Source de 1sc_bary.tex
\documentclass[10pt]{article}
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\geometry{ hmargin=2cm , vmargin=1cm}
%\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\titre{Barycentre dans le plan}{$1$\up{ere}S}
\fcours{Géométrie du plan}
\section{Rappels}
\subsection{Vecteurs et géométrie élémentaire}
\subsubsection{Colinéarité de deux vecteurs}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que deux vecteurs non nuls $\vect{u}=\Vect{AB}$ et
$\vect{v}=\Vect{CD}$ sont {\bf colinéaires} signifie qu'ils ont la
même direction. Cela signifie que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont
parallèles (donc éventuellement confondues).\\
Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur $\vect{u}$.
\end{definition}
}
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.7} \end{center}}\\
\begin{theoreme}
Dire que deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires
équivaut à dire "Il existe un réel $k$ tel que
$\vect{u}=k\vect{v}$ ou il existe un réel $k'$ tel que
$\vect{v}=k'\vect{u}$
\end{theoreme}
\begin{theoreme} Parallélisme et alignement
\begin{itemize}
\item Dire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont {\bf parallèles}
équivaut à dire qu'il existe un réel $k$ non nul tel que
$\Vect{CD}=k\Vect{AB}$
\item $A$ et $B$ sont deux points distintcs. Dire que les points
$A,B,M$ sont alignés équivaut à
dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\Vect{AM}=k\Vect{AB}$.
($k=\frac{AM}{AB}$ si $M \in [AB)$ et $k=-\frac{AM}{AB}$ sinon)
\end{itemize}
Ainsi la droite $(AB)$ est l'ensemble de tous les points $M$ tels
que $\Vect{AM}$ et $\Vect{AB}$ sont colinéaires donc~:\\
$M \in (AB)$ équivaut à "Il existe un réel $k$ tel que
$\Vect{AM}=k\Vect{AB}$".
\end{theoreme}
\subsubsection{Vecteurs et droites}
\begin{definition}
Un vecteur directeur d'un droite $d$ est un vecteur non nul dont la
direction est celle de $d$.
\end{definition}
\noindent Remarques~:
\begin{enumerate}
\item Si $A$ et $B$ sont deux points distincts et quelconques de $d$
alors $\Vect{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
\item Si $\vect{u}$ est un vecteur directeur de $d$ alors
$k\vect{u}$, avec $k$ réel non nul, est aussi un vecteur directeur
de $d$.
\item Deux vecteurs directeurs d'une droite $d$ sont colinéaires.
\end{enumerate}
\subsection{Vecteurs et géométrie analytique}
Dans cette section, un repère (cartésien) \rep du plan est fixé.
\subsubsection{Lien entre coordonnées d'un point et vecteur}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep
équivaut à dire que $\Vect{OM}=x\vect{i}+y\vect{j}$. On note
$M(x;y)$, $x$ est l'abscisse et $y$ l'ordonnée.
\end{definition}
}
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.8} \end{center}}\\
\subsubsection{Coordonnées de vecteurs}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{definition}
Dire que le vecteur $\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep
équivaut à dire que $\vect{u}=x\vect{i}+y\vect{j}$ ou encore que le
point $M$ tel que $\Vect{OM}=\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans
le repère \rep. On note $\vect{u}(x;y)$.
\end{definition}
}
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.9} \end{center}}\\
\begin{theoreme} Égalité de deux vecteurs \\
Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont
égaux signifie que leurs couples de coordonnées sont égaux~: $x=x'$
et $y=y'$.
\end{theoreme}
\begin{theoreme}
$\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont deux vecteurs quelconques et $k$
est un réel quelconque.
\begin{itemize}
\item Le vecteur $\vect{u}+\vect{v}$ a pour coordonnées $(x+x';y+y')$
\item Le vecteur $k\vect{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$.
\end{itemize}
\end{theoreme}
\noindent \parbox[t]{10cm}{
\begin{theoreme} Coordonnées du vecteur $\Vect{AB}$ \\
$A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points quelconques.\\
Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour coordonnées $(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$.
\end{theoreme}
}
\noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.10} \end{center}}\\
\subsubsection{Traduction analytique de la colinéarité}
\begin{theoreme}
Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont
colinéaires équivaut à dire que $xy'-x'y=0$.
\end{theoreme}
\noindent Conséquences~:
\begin{enumerate}
\item Si une droite $d$ a pour équation $y=mx+p$ alors
$\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$.
\item Si le vecteur $\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$
alors $m$ est le coefficient directeur de $d$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Norme d'un vecteur dans un repère orthonormal}
Ici le repère \rep est orthonormal.
\begin{theoreme}
$\vect{u}(x;y)$ est un vecteur quelconque, alors
$\Vert \vect{u} \Vert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.\\
$A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points
quelconques, la distance $AB$ est donnée par $AB=\sqrt
{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$
\end{theoreme}
\section{Barycentre de deux points}
\subsection{Approche}
\exo{}
Activité $1$ page $236$ du manuel.
\subsection{Définition}
\begin{definition}
Un couple du type $(A,\alpha)$, où $A$ est un point et $\alpha$ un
réel quelconque, est appelé un point pondéré. On dit aussi que $A$ est
affecté du coefficient ou du poids $\alpha$.
\end{definition}
\begin{propriete}
$A$ et $B$ sont deux points quelconques, $\alpha$ et $\beta$ deux
réels tels que $\alpha+\beta \not= 0$.\\
Il existe un unique point $G$ du plan tel que~:
$$
\alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0}
$$
\end{propriete}
\begin{preuve}
\vspace{10em}
\end{preuve}
\begin{definition}
$(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ sont deux points pondérés tels que
$\alpha +\beta \not= 0$. On appelle {\bf barycentre} de
$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ l'unique point $G$ tel que
$$
\alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0}
$$
\end{definition}
\noindent {\bf Remarques}~:\\
\begin{itemize}
\item Ainsi, dire que $G$ est le {\bf barycentre} de
$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ signifie deux choses~:
$$
\alpha +\beta \not= 0 {\textnormal{ et }} \alpha \Vect{GA} +\beta
\Vect{GB}=\vect{0}
$$
\item D'après la preuve précédente, le barycentre n'existe pas
lorsque $\alpha +\beta \not= 0 $ et $A \not= B$.
\end{itemize}
%========================================================================
\exo{}
\begin{enumerate}
\item Démontrez, lorsque $A \not= B$, que le barycentre de
$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ est sur la droite $(AB)$.
\item Réciproquement, démontrez que tout point $M$ de la droite
$(AB)$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ avec $\alpha$
et $\beta$ convenablement choisis.
\item Résumez ce qui a été démontré en une seule phrase.
\end{enumerate}
%========================================================================
\noindent {\bf Remarque}~: Retenez surtout de l'exo précédent, que
deux points pondérés et leur barycentre sont alignés$\ldots$
\subsection{Homogénéité du barycentre}
\begin{propriete}
Si $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ alors $G$
est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$ lorsque $k$ est
une constante réelle non nulle. Autrement dit, le barycentre est invariant si
on change les coefficients par des coefficients proportionnels.
\end{propriete}
\begin{preuve}
\vspace{5em}
\end{preuve}
\begin{definition}
Lorsque les points $A$ et $B$ sont affectés du même coefficient
$\alpha$, non nul, le barycentre de $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$
est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$ et $B$.\\
Il est donc, d'après ce qui précède, le barycentre de $(A,1), (B,1)$
et c'est le seul point $G$ tel $\Vect{GA}+\Vect{GB}=\vect{0}$.
\end{definition}
%==============================================================================
\exo{}
Prouvez, lorsque $A \not= B$, que l'isobarycentre de $A$ et $B$ n'est pas un point
quelconque$\ldots$
%==============================================================================
\subsection{Réduction vectorielle}
\begin{theoreme}
$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\
Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha
\Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}=(\alpha+\beta) \Vect{MG}$}
\end{theoreme}
\begin{preuve}
\vspace{5em}
\end{preuve}
\section{Barycentre de trois points}
Les définitions et résultats de la section précédente s'étendent sans
difficulté au cas d'un système de trois points pondérés.
\subsection{Extension des théorèmes et propriétés précédentes}
\begin{theoreme}
$A$, $B$, $C$ sont trois points et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ trois
réels tels que $\alpha+\beta+\gamma \not= 0$.\\
Il existe un unique point $G$ du plan tel que~:
$$
\alpha \Vect{GA} +\beta \Vect{GB}+\gamma \Vect{GC}=\vect{0}
$$
Ce point est appelé le {\bf barycentre} des points pondérés $(A,\alpha)$,
$(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.
\end{theoreme}
\begin{propriete}
$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$ alors $G$
est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$ et $(C,k\gamma) $où $k$ est
une constante non nulle. Autrement dit le barycentre est invariant si
on change les poids par des poids proportionnels.
\end{propriete}
\begin{definition}
Lorsque les points $A$, $B$ et $C$ sont affectés du même coefficient
$\alpha$, non nul, le barycentre $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$, $(C,\gamma)$
est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$, $B$ et $C$.
\end{definition}
D'après la propriété précédente l'isobarycentre de $A$, $B$ et $C$
est aussi l'isobarycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et c'est le seul point
$G$ tel $\Vect{GA} + \Vect{GB}+ \Vect{GC}=\vect{0}$.
%==============================================================================
\exo{}
Prouvez, lorsque $ABC$ est un triangle que l'isobarycentre de
$A,B,C$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
%==============================================================================
\begin{theoreme} Réduction vectorielle. \\
$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\
Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha
\Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}+\gamma \Vect{MC}=(\alpha+\beta+\gamma) \Vect{MG}$}
\end{theoreme}
\subsubsection{Règle d'associativité}
\begin{theoreme}
$G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\
Supposons que $\alpha+\beta \not=0$ et notons $H$ le barycentre de
$(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\
Alors $G$ est le barycentre de $(H, \alpha+\beta)$ , $(C,\gamma)$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
\vspace{10em}
\end{preuve}
\noindent {\bf Remarque}: \\
Cette propriété est quelques fois appelée règle d'associativité, elle
dit que dans la recherche du barycentre de trois points, on peut
remplacer certains d'entre eux par leur barycentre $H$ (sous réserve
d'existence), affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
\section{Barycentre de $n$ points}
\noindent On généralise (les preuves sont identiques), les résultats établis
pour deux ou trois points.\\[1em]
$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ sont $n$ points et
$a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ $n$ réels tels que
$a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}\not= 0$.
\begin{itemize}
\item Il existe un unique point $G$ tel que~:
$$
a_{1}\Vect{GA_{1}}+a_{2}\Vect{GA_{2}}+\ldots+a_{n}\Vect{GA_{n}}=\vect{0}.
$$
Le point $G$ est appelé le barycentre des $n$ points pondérés
$(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$.
\item Pour tout point $M$,
$$
a_{1}\Vect{MA_{1}}+a_{2}\Vect{MA_{2}}+\ldots +a_{n}\Vect{MA_{n}}=
(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n})\Vect{MG}
$$
\item Pour tout réel $k$, non nul, les points pondérés
$(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$, et les points \\
$(A_{1},ka_{1}), (A_{2},ka_{2}),\ldots ,(A_{n},ka_{n})$ ont le même
barycentre. Autrement dit, on ne change pas la barycentre en changeant
les coefficients par des coefficients proportionnels.
\item Dans le cas où $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}\not=0$, $G$
est appelé l'isobarycentre des $n$ points $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$.
\item Règle d'associativité~:\\
Pour trouver le barycentre $G$, de $n$ points, lorsque $n \geq 3$, on peut
remplacer $p$ points, pris parmi les $n$ points, par leur barycentre
(s'il existe) affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
\end{itemize}
\subsection{Coordonnées du barycentre}
\begin{theoreme}
Dans un repère \rep du plan, le barycentre de $n$ points pondérés a
pour abscisse (resp. ordonnée) la moyenne pondérée, par les
coefficients des points, des abscisses (resp. ordonnées) de ces
points. Ainsi~: (avec des notations évidentes)
$$ x_{G}=\frac{a_{1}x_{A_{1}}+a_{2}x_{A_{2}}+\ldots+a_{n}x_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2}
+\ldots + a_{n}}$$
$$
y_{G}=\frac{a_{1}y_{A_{1}}+a_{2}y_{A_{2}}+\ldots+a_{n}y_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2}
+\ldots + a_{n}}
$$
\end{theoreme}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 6 février 2003 (0.08s - 3832406 - 4 décembre 2008)
