Source de 1sc_secdegre.tex
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\titre{Équations et inéquations du second degré}{$1$\up{ere}S}
\fcours{Second degré}
\section{Résolution de l'équation du second degré}
% \subsection{Exercices d'approche}
% \exo{}
% \input{1stie_secdegre1.tex}
% \exo{}
% \input{1stie_secdegre2.tex}
% \exo{}
% \input{1stie_secdegre3.tex}
% \exo{}
% \input{1stie_secdegre4.tex}
\subsection{Définition, vocabulaire}
Une {\bf équation du second degré}, à une inconnue $x$, est une
équation qui peut s'écrire sous la forme {\boldmath $ax^{2}+bx+c~=~0$}, où $a, b,
c$ sont trois réels donnés, $a$ étant différent de zéro. \\
Un trinôme du second degré est un polynôme de degré $2$.\\
% Toute expression, fonction de $x$, qui peut s'écrire $ax^{2}+bx+c$ où $a, b,
% c$ sont trois réels donnés, $a \not= 0$, est un {\bf trinôme du second
% degré} (en $x$).\\
{\bf Résoudre, dans $\R$, l'équation} {\boldmath $ax^{2}+bx+c=0$} ; c'est trouver tous les
nombres réels $u$ tels que $au^{2}+bu+c~=~0$. Un tel nombre est dit
{\bf solution} ou {\bf racine} de l'équation ou encore {\bf racine} ou
{\bf zéro} du trinôme $ax^{2}+bx+c$.\\
Si $f$ est un trinôme du second degré définie par $f(x)=ax^{2}+bx+c$,
résoudre $ax^{2}+bx+c=0$ c'est déterminer les événtuels antécédents de $0$
par $f$.
\subsection{Résolution de l'équation du second degré}
\subsubsection{Principe de résolution sur deux exemples}
\begin{enumerate}
\item On souhaite résoudre dans $\R$, $3x^{2}-5x-4=0$.\\
Posons $f(x)=3x^{2}-5x-4$, alors pour tout réel $x$,\\
$f(x)=3\left[x^{2}-\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}\right]$, \\
or $x^{2}-\frac{5}{3}x$
est le début d'un carré, car $x^{2}-\frac{5}{3}x=
\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{25}{36}$. \\
Ainsi pour tout réel $x$,\\
$f(x)=
3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{25}{36}-\frac{4}{3}\right]$\\
$f(x)=3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{73}{36}\right]$\\
$f(x)=3\left[\left(x-\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{73}}{6}\right)
\left(x-\frac{5}{6}+\frac{\sqrt{73}}{6}\right)\right]$\\
$f(x)=3\left[\left(x-\frac{5+\sqrt{73}}{6}\right)
\left(x-\frac{5-\sqrt{73}}{6}\right)\right]$.\\
Il en résulte que $f(x)=0$ équivaut à $x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}$ ou
à $x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$. De plus on a obtenu une factorisation
de $f(x)$.
\item On souhaite résoudre dans $\R$, $2x^{2}+3x+4=0$.\\
Posons $f(x)=2x^{2}+3x+4$, alors pour tout réel $x$,\\
$f(x)=2\left[x^{2}+\frac{3}{2}x+2\right]$, \\
or $x^{2}+\frac{3}{2}x$
est le début d'un carré, car $x^{2}+\frac{3}{2}x=
\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}$. \\
Ainsi pour tout réel $x$,\\
$f(x)=
2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}+2\right]$\\
$f(x)=2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{16}\right]$\\
Il est clair qu'avec cette factorisation de $
f(x)$ l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $\R$.
\end{enumerate}
\subsubsection{Cas général}
Posons $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\not=0$.
\begin{enumerate}
\item $1$\up{ere} étape~: Forme canonique de $f(x)$\\
Puisque $a\not=0$, $f(x)=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$ ;
or
$x^{2}+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$
car $x^{2}+\frac{b}{a}x$ est le début du développement de
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$.\\
Donc
$f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+
\frac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+
\frac{4ac}{4a^{2}}\right]=
a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right]$\\
Cette dernière écriture de $f(x)$ sous la forme
$a[(x+\square)^{2}-\bigcirc]$ est la {\bf forme canonique de $f(x)$}.
\item $1$\up{ieme} étape~: Résolution\\
On pose $\Delta=b^{2}-4ac$, ainsi
$f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta < 0$, alors $\frac{\Delta}{4a^{2}}<0$, le nombre
entre crochets est strictement positif donc l'équation $f(x)=0$ n'a
pas de solution.
\item Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$,
ainsi $f(x)=0$ équivaut à $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=0$
équivaut à $x+\frac{b}{2a}=0$ soit $x=-\frac{b}{2a}$.
\item Si $\Delta < 0$, alors $\Delta=(\sqrt{\Delta})^{2}$ et $f(x)=
a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-
\frac{(\sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-
\sqrt{\frac{\Delta}{2a}}^{2}\right]=\\
a\left(x+\frac{b}{2a}+
\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-
\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=
a\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$.\\
Si l'on pose $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$,
alors $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.\\
Puisque $a \not= 0$, l'équation $f(x)=0$ a donc deux solutions
distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\begin{definition} \hfill
\begin{enumerate}
\item Le nombre $b^{2}-4ac$ est appelé discriminant de l'équation du
second degré $ax^{2}+bx+c=0$ ou du trinôme $ax^{2}+bx+c$. On le
note $\Delta$ (lire "delta").
\item L'expression
$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$
est la forme canonique de $f(x)$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{theoreme} \label{un}
Racine de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$\\
Lorsque $\Delta <0$, l'équation n'a pas de racine.\\
Lorsque $\Delta=0$, l'équation a une racine, $-\frac{b}{2a}$.\\
Lorsque $\Delta >0$, l'équation a deux racines distinctes~:
$$
x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \, x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
$$
\end{theoreme}
{\bf Comment résoudre des équations du second degré~?}
\begin{enumerate}
\item En général, mais pas toujours (voir plus bas), on calcule le
discriminant $\Delta$ et on utilise les formules du théorème.\\[1em]
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
$x^{2}-3x+4=0$ & \rule[-8pt]{0pt}{20pt}
$3x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{48}=0$ &
$3x^{2}-x-4=0$ \\
\hline
$a=1$, $b=-3$, $c=4$
$\Delta=(-3)^{2}-4\times 1\times 4=-7$
$\Delta < 0$, pas de solution.
&
$a=3$, $b=-\frac{7}{2}$, $c=\frac{49}{48}$
$\Delta=\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}-4\times 3 \times
\frac{49}{48}=0$
$\Delta =0$,une solution $-\frac{b}{2a}=\frac{7}{12}$.
&
$a=3$, $b=-1$, $c=-4$
$\Delta=(-1)^{2}-4\times 3 \times (-4)=49$
$\Delta >0$, deux solutions~:
$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-1$
$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4}{3}$\\
\hline
\end{tabular}
\item Il n'est pas toujours utile (ni judicieux) de calculer
$\Delta$, c' est le cas des équations suivantes~:
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $4x^{2}-5=0$
\item[$\bullet$] $7x^{2}+3x=0$
\item[$\bullet$] $-3(x-1)(x+2)=0$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\section{Comment relier les racines et les coefficients du trinôme~?}
\begin{propriete}
\hfill
\begin{itemize}
\item Lorsque l'équation $ax^{2}+bx+c=0$, $a\not=0$ a deux racines
$x_{1}$ et $x_{2}$, alors \fbox{$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$} et
\fbox{$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$}.
\item Lorsque l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ a une seule solution
$x_{0}$, alors \fbox{$x_{0}+x_{0}=-\frac{b}{a}$} et
\fbox{$x_{0}x_{0}=\frac{c}{a}$}.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{preuve}
\noindent $x_{1}+x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}
=-\frac{b}{a}$ et $x_{1}\times
x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times
\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$.\\
Le calcul est trivial pour le deuxième cas.
\end{preuve}
\noindent {\bf Remarque}~: Il est utile de retenir que si on connaît a priori une racine alors
on peut savoir à l'aide de ces formules si c'est la seule ou non et,
dans ce cas, obtenir la valeur de la deuxième.\\
Par exemple, si on remarque que $1$ est racine de l'équation
$x^{2}-3x+4=0$ comme $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=4$ alors $4$ est aussi
solution de l'équation. Comme elle en a au plus deux la résolution est
terminée.
\section{Factorisation et signe du trinôme}
\subsection{Factorisation du trinôme}
D'après la démonstration du théorème $\ref{un}$ on peut établir le
théorème suivant~:
\begin{theoreme}
Notons $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\not=0$
\begin{itemize}
\item Lorsque $\Delta<0$, la factorisation de $f(x)$ (à coefficients réels) n'est pas possible.
\item Lorsque $\Delta=0$, $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$
est la forme factorisée de $f(x)$.
\item Lorsque $\Delta>0$, l'équation $f(x)=0$ a deux racines
distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ et $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
est la forme factorisée de $f(x)$.
\end{itemize}
\end{theoreme}
\subsection{Signe du trinôme}
% \exo{}
% \input{1stie_secdegre5.tex}
\begin{theoreme} \hfill
\begin{enumerate}
\item Lorsque $\Delta < 0$, $f(x)$ est toujours du signe de $a$.
\item Lorsque $\Delta = 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sauf
lorsque $x=-\frac{b}{2a}$ auquel cas $f(x)=0$.
\item Lorsque $\Delta > 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ {\bf
sauf } lorsque $x$ est entre les solutions de $f(x)=0$ où $f(x)$ est du signe
de $-a$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\begin{preuve}
\begin{itemize}
\item Cas $\Delta < 0$~: la forme canonique de $f(x)$ est
$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$.
Comme $\Delta<0$ le nombre entre crochets est strictement positif,
donc $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$.
\item Cas $\Delta=0$~: la forme factorisée de $f(x)$ est
$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}\right]$ donc $f(x)$ est du
signe de $a$ sauf pour $x=-\frac{b}{2a}$ où il est nul.
\item Cas $\Delta >0$~: la forme factorisée de $f(x)$ est
$a(x-x_{1})(x-x_{2})$ où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les solutions de
l'équation $f(x)=0$. Si, par exemple, $x_{1}$ est la plus petite de
ces deux racines on obtient le tableau de signes suivant~:\\
\begin{tabular}{|c|ccc|ccc|ccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & &\multicolumn{2}{c}{$x_{1}$} & &
\multicolumn{2}{c}{$x_{2}$} & & $+\infty$ \\
\hline
$a$ & & signe de $a$ & & & signe de $a$ & & & signe de $a$ & \\
\hline
$x-x_{1}$ & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & & & $+$ & \\
\hline
$x-x_{2}$ & &$-$ & & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & \\
\hline
$(x-x_{1})(x-x_{2})$ & & $+$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}& $-$
& \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & \\
\hline
$f(x)$ & & signe de $a$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}& signe de $-a$
& \multicolumn{2}{c}{$0$} & signe de $a$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{preuve}
\section{Fonction trinôme du second degré}
\begin{theoreme} \hfill \\
La courbe représentative, dans le plan muni d'un repère orthogonal \rep,
de la fonction trinôme du second
degré $f~:~x\longmapsto ax^{2}+bx+c$, est une parabole. Cette parabole
est "tournée vers le haut" si $a>0$ et "tournée vers le bas" si
$a<0$. Son sommet a pour abscisse $-\frac{b}{2a}$ et la droite
d'equation $x=-\frac{b}{2a}$ est un axe de symétrie de cette courbe.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
détaillée en cours.
\end{preuve}
\noindent {\bf Remarque}~: la rédaction de ce théorème sous-entend que le
vecteur $\vect{j}$ du repère est dirigé vers le haut.\\
Ainsi le signe de $a$ nous renseigne sur l'allure de la courbe. Le
signe de $\Delta$ nous renseigne sur le nombre de points
d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. En effet~:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si $\Delta <0$, l'équation $f(x)=0$ n'a pas de
solutions donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
\item[$\bullet$] si $\Delta=0$, l'équation $f(x)=0$ a une solution
donc la courbe et l'axe des abscisses n'ont qu'un point commun.
\item[$\bullet$] si $\Delta >0$, l'équation $f(x)=0$ a deux
solutions donc la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points.
\end{itemize}
Le tableau suivant illustre les cas possibles~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& $\Delta >0$ & $\Delta =0$ & $\Delta <0$ \\
\hline
factorisation de $f(x)$ & $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ & $a(x-x_{0})^{2}$ &
pas de factorisation \\
\hline
équation $f(x)=0$ & $2$ solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ & une
solution $x_{0}$ & pas de solution \\
\hline
\rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{0.8cm}[0pt][0pt]{signe de $f(x)$}
& \includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.1}
&
\raisebox{0.3cm}[0pt][0pt]{\includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.2}}
&
\raisebox{0.7cm}[0pt][0pt]{\includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.3}}
\\
\hline
\rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{1.1cm}[0pt][0pt]{courbes pour $a>0$}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.4}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.5}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.6} \\
\hline
\rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{1.1cm}[0pt][0pt]{courbes pour $a<0$}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.7}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.8}
& \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.9} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 6 février 2003 (0.08s - 3431381 - 28 août 2008)
