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\chapter{Réduction des endomorphismes et des matrices}
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\minitoc
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\section{Sous-espaces vectoriels stables}
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\subsection{Généralités}
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\begin{Df}[Sous-espace vectoriel stable]\alaligne

        Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de
$E$; un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit \emph{stable
pour $u$} si, et seulement si, $u(F)$ est inclus dans~$F$.
\Reponse{$
\text{$F$ est stable pour $u$}\iff\qqs \vc x,\ \vc x\in F\implique
u(\vc x)\in F  
$}
\end{Df}

\begin{Prop}[Stabilité et famille génératrice]\alaligne

        $F$ est un sous-espace vectoriel stable pour
$u$ si, et seulement si, l'image par $u$ d'une famille génératrice de
$F$ est contenue dans $F$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        La condition nécessaire est évidente : les éléments d'une famille génératrice
de $F$ sont des éléments particuliers de $F$.

        Si $\puple{\vc f}$ engendre $F$, alors $(u(\vc f_1),\dots,u(\vc f_p)$ engendre
$u(F)$, grâce à la linéarité de $u$ :
$$
\vc x=\sum_{j=1}^p \lambda_j \vc f_j\in F\implique
u(\vc x)=\sum_{j=1}^p \lambda_j u(\vc f_j)\in u(F)
$$
ce qui donne la condition suffisante
\end{proof}
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\begin{Prop}[Application induite sur un sous-espace vectoriel stable]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme de $E$ et $F$ un sous-espace
vectoriel stable pour $u$, l'application $v : \vc x\in F\mapsto u(\vc x)$
induite par $u$ sur $F$, est un endomorphisme de $F$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        L'application $v$ est à valeurs dans $F$ et est linéaire puisque $u$
l'est.
\end{proof}
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\begin{Th}[Stabilité de l'image et du noyau]\alaligne

        Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes de $E$ qui
\emph{commutent}, $\im u$ et $\ker u$ sont stables par $v$.
\end{Th}

\begin{proof}
        Soit $\vc y=u(\vc x)$ un vecteur quelconque de $\im u$, son
image par $v$, $v(\vc y)=v\bigl(u(\vc x)\bigr)=
u\bigl(v(\vc x)\bigr)$ reste dans $\im u$.

        Si $\vc x$ est élément de $\ker u$, alors $u\bigl(v(\vc
x)\bigr)=v\bigl(u(\vc x)\bigr)=v(\vc 0)=\vc 0$, et $v(\vc x)$ reste dans
$\ker u$. 
\end{proof}
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\subsection{Cas de la dimension finie}
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$E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$;
rappelons que si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension
$p$, toute base de $E$ dont les $p$ premiers vecteurs constituent
une base de $F$, est appelée \emph{base de $E$ adaptée} à $F$. Le
théorème de la base incomplète montre l'existence de telle base.

\begin{Th}[Caractérisation des sous-espaces vectoriels stables]\alaligne

        Soient $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, $\mcal{B}$ une
base de $E$ adaptée à $F$ et $u$ un endomorphisme de $E$; alors
$F$ est stable pour $u$ si, et seulement si, la matrice de $u$
relativement à $\mcal{B}$ est triangulaire supérieure par blocs, soit
$$
\mat(u)=
\begin{pmatrix}
A       &       \vdots  &       B       \\      \hdotsfor{3}    \\      0       &       \vdots  &       C
\end{pmatrix}
$$
\end{Th}

\begin{proof}
        Soit $\mcal{B}=(\vc e_i,\ldots,\vc e_p,\vc e_{p+1},\ldots,\vc
e_n)$ une base de $E$ telle que les $p$ premiers vecteurs $\puple{\vc
e}$ constituent une base
de $F$; $F$ est stable par $u$ si, et seulement si, pour tout
$j\in\Intf1p$, $u(\vc e_j)$ est dans $F$. Or, $u(\vc
e_j)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\vc e_i$ appartient à $F$ si, et
seulement si, $a_{i,j}=0$ pour $i>p$, \ie{} si, et seulement si, les $p$
premières colonnes de la matrice de $u$ ont des 0 à partir de la
ligne $(p+1)$. 
\end{proof}
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\subsection{Généralisation}
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        Si $E=\Somdir_{i=1}^p F_i$, et si $\mcal{B}_j$ est une base de $F_j$,
$\mcal{B}=\Union_{j=1}^p\mcal{B}_j$ est une base de $E$
\emph{adaptée} à cette décomposition en somme directe.

\begin{Th}
        Soient $E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension finie,
$F_1$,\ldots, $F_p$ des sous-espaces vectoriels dont $E$
est la somme directe, $\mcal{B}$ une base de $E$ adaptée à cette
décomposition et $u$ un endomorphisme de $E$; alors $u$ stabilise
les sous-espaces $F_j$ si, et seulement si, la matrice de $u$
relativement à $\mcal{B}$ est diagonale par blocs, \ie
$$
\mat(u)=
\begin{pmatrix}
A_1     &       \vdots  &       0       &       \vdots  &       \cdots  &       \vdots  &       0       \\
0       &       \vdots  &       A_2     &       \vdots  &       \cdots  &       \vdots  &       0       \\
\hdotsfor{7}                                                                                                                                                            \\
0       &       \vdots  &       0       &       \vdots  &       \cdots  &       \vdots  &       A_p
\end{pmatrix}
$$
\end{Th}

        En appelant $u_j$ l'endomorphisme induit par $u$ sur le
sous-espace stable $F_j$, $A_j$ est la matrice de $u_j$
relativement à la base $\mcal{B}_j$ et
$$
\det u=\det A_1\times\cdots\times\det A_p=\det
u_1\times\cdots\times\det u_p
$$

        Si $\mcal{D}$ est une droite vectorielle, tout endomorphisme de $\mcal{D}$
est une homothétie; ainsi, si $\mcal{D}$ est une droite vectorielle de
$E$, stable pour $u$, l'endomorphisme de $\mcal{D}$ induit par $u$ est
une homothétie de $\mcal{D}$ ce qui donne le

\begin{Th}[Endomorphisme de matrice diagonale]\alaligne

        Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$,
$\mcal{B}=\nuple{\vc e}$ une base de $E$ et $u$ un endomorphisme
de $E$; alors, la matrice de $u$ dans $\mcal{B}$ est diagonale
si, et seulement si, pour tout $j\in\Intf1n$, la restriction
$u_j$ de $u$ à $\K\vc e_j$ est une homothétie.
\end{Th}

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\subsection{Drapeau}
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\begin{Df}[Drapeau]\alaligne

        Si $E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq1$,
un \emph{drapeau} est une suite $\nuple E$ de sous-espaces
vectoriels de $E$, croissante pour l'inclusion et telle que $\dim
E_k=k$.
\end{Df}
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        Soit $\mcal{B}=\nuple{\vc e}$ est une base de $E$; on définit
$E_k=\somdir_{i=1}^k\K\vc e_i$ le sous-espace vectoriel engendré
par les $k$ premiers vecteurs de $\mcal{B}$; la suite $\nuple E$
est un drapeau de $E$, c'est le \emph{drapeau associé} à $\mcal{B}$.

        Réciproquement, à tout drapeau $\nuple E$ de $E$, on associe une
base $\mcal{B}=\nuple{\vc e}$ de $E$ telle que
$E_k=\somdir_{i=1}^k\K\vc e_i$; c'est la \emph{base adaptée} au
drapeau $\nuple E$.

\begin{Th}[Endomorphisme de matrice triangulaire]\alaligne

        Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$,
$\nuple E$ un drapeau de $E$, $\mcal{B}$ une base adaptée à ce
drapeau et $u$ un endomorphisme de $E$; alors, $u$ stabilise les
$E_k$ si, et seulement si, la matrice de $u$ relativement à
$\mcal{B}$ est une matrice triangulaire supérieure.
\end{Th}
        
\begin{proof}
        Pour tout $k\in\Intf1n$, l'image de $E_k$ est contenue dans
$E_k$ si, et seulement si, $u(\vc e_k)$ est dans $E_k$. Si
$(a_{i,j})_i$ sont les composantes de $u(\vc e_j)$ dans~$\mcal{B}$,
$u(\vc e_k)$ appartient à $E_k$ si, et seulement si,
$a_{i,k}$ est nul pour $i>k$.
\end{proof}
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\section{Polynômes d'un endomorphisme}
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\subsection{Puissance d'un endomorphisme}
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\begin{Df}[Puissance d'un endomorphisme]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$, on
définit, par récurrence sur $k\in\N$, les puissances $k$\ieme{}
$u^k$ de $u$ en posant
$$
u^0=I_E
\quad\et\quad
\qqs k\in\N,\ u^{k+1}=u^k\circ u
$$
\end{Df}

\begin{Prop}
        Pour tout entier naturel $p$ et $q$, on a $u^p\circ u^q=u^q\circ
u^p=u^{p+q}$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Montrons que $u^p\circ u^q=u^{p+q}$ en effectuant une récurrence sur
$q$. La formule est vraie pour $q=0$ et
$$
u^p\circ u^{q+1}=u^p\circ(u^q\circ u)=(u^p\circ u^q)\circ
u=u^{p+q}\circ u=u^{p+q+1}
$$
La seconde égalité se montre en échangeant le rôle de $p$ et $q$.
\end{proof}
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\begin{NB}
        Les endomorphismes $u^p$ et $u^q$ commutent pour tout entier naturel $p$ et $q$.
\end{NB}

\begin{Prop}[Noyaux itérés]\alaligne\\
        Si $u$ est un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$,
\begin{prop}
        \item la suite $(\ker u^p)_p$ est croissante pour l'inclusion;
        \item si l'ensemble $\ens{p\in\N}{\ker u^p=\ker u^{p+1}}$ n'est pas vide,
                il possède un plus petit élément noté $i_u$, appelé
                \emph{indice} de $u$; dans ces conditions
                $$
                \qqs q\in\N,\ \ker u^{i_u+q}=\ker u^{i_u}\et
                \{\vc 0\}\varsubsetneq\ker u
                        \varsubsetneq\cdots\varsubsetneq\ker u^{i_u}
                $$
        \item si $E$ est de dimension finie $n\geq1$, l'existence de $i_u$
                est assurée et $i_u\leq n$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem
        L'implication $u^p(\vc x)=\vc0\implique \vc 0=u\bigl(u^p(\vc x)\bigr)=u^{p+1}(\vc x)$
vraie pour tout $p\in\N$ et tout $\vc x\in E$, montre l'inclusion
$\ker u^p\subset\ker u^{p+1}$.

        \monitem
        Remarquons que $\ker u^p=\ker u^{p+1}\implique\ker u^{p+1}=\ker
u^{p+2}$; il suffit de démontrer l'inclusion $\ker u^{p+2}\subset\ker u^{p+1}$.
Or, $\vc x\in\ker u^{p+2}$ s'écrit $\vc 0=u^{p+2}(\vc x)=u^{p+1}\bigl(u(\vc
x)\bigr)$, soit $u(\vc x)\in\ker u^{p+1}$; comme $\ker u^{p+1}=\ker u^p$, on
obtient $\vc 0=u^p\bigl(u(\vc x)\bigr)=u^{p+1}(\vc x)$ et $\vc x\in\ker u^{p+1}$.
Par récurrence sur $q$, on montre que $\ker u^p=\ker u^{p+q}$.

        Si l'ensemble $\ens{p\in\N}{\ker u^p=\ker u^{p+1}}$ n'est pas vide, il
contient un plus petit élément noté $i_u$. L'égalité $\ker u^{i_u}=\ker
u^{i_u+1}$ montre que pour tout $q\in\N$, $\ker u^{i_u}=\ker u^{i_u+q}$, et
puisque $i_u$ est le premier entier qui vérifie l'égalité $\ker u^p=\ker
u^{p+1}$, la suite $(\ker u^p)_{p\in\Intf0{i_u}}$ est strictement croissante
pour l'inclusion.

        \monitem
        Si la suite $(\ker u^p)_p$ est strictement croissante pour l'inclusion, la
suite $(\dim\ker u^p)_p$ des dimensions est strictement croissante; comme ces
dimensions sont majorées par $n$, la dimension de $E$, il y a contradiction;
l'existence de $i_u$ est donc assurée et $i_u\leq n$.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

        Un endomorphisme nilpotent $u$ possède un indice, il est donné par
$$
i_u=\inf\ens{p\in\N}{\ker u^p=E}=\inf\ens{p\in\N}{u^p=0}
$$

        La dérivation $\D$ de $\K[X]$ n'a pas d'indice; la suite des
noyaux itérés $(\ker \D^p)_p=(\K_{p-1}[X])_p$ n'est pas stationnaire.
\end{NBs}

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\subsection{Polynômes d'un endomorphisme ou d'une matrice}
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\begin{Df}[Polynôme d'un endomorphisme]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$ et
$P=a_0+a_1X+\cdots+a_pX^p$ un polynôme à coefficients dans $\K$, 
on pose
$$
P(u)=a_0I_E+a_1u+\cdots+a_pu^p
$$
$P(u)$ est un \emph{polynôme de l'endomorphisme} $u$.
\end{Df}
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\begin{Df}[Polynôme d'une matrice]\alaligne

        De même, si $M$ est une matrice carrée d'ordre $n$, on pose
$$
P(M)=a_0I_n+a_1M+\cdots+a_p M^p
$$
$P(M)$ est un \emph{polynôme de la matrice} $M$.
\end{Df}

\begin{NB}
        Rappelons qu'un polynôme $P$ peut s'écrire $P=\sum_i a_iX^i$ où
la suite $(a_i)_i$ est nulle à partir d'un certain rang; dans ces
conditions, $P(u)=\sum_i a_i u^i$ et $P(M)=\sum_i a_i M^i$.
\end{NB}

\begin{Prop}[Règles de calcul, cas des endomorphismes]\alaligne

        L'application $\vphi_u : P\in\K[X]\mapsto P(u)\in\LE$ est un
morphisme d'algèbre; en particulier
$$
\qqs u\in\LE,\ \qqs(P,Q)\in\K[X]^2, \quad
\bigl(PQ\bigr)(u)=P(u)\circ Q(u)
$$
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\noindent
$\vphi_u(\lambda P+\mu Q)=\sum_i(\lambda a_i+\mu b_i)u^i
        =\lambda\sum_ia_iu^i+\mu\sum_ib_i u^i
        =\lambda\vphi_u(P)+\mu\vphi_u(Q)$\\
$\vphi_u(1)=I_E$\\
        Quant à l'égalité $\vphi_u(PQ)=\vphi_u(P)\circ\vphi_u(Q)$, on
commence par la démontrer pour $Q=X^k$ :
$$
\vphi_u(PX^k)=\sum_ia_i u^{i+k}=\bigl(\sum_i a_iu^i\bigr)\circ u^k
=\vphi_u(P)\circ \vphi_u(X^k)
$$
puis dans le cas général $Q=\sum_kb_kX^k$ en utilisant la linéarité de $\vphi_u$ :
\begin{align*}
\vphi_u(PQ)
&=\vphi_u\Bigl(\sum_k b_k PX^k\Bigr)
        =\sum_k b_k\vphi_u(PX^k)
        =\sum_k b_k\vphi_u(P)\circ\vphi_u(X^k)                                                                                          \\
&       =\vphi_u(P)\circ\bigl(\sum_k b_k\vphi_u(X^k)\bigr)
        =\vphi_u(P)\circ \vphi_u(Q)
\end{align*}
\end{proof}
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\begin{Prop}[Règles de calcul, cas des matrices]\alaligne

        L'application $\vphi_M : P\in\K[X]\mapsto P(M)\in\MnK$ est un
morphisme d'algèbre; en particulier
$$
\qqs M\in\MnK,\ \qqs(P,Q)\in\K[X]^2, \quad
\bigl(PQ\bigr)(M)=P(M) Q(M)
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Même démonstration que précédemment.
\end{proof}
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Puisque $u^p$ commute avec $u^q$, les endomorphismes $u$ et
$P(u)$ commutent, ainsi que $P(u)$ et $Q(u)$, ce qui donne la

\begin{Prop}[$u$-stabilité de $\ker P(u)$ et de $\im P(u)$]\alaligne

        Pour tout polynôme $P$ à coefficients dans $\K$ et tout 
endomorphisme $u$ de $E$, $\im P(u)$ et $\ker P(u)$ sont stables par $u$.
\end{Prop}





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\section{Valeurs propres, vecteurs propres d'un endomorphisme}
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        $E$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension finie ou non et
$u$ un endomorphisme de $E$.

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\subsection{Droite stable par un endomorphisme}
%---------------------------------------------------------------------
        Si $u$ est un endomorphisme de $E$ et $\mcal{D}$ une droite
(vectorielle) stable pour $u$, $u\restr{\mcal{D}}$ est un
endomorphisme de $\mcal{D}$, donc une homothétie de $\mcal{D}$; il existe donc
un unique scalaire $\lambda$, dépendant de $\mcal{D}$,  tel que
$$
u\restr{\mcal{D}}=\lambda I_{\mcal{D}}\quad\text{\ie}\quad
\qqs\vc x\in \mcal{D},\ u(\vc x)=\lambda\vc x
$$

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\subsection{Vecteur propre}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Dfs}[Vecteur propre, valeur propre associée]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme de $E$, tout vecteur $\vc e$ non
nul qui dirige une droite vectorielle stable pour $u$ est appelé un
\emph{vecteur propre} de $u$.

        Le rapport de l'homothétie induite
par $u$ sur $\mcal{D}=\K\vc e$ est appelé \emph{valeur propre} associée
au vecteur propre $\vc e$.
\Reponse{$
\text{$\vc e\neq\vc 0$ est un vecteur propre pour $u$}
\iff\mcal{D}=\K\vc e\text{ est stable par $u$}
\iff\exists!\lambda\in\K,\ u(\vc e)=\lambda\vc e
$}
\end{Dfs}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}\alaligne

        La valeur propre associée à un vecteur propre est unique.

        Un vecteur non nul $\vc e$ est un vecteur propre si, et
seulement si, la famille $\bigl(\vc e,u(\vc e)\bigr)$ est une
famille liée.

        Si $\vc e$ est un vecteur propre pour $u$, tous les vecteurs non
nuls de la droite stable $\K\vc e$ sont des vecteurs propres pour
$u$ et sont associés à la même valeur propre. Remarquons donc que, si $\vc e$
est un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$, pour tout
$\alpha\in\K^*$, $\alpha\vc e$ est
encore un vecteur propre de $u$ associée à la même valeur propre $\lambda$.
\end{NBs}

\begin{Exs}\alaligne

        Tous les vecteurs non nuls de $E$ sont des vecteurs propres pour
$I_E$ associés à la valeur propre~1 (resp. des vecteurs propres pour $0_{\LE}$,
associés à la valeur propre 0).

        Les rotations vectorielles planes d'angle non nul
\textit{modulo\/} $\pi$, n'admettent aucun vecteur propre. Les
vecteurs propres des rotations vectorielles de l'espace d'angle non nul
\textit{modulo\/} $\pi$, sont les vecteurs non nuls de leur axe et sont associés
à la valeur propre 1, ce sont des vecteurs invariants.
\end{Exs}


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\subsection{Valeur propre}
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\begin{Dfs}[Valeur propre, spectre]\alaligne

        Soit $u$ est un endomorphisme de $E$; on appelle \emph{valeur
propre} de $u$, tout scalaire $\lambda$ tel qu'il existe un
vecteur $\vc x$ non nul de $E$ vérifiant $u(\vc x)=\lambda\vc x$.

        L'ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme $u$ est
appelé le \emph{spectre} de $u$ et noté $\sp u$.
\Reponse{$
\lambda\in\sp u\iff\exists\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc 0_E\et
u(\vc x)=\lambda\vc x
$}
\end{Dfs}

\begin{NB}
        Le vecteur $\vc x$ de la définition précédente est un vecteur
propre de $u$; il est dit associé à la valeur propre $\lambda$.
\end{NB}

\begin{Exs}\alaligne

        $\sp I_E=\{1\}$ et $\sp 0_{\LE}=\{0\}$.
        
        Le spectre d'une rotation plane d'angle non nul \textit{modulo\/}
$\pi$ est vide; celui d'une rotation de l'espace d'angle non nul
\textit{modulo\/} $\pi$ est $\{1\}$.
\end{Exs}

\begin{Prop}[Caractérisation des valeurs propres]\alaligne

        Si $u$ un endomorphisme de $E$, alors
$$
\lambda\in\sp u\iff\ker(u-\lambda I_E)\neq\{\vc 0_E\}\iff
u-\lambda I_E\text{ non injective}
$$
En particulier,
$$
0\in\sp u\iff u\text{ non injective}
$$

        Si $u$ est un automorphisme de $E$,
$\sp (u^{-1})=\ens{\lambda^{-1}}{\lambda\in\sp u}$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, il existe un vecteur (propre) non nul
$\vc x\in E$ tel que $u(\vc x)=\lambda\vc x$, égalité que l'on peut encore écrire
$\vc 0=u(\vc x)-\lambda\vc x=(u-\lambda I_E)(\vc x)$; ceci donne les équivalences
annoncées.

        Si $u$ est un automorphisme de $E$, toutes ses valeurs propres sont non
nulles; pour toute valeur propre $\lambda$ et
tout vecteur propre $\vc x$ associé, on a :
\begin{equation}
u(\vc x)=\lambda\vc x\iff \vc x=u^{-1}(\lambda\vc x)=\lambda u^{-1}(\vc x)\iff
\ra1\lambda\vc x=u^{-1}(\vc x)
\end{equation}
Ainsi $\lambda$ est valeur propre de $u$ si, et seulement si, $\lambda^{-1}$ et valeur
propre de $u^{-1}$ et $\sp (u^{-1})=\ens{\lambda^{-1}}{\lambda\in\sp u}$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Caractérisation de valeurs propres en dimension finie]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel de
dimension \emph{finie} $n$, alors
\begin{gather*}
\lambda\in \sp u\iff u-\lambda I_E \text{ non injective}
        \iff u-\lambda I_E \text{ non surjective}                                                                                                               \\
\rg(u-\lambda I_E)\leq n-1\iff\det(u-\lambda I_E)=0
\end{gather*}
et aussi
$$
\lambda\notin\sp u\iff(u-\lambda I_E)\text{ est inversible}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Rappelons la caractérisations des automorphismes d'un
$\K$-espace vectoriel de dimension \emph{finie} : si $v$ est un endomorphisme de
$E$, alors
$$
v\text{ est inversible}\iff v\text{ est injectif}\iff v\text{ est surjectif}
\iff\rg u=n\iff\det v\neq0
$$
Ces caractérisations sont appliquées à $v=u-\lambda I_E$.
\end{proof}
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\subsection{Sous-espace propre}
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\begin{Df}[Sous-espace propre]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme de $E$ et $\lambda$ une valeur
propre de $u$, le sous-espace vectoriel
\Reponse{$
E_\lambda(u)=\ker(u-\lambda I_E)=\ens{\vc x\in E}
{u(\vc x)=\lambda\vc x}
$}
est appelé \emph{sous-espace vectoriel propre} de $u$ associé à
$\lambda$.
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

        $E_\lambda(u)$ est constitué de $\vc 0_E$ et des vecteurs
propres de $u$ associés à $\lambda$. Si $\vc e$ est un vecteur
propre de $u$ associé à $\lambda$, la droite $\K\vc e$ est
contenue dans $E_\lambda(u)$.

        $E_0(u)=\ker u$ est le noyau de $u$.

        $E_1(u)=\ker(u-I_E)=\ens{\vc x\in E}{u(\vc x)=\vc x}$ est le
sous-espace des vecteurs de $E$ invariants par~$u$.
\end{NBs}

\begin{Exs}
        Voici les éléments propres de quelques endomorphismes :

\begin{itemize}

        \item homothétie $h=\lambda I_E$ : $\sp h=\{\lambda\}$,
$E_\lambda(h)=E$;

        \item projecteur $p$ : $\sp p=\{0,1\}$, $E_0(p)=\ker p$ et
$E_1(p)=\im p$;

        \item symétrie $s$ : $\sp s=\{-1,1\}$, $E_{-1}(s)=F_1$ et
$E_1(s)=F_2$;

        \item affinité $a$ : $\sp a=\{1,\lambda\}$, $E_1(a)=F_1$ et
$E_\lambda(a)=F_2$. 
\end{itemize}
\end{Exs}

\begin{Prop}[Stabilité des sous-espaces vectoriels propres]\alaligne

        Si les endomorphismes $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace
vectoriel propre relativement à $u$ est stable par $v$ et réciproquement.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Puisque $u$ et $v$ commutent, $u-\lambda I_E$ et $v$ commutent,
et donc, $\ker(u-\lambda I_E)=E_\lambda(u)$ est stable par $v$. De même
$\ker(v-\lambda I_E)=E_\lambda(v)$ est stable par $u$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Somme directe de sous-espaces propres]\alaligne

        La somme d'une famille finie de sous-espaces propres associés à
des valeurs propres distinctes deux à deux, est directe.
\end{Th}

\begin{proof}
        Démonstration par récurrence sur le nombre $k$ de sous-espaces vectoriels
propres.

        $E_{\lambda_1}(u)\inter E_{\lambda_2}(u)=\{\vc 0\}$ car à tout vecteur propre
est associé une seule valeur propre. La propriété est vraie pour $k=2$.

        Soient $(\lambda_1,\dots,\lambda_k,\lambda_{k+1})$ $(k+1)$ valeurs propres distinctes de
$u$ et montrons que $E_{\lambda_{k+1}}(u)\cap \sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}(u)
=\{\vc 0_E\}$.
        Soit $\vc x_{k+1}=\sum_{i=1}^k\vc x_i
\in E_{\lambda_{k+1}}(u)\cap \sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}(u)$; alors
\begin{align*}
u(\vc x_{k+1})
&=      \lambda_{k+1}\vc x_{k+1}=\lambda_{k+1}\sum_{i=1}^k \vc x_i                  \\
&=      u\Bigl(\sum_{i=1}^k \vc x_i\Bigr)=\sum_{i=1}^k u(\vc x_i)
                        =\sum_{i=1}^k \lambda_i\vc x_i                                                                                                          \\
\text{ donc } \vc 0
&=\sum_{i=1}^k(\lambda_{k+1}-\lambda_i)\vc x_i
\end{align*}
ce qui montre que $(\lambda_{k+1}-\lambda_i)\vc x_i=\vc 0$ puisque
la somme $\sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}(u)$ est directe (la propriété est vraie au
rang $k$, puisque les valeurs propres sont distinctes deux à
deux) et $\vc x_i=\vc 0$ . Ainsi $\vc x_{k+1}=\vc 0$ et la propriété est vraie
au rang $k+1$.

        Le théorème de récurrence montre que la propriété est vraie
pour tout $k$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Liberté d'une famille de vecteurs propres]\alaligne

        Toute famille de vecteurs propres, associés à des valeurs
distinctes deux à deux, est une famille libre.
\end{Cor}


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\subsection{Éléments propres et polynôme d'endomorphisme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Éléments propres d'un polynôme d'endomorphisme]\alaligne

        Si $\vc x$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$, pour
tout polynôme $P$, $\vc x$ est un vecteur propre de $P(u)$
associé à $P(\lambda)$.
\end{Th}

\begin{proof}
        $\vc x$ est non nul et
$$
u(\vc x)=\lambda\vc x\implique u^k(\vc x)=\lambda^k\vc x \text{
(par récurrence sur $k$)}
$$
Si $P=\sum_k a_k X^k$, on a :
$$
P(u)(\vc x)=\Bigl(\sum_k a_k u^k\Bigr)(\vc x)=\sum_k a_k u^k(\vc x)
=\sum_ka_k\lambda^k\vc x=P(\lambda)\vc x
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Valeur propre et polynôme annulateur]\alaligne

        Si $P$ est un polynôme annulateur pour $u$, les valeurs propres
de $u$ sont \emph{des} racines de $P$.
\end{Cor}

\begin{proof}
        Si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, $P(\lambda)$ est une
valeur propre de $P(u)=0_{\LE}$. Or, 0 est la seule valeur propre de
$0_{\LE}$, d'où $P(\lambda)=0$ et $\lambda$ est racine de $P$.
\end{proof}


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\subsection{Éléments propres et automorphismes intérieurs}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[]\mbox{}
        Si $a\in\GLE$ est un automorphisme de $E$, l'application
$\vphi_a : u \mapsto aua^{-1}$
est un morphisme bijectif de l'algèbre $\LE$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        La notation $\circ$ pour la composition des endomorphismes a
été remplacée par une notation multiplicative, \ie{} par une
absence de notation. Il nous faut vérifier un certain nombre de
propriétés :

\begin{itemize}
        \item $\vphi_a(u+v)=a(u+v)a^{-1}=aua^{-1}+ava^{-1}
                =\vphi_a(u)+\vphi_a(v)$;
        \item $\vphi_a(\lambda u)=a(\lambda u)a^{-1}=\lambda aua^{-1}
                =\lambda\vphi_a(u)$;
        \item $\vphi_a(u\circ v)=auva^{-1}=(aua^{-1})(ava^{-1})
                =\vphi_a(u)\circ\vphi_a(v)$;
        \item $\vphi_a(I_E)=aI_E\,a^{-1}=I_E$;
        \item $\vphi_a(u)=aua^{-1}=v\iff u=a^{-1}va=\vphi_{a^{-1}}(v)$,
                soit $(\vphi_a)^{-1}=\vphi_{a^{-1}}$.
\end{itemize}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Automorphismes intérieurs]\alaligne

        Les automorphismes de~$\LE$ de la forme $u\mapsto aua^{-1}$
sont appelés \emph{automorphismes intérieurs} de~$\LE$.
\end{Df}

\begin{Th}[]\mbox{}
        Si $u$ est un endomorphisme et $a$ un automorphisme de~$E$, alors
$$
\sp u=\sp(aua^{-1})\et E_\lambda(aua^{-1})=a\bigl(E_\lambda(u)\bigr)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
        Considérons $\lambda$ une valeur propre de $u$ et $\vc x$ un
vecteur propre associé; posons $\vc y=a(\vc x)$, ce qui revient à
$\vc x=a^{-1}(\vc y)$. Ainsi
$$
u(\vc x)=\lambda\vc x\iff u\bigl(a^{-1}(\vc y)\bigr)
        =\lambda a^{-1}(\vc y)=a^{-1}(\lambda\vc y)
\iff aua^{-1}(\vc y)=\lambda\vc y
$$
ce qui montre que $\lambda$ est une valeur propre de $u$ et $\vc x$ un vecteur
propre associé, si, et seulement si, $\lambda$ est une valeur propre de $aua^{-1}$
et $\vc y=a(\vc x)$ un vecteur propre associé. Ainsi
$$
\sp u=\sp(aua^{-1})\quad\et\quad
a\bigl(E_\lambda(u)\bigr)=E_\lambda(aua^{-1}) 
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Valeurs propres, vecteurs propres d'une matrice carrée}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

        Dans ce paragraphe, $M$ est une matrice carrée d'ordre
$n\geq1$, à coefficients dans $\K$.

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\subsection{Éléments propres d'une matrice carrée}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Vecteur propre d'une matrice carrée]\alaligne

        Un élément non nul $X$ de $\Mnp[n,1]{\K}$ est appelé \emph{vecteur
propre} de $M$ s'il existe un scalaire $\lambda$ tel que
$MX=\lambda X$.\\
Ce scalaire est unique; on l'appelle valeur propre associée à $X$.
\end{Df}

\begin{Df}[Valeur propre d'une matrice carrée]\alaligne

        Un scalaire $\lambda$ est une
\emph{valeur propre} de $M$ si $M-\lambda I_n$ n'est pas
inversible; tout élément non nul de $\ker(M-\lambda I_n)$ est
appelé vecteur propre associé à $\lambda$.
\end{Df}

\begin{Df}[Sous-espace vectoriel propre d'une matrice carrée]\alaligne

        Si $\lambda$ est une valeur propre de $M$, le sous-espace
vectoriel $\ker(M-\lambda I_n)=\ens{X\in\Mnp[n,1]{\K}}{MX=\lambda X}$
est appelé \emph{sous-espace vectoriel propre} associé à
$\lambda$; il est noté $E_\lambda(M)$.
\end{Df}

\begin{Df}[Spectre d'une matrice carrée]\alaligne

        L'ensemble des valeurs propres de $M$ est le \emph{spectre} de
$M$; il est noté $\sp_\K M$ ou $\sp M$ si le corps n'est pas ambigu.
$$
\sp_\K M=\ens{\lambda\in\K}{M-\lambda I_n\notin\GLnK}
$$
\end{Df}

\begin{NB}
        Rappelons les équivalences pour une matrice carrée
\begin{gather*}
\lambda\in\sp_\K M\iff M-\lambda I_n\notin\GLnK
        \iff\det(M-\lambda I_n)=0                                                                                                                                                                               \\
\iff\ker(M-\lambda I_n)\neq\{0\}\iff\rg(M-\lambda I_n)\leq n-1
\end{gather*}
\end{NB}

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\subsection{Lien avec les endomorphismes}
%---------------------------------------------------------------------

        À la matrice $M$, on associe l'endomorphisme $u_M$ de $\Mnp[n,1]{\K}$ par
la formule
$$
u_M : X\in\Mnp[n,1]{\K}\mapsto MX
$$
ce qui donne la

\begin{Prop}[Éléments propres d'une matrice et de son endomorphisme]\alaligne

        Les éléments propres de la matrice $M$ sont les élément propres de
l'endomorphisme $u_M$ associé.
\end{Prop}

        Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$,
$\mcal{B}$ une base de $E$, $u$ un endomorphisme de $E$ et $M$ sa
matrice relativement à $\mcal{B}$. Si $\vc x$, vecteur de $E$,
est de matrice $X$ relativement à $\mcal{B}$, $u(\vc x)$ est de
matrice $MX$ relativement à $\mcal{B}$; d'autre part, $\vc x$ et $X$ sont
simultanément nuls ou non, et
$$
u(\vc x)=\lambda \vc x\iff MX=\lambda X
$$
ce qui montre le 
\begin{Th}[Éléments propres d'un endomorphisme et de sa matrice]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme de $E$ et $M=\mat(u)$ sa matrice relativement
à une base $\mcal{B}$, alors :
\begin{prop}
        \item $u$ et $M$ ont le même spectre;
        \item $\vc x$ est vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$ si,
et seulement si, sa matrice $X=\mat(\vc x)$ relativement à $\mcal{B}$ est
vecteur propre de $M$ associé à $\lambda$.
\end{prop}
\end{Th}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Cas de deux matrices semblables}
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        Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables d'ordre $n$, et $P$ une
matrice inversible telle que $B=P^{-1}AP$; à~$A$ est associé
l'endomorphisme $u_A$ de $\Mnp[n,1]{\K}$. La matrice $P$ peut s'interpréter
comme la matrice de passage de la base naturelle (canonique) $\mcal{E}$ de
$\Mnp[n,1]{\K}$ à une base
$\mcal{B}$ constituée des vecteurs colonnes de $P$. Relativement
à cette base, la matrice de $u_A$ est $B$, d'où le

\begin{Th}[Matrices semblables et endomorphisme]\alaligne

        Deux matrices sont semblables si, et seulement si, elles
représentent le même endomorphisme (relativement à deux bases).
\end{Th}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}[Spectre de deux matrices semblables]\alaligne

        Deux matrices semblables ont le même spectre.
\end{Cor}

\begin{proof}
        C'est le spectre de l'unique endomorphisme qu'elle représente.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


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\subsection{Cas des matrices réelles}
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        Une matrice à coefficients réels est aussi
une matrice à coefficients complexes. La notion de valeur
propre dépend du corps envisagé et on se gardera de  confondre
$\sp_\R M$ et $\sp_\C M$; mais on a le

\begin{Th}[Spectres réel et complexe d'une matrice réelle]\alaligne

        Si $M$ est une matrice à coefficients réels, $\sp_\R M$ est
contenue dans $\sp_\C M$; en général, les deux spectres sont
distincts.
\end{Th}

\begin{proof}
        Si $\lambda$ est un élément de $\sp_\R M$ et $X$ un vecteur propre
associé, alors $MX=\lambda X$, $X$ est non nul et appartient à
$\Mnp[1,n]{\R}$ donc à $\Mnp[1,n]{\C}$; ainsi $\lambda$ appartient à $\sp_\C M$.

        Considérons la rotation plane d'angle $\pi/2$; sa
matrice, dans une base orthonormale directe, est
$A=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ et
$\sp_\R A$ est vide puisque cette rotation n'admet aucune droite
stable. Par contre, $\ii$ est une valeur propre complexe de $A$,
puisque $A-\ii I_2=
\bigl(\begin{smallmatrix}-\ii&-1\\1&-\ii\end{smallmatrix}\bigr)$
n'est pas inversible.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Valeur propre, vecteur propre, conjugaison]\alaligne

        Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$ et à coefficients complexes;
si $X$ est un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre
$\lambda$, $\conjug X$ est un vecteur propre de $\conjug M$
associé à la valeur propre $\conjug\lambda$, et
$$
\sp_\C(\conjug M)=\ens{\conjug\lambda}{\lambda\in\sp M},\qquad
E_{\conjug\lambda}(\conjug M)=\ens{\conjug X}{X\in E_\lambda(M)}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Rappelons la relation $\conjug{A\,B}=\conjug A\;\conjug B$ pour
$A\in\Mnp{\C}$ et $B\in\Mnp[p,q]{\C}$. Ainsi on a l'équivalence
$$
MX=\lambda X\iff\conjug M\;\conjug X=\conjug\lambda\;\conjug X
$$
ce qui donne les résultats annoncés.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Valeur propre complexe non réelle d'une matrice réelle]\alaligne

        Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n\geq 2$ et à coefficients
\emph{réels}; si $\lambda$ est une valeur propre complexe \emph{non
réelle} de $M$ et $X$ un vecteur propre à coefficients complexes associé à
$\lambda$, alors :

\begin{prop}

        \item $\conjug\lambda$ est une valeur propre de $M$ et $\conjug
X$ un vecteur propre associé à $\conjug\lambda$;
                
        \item le plan $(\mcal{P})$ orienté par $(\IM X,\RE X)$ est un
plan stable pour $M$, et $M$ induit sur $(\mcal{P})$ la
similitude de rapport $\abs\lambda$ et d'angle $\arg\lambda$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $M$ est une matrice réelle, alors $\conjug M=M$, et
$$
MX=\lambda X\implique \conjug M\;\conjug X=M\conjug
X=\conjug\lambda\;\conjug X
$$
        
        \monitem Puisque $\lambda=a+\ii b$ n'est pas réel,
$\conjug\lambda\neq\lambda$ et la famille $\mcal{B}=(X,\conjug X)$ est libre
(vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes).
Les formules
\begin{gather*}
\RE X=\ra12(X+\conjug X),\qquad\IM X=\ra1{2\ii}(X-\conjug X)                                                    \\
X=\RE X +\ii\IM X,\qquad \conjug X=\RE X-\ii\IM X       
\end{gather*}
montrent que la famille $\mcal{C}=(\IM X,\RE X)$ est aussi une
famille libre (sur $\C$, donc sur $\R$). Séparant les parties
réelle et imaginaire, on obtient
\begin{align*}
MX      &       =       M\RE X+\ii M\IM X                                                                                                                                                                                               \\
                &       =       \lambda X=(a+\ii b)(\RE X+\ii\IM X)                                                                                                                             \\
                &       =       (a\RE X-b\IM X)+\ii(b\RE X+a\IM X)
\end{align*}
En appelant $s$ l'endomorphisme induit sur le plan $(\mcal{P})$
par $M$, $\mat[C](s)=\bigl(\begin{smallmatrix}a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\bigr)$,
ce qui est la matrice de la similitude de rapport (complexe) $a+\ii b=\lambda$,
\ie{} le produit de l'homothétie de rapport $\abs{\lambda}$ et de la rotation
d'angle $\arg\lambda$.
\end{demprop}
\end{proof}
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\section{Polynôme caractéristique}
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\subsection{Définitions}
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\subsubsection{Polynôme caractéristique d'une matrice carrée}

        Si $M$ est une matrice carrée d'ordre $n\geq1$ à coefficients dans
$\K$, $M-XI_n$ est une matrice à coefficients dans $\K[X]$ sous-anneau du corps
$\K(X)$ des fractions rationnelles. Le déterminant de $M-XI_n$ est 
polynomial en les coefficients de cette matrice, il est donc
élément de $\K[X]$, ce qui permet la

\begin{Df}[Polynôme caractéristique d'une matrice carrée]\alaligne

        Si $M=[a_{i,j}]$ est une matrice carrée d'ordre $n\geq1$, le
\emph{polynôme caractéristique} de $M$, que l'on note $\chi_M$,
est le déterminant