$ circonscrit \\
au triangle $RST$ \item Le point $U$ appartient-il au cercle $C$ ?
\item Quelle est la nature du triangle $TSU$ ?
\item Que peut-on dire des quatre points $R$, $S$, $T$ et $U$ ?
\end{enumerate}
\psset{unit=0.3}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\rput(37,6.8){ \pspolygon(0,0)(11.4315,6.6)(16.5,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4.3,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12.3,0) \pswedge{2.5}{0}{30}
\uput[0]{15}(2.3,0.9){$30^{\circ}$} \psdots(5.06,-6.6)
\psline(5.06,-6.6)(8.25,0) \uput[180](0,0){$T$}
\uput[90](11.4315,6.6){$R$} \uput[0](16.5,0){$S$}
\uput[-45](8.25,0){$I$} \uput[0](5.06,-6.6){$U$}
\pcline[linestyle=none](0,0)(11.4315,6.6) \aput{:U}{13.2\ cm}
\pcline[linestyle=none](11.4315,6.6)(16.5,0) \aput{:U}{9.9\ cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(16.5,0) \aput{:U}{16.5\ cm}
\pcline[linestyle=none](5.06,-6.6)(8.25,0) \aput{:U}{8.25\ cm} }
\end{pspicture}
\psset{unit=3}{} \vskip .5cm
\end{exercice}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 8 juin 2006 (0.08s - 3953176 - 10 janvier 2009)
