Source de Tsc_deriv.tex
\documentclass[a4paper,12pt,dvips]{article}
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%\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\titre{Terminale S}{Dérivation}
\section{Rappels ou presque...}
\subsection{Nombre dérivé. Fonction dérivée}
$f$ est une fonction définie sur $\mathcal{D}_{f}$ et $a$ est un
nombre de $\mathcal{D}_{f}$.
\begin{definition} \hfill \\
Dire que la fonction $f$ {\bf est dérivable au point} $a$
signifie que la fonction $h~\longmapsto~\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet
une limite réelle $l$ en zéro ou bien, de façon équivalente que la fonction
$x~\longmapsto~\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle $l$ en $a$.\\
Cette limite $l$ est appelée {\bf le nombre dérivé} de $f$ au
point $a$. On le note $f'(a)$.
\end{definition}
\subsection{Notation différentielle}
Lorsque $f$ est dérivable en $x$, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$.\\
En sciences physiques, une variation (pour nous une différence) s'écrit souvent en utilisant le symbole $\Delta$. Par exemple pour écrire une variation du temps on utilise l'expression $\Delta t$. \\
Avec cette notation, puisque $h$ exprime la différence entre $x+h$ et $x$, on peut le noter $\Delta x$. De même puisque $f(x+h)-f(x)$ exprime une différence d'ordonnée que l'on note souvent $y$ on peut le noter $\Delta y$. \\
L'égalité précédente s'écrit alors \fbox{$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$}. \\
On est alors conduit à traduire cette égalité, par "passage à la limite", en écrivant $\frac{dy}{dx}=f'(x)$. (Dans l'esprit on peut retenir que l'expression $dx$ exprime un $\Delta x$ infiniment petit$....$) C'est la {\bfseries notation différentielle} du nombre dérivé.\\
Fréquemment, on confond, par abus de langage, $y$ et $f$, la notation différentielle s'écrit alors $\frac{df}{dx}=f'(x)$. Cette notation est souvent utilisée en sciences physiques.\\
On peut écrire, suivant le contexte, $dy=f'(x)dx$ ou $df=f'(x)dx$.
%Autre version selon oles commentaires du programme officiel....
%Lorsque $f$ est dérivable en $x$, posons $\epsilon (h)= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} -f'(x)$ alors \fbox{$\lim_{h \to 0} \epsilon (h) = 0$}. Par réécriture on obtient l'égalité \fbox{$f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\epsilon (h)$}.\\
%En sciences physiques, une variation (pour nous une différence) s'écrit souvent en utilisant le symbole $\Delta$. Par exemple pour écrire une variation du temps on utilise l'expression $\Delta t$. \\
%Avec cette notation, puisque $h$ exprime la différence entre $x+h$ et $x$, on peut le noter $\Delta x$. De même puisque $f(x+h)-f(x)$ exprime une différence d'ordonnée que l'on note souvent $y$ on peut le noter $\Delta y$. \\
%L'égalité précédente s'écrit alors \fbox{$\Delta y=\Delta x f'(x) + \Delta x \epsilon( \Delta x)$ \qquad [1]} avec $\lim_{\Delta x \to 0} \epsilon (\Delta x) = 0$. \\
%Mais dans cette égalité lorsque $\Delta x$ tend vers zéro, le terme $\Delta x \epsilon( \Delta x)$ tend vers $0$. On est alors conduit à traduire par "passage à la limite" cette égalité par la relation symbolique $dy=f'(x)dx$. (Dans l'esprit on peut retenir que l'expression $dx$ ($dy$) exprime un $\Delta x$ infiniment petit$....$)\\
% Il ne faut pas longtemps ensuite pour avoir envie d'écrire $\frac{dy}{dx}=f'(x)$. C'est la {\bfseries notation différentielle} du nombre dérivé.\\
%Fréquemment, on confond, par abus de langage, $y$ et $f$, la notation différentielle s'écrit alors $\frac{df}{dx}=f'(x)$. Cette notation est souvent utilisée en sciences physiques.
\subsection{Approximation affine locale.Tangente}
\begin{definition}
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ qui est dérivable
au point $a$.\\
La {\bf tangente à} $\mathcal{C}_{f}$ {\bf au point} $A(a;f(a))$ est
la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est
$f'(a)$.\\
Elle se conçoit comme la "position limite" des sécantes $(AM)$ (cf figure) lorsque $M$
tend vers $A$ sur la courbe.
\end{definition}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{fig1sc_deriv.3} \hspace{4em}
\includegraphics[scale=0.4]{fig1sc_deriv.2}
\end{center}
\begin{propriete}
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A(a;f(a))$
est~:
$$
y=f'(a)(x-a)+f(a)
$$
\end{propriete}
\begin{definition}
$f'(a)(x-a)+f(a)$ (resp. $f'(a)h+f(a)$){\bf est l'approximation affine locale de} $f(x)$ (resp. $f(a+h)$)pour $x$ voisin de $a$ (resp. $h$ voisin de $0$). Autrement dit, $f(x)-f(a)\approx (x-a)f'(a)$ pour $x$ voisin de $a$ (resp. $f(a+h)-f(a) \approx hf'(a)$ pour $h$ voisin de zéro).\\
Avec la notation utilisée en sciences physiques, cela peut s'écrire, $\Delta y \approx f'(a) \Delta x$ ou encore $ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(a)$ lorsque lorsque $\Delta x$ est voisin de zéro. \\
Tout ceci ne fait qu'exprimer le fait que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(a)$
\end{definition}
\subsection{Dérivées des fonctions usuelles. Formules de dérivation}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\parbox[b]{5cm}{\hfil $f$ est définie sur $I$ \hfil
\hfil $f(x)=\ldots$ \hfil} & \parbox[b]{5cm}{\hfil $f'$ est définie sur $J$ \hfil
\hfil $f'(x)=\ldots$ \hfil} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{
$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=mx+p$
Cas particuliers~:
$I=\mathbb{R}$
$f(x)=p$
$I=\mathbb{R}$
$f(x)=x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=m$
Cas particuliers~:
$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=0$
$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=1$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=x^{2}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=2x$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=[0;+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\sqrt{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=]0+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=x^{3}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=3x^{2}$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}^{*}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\frac{1}{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}^{*}$
$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ \raisebox{-1ex}{\phantom{p}}} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\vert x \vert$} & \parbox[b]{7cm}{$J=\mathbb{R}^{*}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f'(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{l}
f'(x)=1 \textnormal{ si } x > 0 \\
f'(x)=-1 \textnormal{ si } x < 0
\end{array}
\right.
$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ si $n>0$ et $I=\mathbb{R}^{*}$ si $n<0$
$f(x)=x^{n}$ avec $n \in \mathbb{Z}^{*} \backslash \{1\}$}& \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ si $n>0$ et $J=\mathbb{R}^{*}$ si $n<0$
$f'(x)=nx^{n-1}$ }\rule{0cm}{0.8cm} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\cos x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=-\sin x$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\sin x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=\cos x $} \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\parbox[b]{2cm}{Fonction} & $u+v$ & $uv$ & $ku$ ($k$ constante) &
\raisebox{-2ex}{\phantom{p}} $\frac{1}{v}$ \raisebox{2ex}{\phantom{l}}
& $\frac{u}{v}$ & $u(ax+b)$\\
\hline
\raisebox{-2ex}{\phantom{p}} \parbox[c]{2cm}{Fonction dérivée}
\raisebox{2ex}{\phantom{l}}
& $u'+v'$ & $u'v+uv'$ & $ku'$ &
$\frac{-v'}{v^{2}}$ & $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ & $au'(ax+b)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Application au variations. Extremums locaux}
\begin{theoreme} (admis)\\
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et sa fonction
dérivée est $f'$.
\begin{itemize}
\item Si $f'$ est {\bf strictement positive sur} $I$, sauf
peut-être en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est
{strictement croissante sur} $I$.
\item Si $f'$ est {\bf strictement négative sur} $I$, sauf
peut-être en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est
{strictement décroissante sur} $I$.
\item Si $f'$ est {\bf nulle sur} $I$ alors $f$ est {\bf constante}
sur $I$.
\end{itemize}
\end{theoreme}
\begin{definition}
$f$ est une fonction définie sur $D$ et $c$ est un point de $D$
distinct des extrémités. Dire que $f(c)$ est un {\bf maximum (resp minimum)
local de} $f$ en $c$ signifie que pour tout $x$ d'un intervalle ouvert $I'$,
contenant $c$ et inclus dans $D$, $f(x) \leq f(c)$ (resp $f(x) \geq
f(c)$)
\end{definition}
\noindent {\bf Remarque}~: Extremum à une extrémité~:\\
Si $D=\intf{a}{b}$, dire que $f(a)$ est un maximum local (par exemple)
de $f$ en $a$ signifie que $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ d'un
intervalle $\intfo{a}{\alpha}$ avec $\alpha \leq b$.
\begin{theoreme}(admis)
$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $c$ un point distinct des extrémités de $I$. Si $f(c)$ est un extremum local alors $f'(c)=0$
\end{theoreme}
\section{Dérivée d'une fonction composée}
\subsection{Théorème fondamental}
\begin{theoreme}
$g$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$. $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et pour tout $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$.\\
Alors la fonction $f$ définie par $f(x)=g(u(x))$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$,
$f'(x)=g'(u(x))\times u'(x)$.\\
Autrement dit,
$$
(g \circ u)'=(g' \circ u) \times u'
$$
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
Il s'agit de prouver que, pour tout $a \in I$, $\frac{g(u(x))-g(u(a))}{x-a}$ admet une limite
réelle $l$ lorsque $x$ tend vers $a$.\\
$a \in I$, notons $b=u(a)$ et $t(x)=\frac{g(u(x))-g(u(a))}{x-a}$ pour tout $x \in I$ distinct de $a$. Il est clair
que $t(x)=0$ si $u(x)=u(a)$.\\
$g$ est dérivable en $b$, introduisons alors la fonction $\phi~: J \longmapsto \R$ définie par
$
\left\lbrace
\begin{array}{llll}
\phi(y) & = &\frac{g(y)-g(b)}{y-b} & \textnormal{ si } y \not= b \\
\phi(b) & = & g'(b) &
\end{array}
\right.
$
cette fonction, du fait de la dérivabilité de $g$ en $b$, est continue en $b$.\\
Alors pour tout $x \in I$ distinct de $a$,
$\phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
t(x) & \textnormal{ si } u(x) \not= u(a) \\
0=t(x) & \textnormal{ si } u(x)=u(a)
\end{array}
\right.
$.
Donc pour tout $x \in I$ distinct de $a$, $t(x)=\phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}$\\
Ainsi $\lim_{x \to a} t(x)=\lim_{x \to a} \phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)}
{x-a}$. Mais comme $u$ et $g$ sont continues respectivement en $a$ et $b$, par composition de limites
$\lim_{x \to a} \phi\left[u(x)\right]=g'(b)$. Ensuite comme $u$ est dérivable en $a$,
$\lim_{x \to a} \frac{u(x)-u(a)}{x-a}=u'(a)$. Par multiplication on obtient alors
$\lim_{x \to a} t(x)=g'(b) \times u'(a)$ . Puisque $b=u(a)$ cela s'écrit donc
$\lim_{x \to a} t(x)=g'(u(a)) \times u'(a)$.
\end{preuve}
\fi
\subsection{Applications}
\begin{theoreme} Dérivation de $\sqrt{u}$\\
$u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et
$$
\sqrt{u}'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}
$$
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
On applique le théorème précédent avec $g$ la fonction racine et $J=\into{0}{+\infty}$.
\end{preuve}
\fi
\noindent {\bfseries Remarque~:}Ce type de fonction peut-être dérivable en un $\alpha$ tel que $u(\alpha)=0$, on a recourt à la définition pour étudier ce cas particulier...
\begin{theoreme} Dérivation de $u^{n}$, $n$ entier relatif non nul\\
$u$ est une fonction (qui ne s'annule pas sur $I$ si $n<0$ ) dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $u^{n}$ est dérivable sur $I$ et
$$
(u^{n})'=nu'u^{n-1}
$$
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
On applique le théorème précédent avec $g$ la fonction $x\longmapsto x^{n}$ et $J=\R^{\ast}$ si $n<0$ ou $J=\R$ sinon.
\end{preuve}
\fi
\section{Dérivées successives}
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Sa fonction dérivée $f'$ ou $f^{(1)}$
s'appelle sa {\bfseries dérivée première (ou d'ordre 1)} de $f$.\\
Lorsque $f'$ est dérivable sur $I$, sa fonction dérivée est notée $f''$ ou $f^{(2)}$ ; elle est appelée
{\bfseries dérivée seconde (ou d'ordre 2)} de $f$.\\
Par itération, pour tout entier naturel $n \geq 2$, on définit, lorsque c'est possible, $f^{(n)}$, la fonction {\bfseries dérivée n-ième (ou d'ordre n)} de $f$ comme étant la dérivée de la
fonction {\bfseries dérivée (n-1)-ième (ou d'ordre n-1)} de $f$.
\section{Limites et taux de variations}
TD $5$page $74$.\\
On parvient quelques fois à lever une indétermination "$\frac{0}{0}$"en utilisant la définition du nombre dérivé après avoir procédé à d'habiles réécritures....\\
On cherche à écrire $f(x)$ sous la forme $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ avec $g$ dérivable en $a$, alors
$\lim_{x \to a} f(x)=g'(a)$.\\
Par exemple, on remarque que pour tout $x \not= \frac{\pi}{2}$,
$\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=\frac{\cos x-\cos \frac{\pi}{2}}
{x-\frac{\pi}{2}}$. \\
Comme la fonction cosinus est dérivable sur $\R$ donc en $\frac{\pi}{2}$, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\cos \frac{\pi}{2}}{x-\frac{\pi}{2}}
=\cos' \frac{\pi}{2}
=-\sin \frac{\pi}{2}=-1$. \\
Il en résulte que $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=-1$.
\section{Tangente verticale} (Généralisation de ce qui a été vu pour la fonction racine en zéro)\\
TD $3$ page $72$\\
$f$ est une fonction continue mais non dérivable en un point $a$ de $\mathcal{D}_{f}$ telle que
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty$ (la limite en $a$ peut être à gauche ou à droite).\\
Géométriquement cela signifie que les coefficients directeurs des sécantes issues du point $A(a;f(a))$ sur $\mathcal{C}_{f}$ se "rapprochent" de la droite d'équation $x=a$. Cela conduit à dire que la courbe de $f$ admet une tangente verticale au point $A(a;f(a))$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTsc_deriv.1}
\end{center}
\section{Dérivée à gauche et à droite ; point anguleux}
Lorsqu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et lorsque la fonction $x \longmapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle $l$ à droite en $a$, on dit que la fonction $f$ est {\bfseries dérivable à droite} en $a$. On note $f_{d}^{'}(a)$ le nombre $l$, que l'on appelle le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$.\\
De la même façon on définit la dérivabilité à gauche en $a$ et on note $f_{g}^{'}(a)$ le nombre dérivé à gauche.\\
Géométriquement la courbe représentative de $f$ admet une demi-tangente à droite (resp. à gauche) en $A(a;f(a))$. Le coefficient directeur de la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est $f_{d}^{'}(a)$ (resp. $f_{g}^{'}(a)$).\\
Lorsque $f_{d}^{'}(a) \not= f_{g}^{'}(a)$, on dit que $A$ est un {\bfseries point anguleux}.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{figTsc_deriv.2}
\end{center}
\section{Primitives d'une fonction}
\subsection{Définition. Lien entre deux primitives}
\begin{definition}
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une
fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$,
$$
F'(x)=f(x).
$$
\end{definition}
\noindent {\bfseries Exemples}~:
\begin{itemize}
\itemm $
\begin{array}[t]{llll}
F_1~:&\R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 2x
\end{array}
$
et
$
\begin{array}[t]{llll}
F_2~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 2x-4
\end{array}
$
sont des primitives de
$
\begin{array}[t]{llll}
f~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 2
\end{array}
$
\itemm $
\begin{array}[t]{llll}
H~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & \sin x
\end{array}
$
est une primitive de
$
\begin{array}[t]{llll}
h~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & \cos x
\end{array}
$
\itemm $
\begin{array}[t]{llll}
G~:&\into{0}{+\infty} & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & -\frac{1}{x}
\end{array}
$
est une primitive de
$g~:
\begin{array}[t]{lll}
\into{0}{+\infty} & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \frac{1}{x^2}
\end{array}
$
\end{itemize}
\begin{theoreme}(admis pour l'instant...)
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$.
\end{theoreme}
\noindent {\bfseries Remarques}~:
\begin{itemize}
\itemm Attention une fonction non continue sur $I$ peut avoir une primitive sur $I$.
En effet, la
fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(0)=0$ et $f(x)=2x \sin \frac{1}{x}-\cos
\frac{1}{x}$ pour $x \not=0$ n'est pas continue en zéro. Cependant c'est, en tout
point de $\R$ la dérivée de la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(0)=0$ et
$F(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}$ qui est donc une de ses primitives.
\itemm L'hypothèse $I$ est un intervalle est essentielle...
\end{itemize}
%======================================================================
\exo{}
Dans chacun des cas suivants, prouvez que $f$ admet une primitive et donnez-en une.
\begin{enumerate}
\item $
\begin{array}[t]{llll}
f~: & \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 3x
\end{array}
$
\item $
\begin{array}[t]{llll}
f~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & x^2
\end{array}
$
\item $
\begin{array}[t]{llll}
f~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 2x^2+3x-4
\end{array}
$
\end{enumerate}
%======================================================================
\begin{theoreme}
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives. Toute autre primitive de $f$ sur $I$ est définie par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est une constante réelle.
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
$F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. La fonction $G$ est aussi dérivable sur $I$ avec
$G'=F'=f$; Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.\\
Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors $G'=f=F'$ d'où $G'-F'=0$. La
dérivée de $G-F$ est donc nulle sur l'intervalle $I$ ainsi $G-F$ est constante sur $I$~: il
existe un réel $k$ tel que pour tout $x \in I$, $G(x)-F(x)=k$, d'où le résultat.
\end{preuve}
\fi
%=======================================================================
\exo{}
Dans chacun des cas suivants, déterminez les primitives de $f$. Pouvez-vous en donner une qui s'annule en $2$~?
\begin{enumerate}
\item $
\begin{array}[t]{llll}
f~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& x & \longmapsto & 3x^2-4x+7
\end{array}
$
\item $
\begin{array}[t]{llll}
f~:& \R & \longrightarrow & \R \\
& t & \longmapsto & -5t^3+3t^2+8
\end{array}
$
\end{enumerate}
%=======================================================================
\begin{corollaire}
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
$x_0$ est un réel donné dans $I$ et $y_0$ un réel quelconque.\\
Alors il existe une primitive et une seule $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$.
\end{corollaire}
\ifpreuve
\begin{preuve}
En effet, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, toute autre primitive $G$ est définie par
$G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel. Comme $G(x_0)=y_0$ équivaut à $k=y_0-F(x_0)$. La
fonction définie par $G(x)=F(x)+y_0-F(x_0)$ répond au problème. La valeur de $k$ est
unique d'où le résultat.
\end{preuve}
\fi
%=======================================================================
\exo{}
$f$ est la fonction définie sur $R$ par $f(x)=\cos x$. Déterminez la primitve de $f$ qui s'annule en $\frac{\pi}{6}$.
%=======================================================================
\subsection{Techniques de calculs de primitives}
\subsubsection{Primitives de fonctions usuelles}
Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants déjà mis en place dans les exemples précédents~:
\begin{itemize}
\itemm Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors
$F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
\itemm Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un
réel, alors $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$.
\end{itemize}
De même, les résultats connus sur les dérivées des fonctions usuelles donnent "par lecture inverse" le tableau suivant~:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace{1cm} fonction $f$ \hspace{1cm} &\hspace{1cm} primitive $F$
\hspace{1cm} & \hspace{1cm}sur l'intervalle $I=...$ \hspace{1cm}\\
\hline
$a$ (constante) & $ax$ & $\R$ \\
\hline
$x^{\alpha}$ ($\alpha \not= -1$) & $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ & $\R$ si $\alpha \geq 0$,
$\R_{+}^{*}$ ou $\R_{-}^{*}$ si $\alpha < -1$.\\
\hline
$\frac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}$ & $\into{0}{+\infty}$\\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $\ln x$ & $\into{0}{+\infty}$\\
\hline
% $e^{x}$ & $e^{x}$ & $\R$ \\
% \hline
$\sin x$ & $-\cos x$ & $\R$ \\
\hline
$\cos x$ & $\sin x$ & $\R$ \\
\hline
$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ & $\tan x$ & $\into{-\frac{\pi}{2}+k\pi}
{\frac{\pi}{2}+k\pi} (k \in \Z)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{Formules générales}
Le tableau suivant résume divers cas d'exploitation de la dérivée d'une fonction composée pour l'expression d'une primitive.\\
Dans chaque cas, $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace{1cm} fonction $f$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} primitive $F$
\hspace{1cm} & \hspace{1cm} remarques \hspace{1cm} \\
\hline
$u'u^{\alpha}$ ($\alpha \not= -1$) & $\frac{1}{n+1}u^{\alpha +1}$ &
Lorsque $\alpha <-1$ alors $u$ ne doit pas s'annuler.\\
\hline
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $u>0$ sur $I$\\
% \hline
% $\frac{u'}{u}$ & $\ln \vert u \vert$ & $u>0$ ou $u>0$ sur $I$\\
% \hline
% $u'e^u$ & $e^u$ & \\
\hline
$x \longmapsto u(ax+b)$ ($a \not=0$) & $x \longmapsto \frac{1}{a}U(ax+b)$ &
$U$ primitve de $u$ sur $I$. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 11 janvier 2005 (0.08s - 3643099 - 16 octobre 2008)
