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\chapter{Série entière}
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\minitoc
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\section{Introduction}
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  Comme toujours, $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $C$.

\begin{Dfs}[Série entière]\alaligne

  Une \emph{série entière}  de variable réelle (resp. complexe), est
une série de fonctions $\sum u_n$ particulière : les fonctions
$u_n$ sont des monômes $a_n z^n$ où $a_n$ est un nombre complexe
et $z$ un nombre réel (resp. complexe); on la note $\sum a_n
z^n$. En cas de convergence, la somme est notée :
\begin{equation}
  S : z\mapsto S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n
\end{equation}

  L'\emph{addition} des séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum
b_n z^n$ est la série entière $\sum(a_n+b_n)z^n$.

  Le \emph{produit} de la série entière $\sum a_n z^n$ par le
scalaire $\lambda\in\K$, est la série entière $\sum\lambda a_n
z^n$.

  Le \emph{produit de Cauchy} des séries entières $\sum a_p z^p$
et $\sum b_q z^q$ est la série entière $\sum c_n z^n$ où
\begin{equation}
  c_n=\sum_{p+q=n}a_p b_q=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n a_{n-k} b_k
\end{equation}

  Pour ces opérations, l'ensemble des séries entières est une
$\K$-algèbre commutative.
\end{Dfs}

\begin{Exs}\alaligne

\noindent
  La série géométrique
\begin{equation}
\qqs z\in\C,\ \abs{z}<1,\qquad
  \ra1{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\qquad
  \ra1{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^n,\qquad  
\end{equation}
La fonction exponentielle et ses copines
\begin{align}
\qqs z\in\C,&\quad& \exp z  &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\ra{z^n}{n!} &&  \\
  &&  \sin z  &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\ra{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &\quad
      \cos z  &=  1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ra{z^{2n}}{(2n)!}      \\
  &&  \sh z &=\sum_{n=0}^{\infty}\ra{z^{2n+1}}{(2n+1)!}         &\quad
      \ch z &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\ra{z^{2n}}{(2n)!}
\end{align}
La fonction logarithme (réel)
\begin{equation}
\qqs x\in\intof{-1}1,\qquad
  \ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \ra{x^{n+1}}{n+1}
          =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \ra{{}x^n}n
\end{equation}
La fonction puissance
\begin{equation}
\qqs\alpha\in\R\setminus\Z,\ \qqs x\in\into{-1}1,\qquad
(1+x)^\alpha=1+
  \sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\,\prod_{k=0}^{n-1}(\alpha-k)\biggr) \ra{x^n}{n!}
\end{equation}
\end{Exs}

\begin{NB}
  Jusqu'au \uppercase\expandafter{\romannumeral18}\ieme{}{} siècle, toutes les
fonctions étaient considérées comme des sommes de séries
entières : elles étaient \og développables en série entière\fg, même quand
ces développements n'étaient pas convergents au sens de la Spé!

  Ce n'est qu'avec les travaux des mathématiciens du
\uppercase\expandafter{\romannumeral19}\ieme{}{} siècle, que la notion de fonction est
apparue, ainsi que les notions de continuité, de dérivabilité\dots
\end{NB}

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\section{Rayon de convergence d'une série entière}
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\subsection{Généralités}
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\begin{Lem}[d'Abel]\alaligne

  Si la \emph{suite} $(\abs{a_n} r_0^n)_n$ est majorée, alors la série $\sum a_n
z^n$ converge absolument pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}<r_0$.
\end{Lem}

\begin{proof}
  Soit $M\in\R_+$ tel que pour tout $n\in\N$, $\abs{a_n}r_0^n\leq M$; alors
$$
\qqs n\in\N,\ \abs{a_n z^n}=\abs{a_n}\abs{z}^n=\abs{a_n}r_0^n \Bigl(\ra{\abs{z}}{r_0}\Bigr)^n
\leq M\Bigl(\ra{\abs{z}}{r_0}\Bigr)^n
$$
ce qui montre que $a_nz^n=\OO[\big]{(\abs{z}/r_0)^n}$.
$\sum\bigl(\abs{z}/r_0\bigr)^n$ est une série géométrique, de raison
positive et plus petite que 1 ($\abs{z}<r_0$), donc convergente; le théorème de
comparaison montre l'absolue convergence de $\sum a_n z^n$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  La convergence de la série $\sum a_n r_0^n$ implique la convergence vers 0 de la
\emph{suite} $(\abs{a_n} r_0^n)_n$ et entraîne le caractère borné de cette suite.
\end{NB}

\begin{Th}[Définition  du rayon de convergence]\alaligne

  Si $\sum a_n z^n$ est une série entière, l'ensemble $I=\ens{r\in\R_+}{\text{la série
$\sum\abs{a_n}r^n$ est convergente}}$ est un intervalle de $\R_+$ contenant 0.

  La borne supérieure de $I$ dans $\conjug{\R_+}=\R_+\union\{+\infty\}$ est
appelée \emph{rayon de convergence} de la série entière $\sum a_n z^n$ et notée
$R_a$ ou $R$, s'il n'y a pas d'ambiguïté.
\end{Th}

\begin{proof}
  Il est clair que $0\in I$ et, pour tout $r\in I$, le segment $\intf0r\subset
I$ grâce au théorème de comparaison :
$$
0\leq r'\leq r\implique \qqs n\in\N,\ \abs{a_n}{r'}^n\leq\abs{a_n}r^n
$$
la série $\sum\abs{a_n}{r'}^n$ converge puisque la série $\sum\abs{a_n}r^n$ est convergente.
\end{proof}
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\begin{Exs}\alaligne

\noindent
Si $a_n=n!$ pour tout $n\in\N$, $I=\{0\}$.\\
Si $a_n=1/n!$ pour tout $n\in\N$, $I=\R_+$.\\
Si $a_n=\rho^{-n}$ pour tout $n\in\N$, $I=\intfo0\rho$.\\
Si $a_n=(n+1)^{-2}\rho^{-n}$ pour tout $n\in\N$, $I=\intf0\rho$.\\
  Ceci montre que l'intervalle $I$ peut être des quatre types suivants :$\{0\}$, $\R_+$,
$\intfo0\rho$ ou $\intf0\rho$.
\end{Exs}

\begin{Th}[Caractérisation du rayon de convergence]\alaligne

  Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ est
caractérisé par
\begin{align*}
  \abs{z}<R_a &\implique\text{la \emph{série} $\textstyle\sum a_n z^n$ converge absolument;}\\
  \abs{z}>R_a &\implique\text{la \emph{suite} $(\abs{a_n}\abs{z}^n)_n$ n'est pas majorée et
la série $\textstyle\sum a_n z^n$ diverge grossièrement.}
\end{align*}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\abs{z_0}>R_a$; si la suite $(a_n z_0^n)_n$ est majorée, le lemme d'Abel
montre que la série $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $z\in\C$ tel
que $\abs{z}<\abs{z_0}$. Ainsi $I$ contient $\intfo0{\abs{z_0}}$ et $R_a=\sup
I\geq \abs{z_0}$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse faite.
\end{proof}
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\begin{NB}
  Chère lectrice, cher lecteur, vous êtes conviés à faire la plus grande
attention à la qualité stricte ou large des inégalités.
\end{NB}

\begin{Df}[Disque, intervalle ouverts de convergence]\alaligne

  Si $\sum a_n z^n$ est une série entière de variable complexe (resp. réelle) de
rayon de convergence $R_a>0$, le disque ouvert de centre 0 et de rayon $R_a$ est
appelé \emph{disque ouvert de convergence} et l'intervalle ouvert
$\into{-R_a}{R_a}$ est appelé \emph{intervalle ouvert de convergence}.
\end{Df}

  La série entière $\sum a_n z^n$ converge absolument en tout point $z$ de son
disque (resp. intervalle) ouvert de convergence. En tout point $z$ extérieur,
\ie{} en tout point $z$ tel que $\abs{z}>R_a$, la suite $(a_n z^n)_n$ n'est pas
majorée et la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement. On ne peut rien dire,
en général, de la nature de la série $\sum a_n z^n$ en tout point $z$ de module
$R_a$; c'est pourquoi le cercle de centre 0 et de rayon $R_a$ est appelé
\emph{cercle d'incertitude}.

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\subsection{Calcul du rayon de convergence}
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\begin{Th}[Détermination du rayon de convergence]\alaligne

  Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ est la borne
supérieure de l'un des intervalles suivants :
\begin{align*}
E & = \ens{r\in\R_+}{\text{la suite $(a_n r^n)_n$ est majorée}}\\
F & = \ens{r\in\R_+}{\text{la suite $(a_n r^n)_n$ admet 0 pour limite}}\\
G & = \ens{r\in\R_+}{\text{la série $\textstyle\sum a_n r^n$ converge}}\\
I & = \ens{r\in\R_+}{\text{la série $\textstyle\sum \abs{a_n}r^n$ converge}}\\
\end{align*}
\end{Th}

\begin{proof}
  Les inclusions $I\subset G\subset F\subset E$ sont évidentes et donnent les
inégalités :
$$
\sup I\leq\sup G\leq\sup F\leq\sup E
$$

  Reste à montrer l'inégalité $\sup E\leq\sup I$; pour cela montrons l'implication
$$
r<\sup E\implique r\in I\qquad
\text{soit }\intfo0{\sup E}\subset I
$$
Si $r<\sup E$, la suite $(\abs{a_n}r^n)_n$ est une suite majorée et le lemme
d'Abel montre que $r\in I$. Ainsi, $\intfo0{\sup E}\subset I$ et $\sup
E=\sup\intfo0{\sup E}\leq\sup I$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Si la série $\sum a_n z_0^n$ est convergente, alors $R_a\geq\abs{z_0}$.

  Si la série $\sum a_n z_0^n$ est divergente, alors $R_a\leq\abs{z_0}$.
\end{NBs}

\begin{Th}[Rayon et critère de D'Alembert]\alaligne

  Soit $\sum a_n z^n$ une série entière telle que $a_n\neq0$ à partir d'un
certain rang; \emph{s'il existe} $\ell\in\intf0{+\infty}$ avec
$\lim_n\abs{a_{n+1}/a_n}\ell$, alors $R_a=1/\ell$
\Reponse{$\dsp
\lim_n\abs[\bigg]{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\text{ existe et vaut $\ell$}
\qquad\implique\qquad
R_a=\ra1\ell
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  La règle de D'Alembert donne pour $n$ assez grand :
$$
\ra{\abs{a_{n+1}z^{n+1}}}{\abs{a_nz^n}}=
\abs[\Big]{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\abs{z}\tend\ell\abs{z}
$$

  Si $\ell\abs{z}<1$, \ie{} si $\abs{z}<1/\ell$, la série $\sum a_n z^n$
converge absolument.
  Si $\ell\abs{z}>1$, \ie{} si $\abs{z}>1/\ell$, la suite $(\abs{a_n z^n})_n$
diverge vers $+\infty$ et la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement.
  Le théorème de caractérisation du rayon de convergence montre que $R_a=1/\ell$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ existe
toujours, ce qui n'est pas le cas de la limite de la suite
$\bigl(\abs{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\bigr)_n$; la série entière définie par $a_{2p}=2$ et
$a_{2p+1}=1$ en est un exemple : $R_a=1$ et la suite
$\bigl(\abs{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\bigr)_n$ n'a pas de limite.
\end{NB}

\begin{Th}[Comparaison de rayons de convergence]\alaligne

  Si $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont deux séries entières de rayons de
convergence respectifs $R_a$ et $R_b$, alors :
\begin{prop}
  \item $\bigl(\exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n>N\implique
\abs{a_n}\leq\abs{b_n}\bigr) \implique R_a\geq R_b$;
  \item $\bigl(\exists\alpha\in\R,\ a_n=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}\bigr) \implique
R_a\geq R_b$;
  \item $\bigl(\exists\alpha\in\R,\ \abs{a_n}\equivalent n^\alpha\abs{b_n}\bigr) \implique
R_a = R_b$;
  \item en particulier : $\abs{a_n}\equivalent\abs{b_n}\implique R_a=R_b$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  Comment démontrer que $R_a\geq R_b$? Le principe en est le suivant : on prend
$r<R_b$ (remarquer l'inégalité \emph{stricte} pour en déduire la convergence
absolue de la série $\sum b_n z^n$), on montre la convergence de
$\sum\abs{a_n}r^n$ et on en déduit que $r\leq R_a$. La démonstration consiste donc à
montrer l'inclusion $\intfo0{R_b}\subset\intf0{R_a}$.

\begin{demprop}
  \monitem  C'est un cas particulier de $(ii)$; mais le scribe, dans sa grande
bonté, peut en faire une démonstration directe : si $r<R_b$, la série
$\sum\abs{b_n}r^n$ est convergente; les inégalités $\abs{a_n}r^n\leq\abs{b_n}r^n$ pour $n>N$
montrent la convergence de la série $\sum \abs{a_n}r^n$, et donc $r\leq R_a$; ainsi
$\intfo0{R_b}\subset\intf0{R_a}$ et $R_b\leq R_a$.

  \monitem  Si $0\leq r<{r'}<R_b$, la série $\sum\abs{b_n}{r'}^n$ est convergente et la
suite $\bigl(\abs{b_n} {r'}^n\bigr)_n$, qui admet 0 pour limite, est majorée.

  Les conditions $r<{r'}$ et $\bigl(\abs{b_n} {r'}^n\bigr)_n$ majorée impliquent
$\abs{b_n}r^n=\abs{b_n {r'}^n\bigl(r/r'\bigr)^n}=\OO[\big]{(r/r')^n}$.

  D'autre part, $a_n=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}$ et $\abs{b_n}r^n=\OO[\big]{(r/r')^n}$ impliquent
$\abs{a_n}r^n = \OO[\big]{n^\alpha(r/r')^n}$; or, la série $\sum
n^\alpha\bigl(r/r'\bigr)^n$ est une série convergente : la règle de
D'Alembert donne $\ra{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}\bigl(r/r'\bigr)\tend
r/r'<1$. Ceci montre la convergence de la série $\sum\abs{a_n}r^n$ et\dots

  \monitem  $\exists\alpha\in\R,\ \abs{a_n}\equivalent n^\alpha\abs{b_n}$
implique $\exists\alpha\in\R,\ \exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n>N\implique
\ra12n^\alpha\abs{b_n} \leq\abs{a_n}\leq 2n^\alpha\abs{b_n}$; ainsi,
$\abs{a_n}=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}$ et
$\abs{b_n}=\OO[\big]{n^{-\alpha}\abs{a_n}}$, ce qui donne l'égalité annoncée.

  \monitem  la question précédente pour $\alpha=0$ donne le résultat.
\end{demprop}
\end{proof}
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\subsection{Opérations algébriques et rayon de convergence}
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\begin{Th}
  Si $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont deux séries entières de rayon de
convergence respectifs $R_a$ et $R_b$, alors :
\begin{prop}
  \item pour tout $\lambda\in\K^*$, le rayon de convergence de 
$\sum\lambda\,a_n z^n$ est $R_a$ et :
\begin{equation}
\qqs z\in\K,\ \abs{z}<R_a\implique
\sum_{n=0}^\infty\lambda\,a_n z^n=\lambda\sum_{n=0}^\infty a_n z^n 
\end{equation}

  \item le rayon de convergence $R_s$ de la série entière $\sum(a_n +b_n)z^n$
vérifie $R_s=\min(R_a,R_b)$ si $R_a\neq R_b$ et $R_s\geq R_a=R_b$ sinon, et :
\begin{equation}
\qqs z\in\K,\ \abs{z}<\min(R_a,R_b)\implique
\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)z^n=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n+\sum_{n=0}^\infty b_n z^n
\end{equation}

  \item le rayon de convergence $R_c$ de la série entière produit $\sum c_n z^n$ où
$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ vérifie $R_s\geq\min(R_a,R_b)$, et :
\begin{multline}
\qqs z\in\K,\ \abs{z}<\min(R_a,R_b)\implique      \\
\sum_{n=0}^\infty c_n z^n=\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\biggr)z^n
=\biggl(\sum_{p=0}^\infty a_p z^p\biggr)\times\biggl(\sum_{q=0}^\infty b_q z^q  \biggr)
\end{multline}

\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  Si $\lambda\in\K^*$, la suite $(\abs{a_n}r^n)_n$ est majorée si, et
seulement si, la suite $(\abs{\lambda a_n}r^n)_n$ l'est; ainsi le rayon vaut $R_a$;

  \monitem  si $\abs{z}<\min(R_a,R_b)$, les séries $\sum\abs{a_n}r^n$ et
$\sum\abs{b_n}r^n$ sont convergentes; la série $\sum(a_n+b_n)z^n$ est
(absolument) convergente, $\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)z^n=\sum_{n=0}^\infty a_n
z^n+\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ et $R_s\geq\min(R_a,R_b)$.

  Si les rayons $R_a$ et $R_b$ sont distincts, par exemple $R_a<R_b$, prenons
$r\in\into{R_a}{R_b}$; les inégalités
$\abs{a_n+b_n}r^n\geq\abs{a_n}r^n-\abs{b_n}r^n$ pour tout $n\in\N$, montrent que
la suite $\bigl(\abs{a_n+b_n}r^n\bigr)_n$ n'est pas majorée, et donc $R_s\leq
r$. Ainsi $\into{R_a}{R_b}\subset\intfo{R_s}{+\infty}$ et $R_s\leq
R_a=\min(R_a,R_b)$. L'égalité annoncée est donc démontrée.

  \monitem  Si $\abs{z}<\min(R_a,R_b)$, les séries entières $\sum a_n z^n$ et
$\sum b_n z^n$ sont absolument convergentes; la série produit (de Cauchy) l'est
aussi et l'on a :
$$
\sum_{n=0}^\infty c_n z^n=\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\biggr)z^n=
\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k z^k b_{n-k}z^{n-k}\biggr)=
\biggl(\sum_{p=0}^\infty a_p z^p\biggr)\times\biggl(\sum_{q=0}^\infty b_q z^q\biggr)
$$
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Si $R_a=R_b$, on peut avoir $R_s>R_a$ : il suffit de prendre $a_n=1$ et $b_n=-1$
pour tout $n$; dans ce cas $R_a=R_b=1$ (les séries sont géométriques) et
$R_s=+\infty$ (la série somme est la série nulle).

  Si $R_a=R_b$ et si $a_nb_n=0$ pour tout $n$ (on dit alors que les séries
entières sont \emph{disjointes}), alors $R_s=R_a=R_b$. Raisonnons par l'absurde;
si $R_s>R_a=R_b$, prenons $r\in\into{R_a}{R_s}$; dans ces conditions, la suite
$\bigl(\abs{a_n}r^n\bigr)_n$ n'est pas majorée, tandis que
$\bigl(\abs{a_n+b_n}r^n\bigr)_n$ l'est. Or,
$\abs{a_n}r^n\leq\bigl(\abs{a_n}+\abs{b_n}\bigr)r^n =\abs{a_n+b_n}r^n$, ce qui
est contradictoire.

  Ainsi, si les séries entières $\sum a_{2p+1}z^{2p+1}$ et $\sum a_{2p}z^{2p}$
ont le même rayon de convergence $R$, la série entière $\sum a_n z^n$ admet $R$
pour rayon de convergence.
\end{NBs}

\begin{Th}[Puissance de série géométrique]\alaligne

\Reponse{$\dps
\qqs p\in\N,\ \qqs z\in\C,\ \abs{z}<1 \implique
\ra1{(1-z)^{p+1}}=\sum_{n=0}^\infty \comb{n+p}{n}z^n=
\sum_{n=0}^\infty \comb{n+p}{p}z^n=\sum_{n=p}^\infty \comb{n}{p}z^{n-p}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
Par récurrence sur $p$.

  Pour $p=0$, la série géométrique donne le résultat :
$$
\ra1{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty \comb{n}{n}z^n
$$

  On suppose la formule vraie au rang $p-1$. Pour $\abs{z}<1$, les séries sont
absolument convergentes et le produit des séries donne :
$$
\ra1{(1-z)^{p+1}}=\ra1{(1-z)^{p}}\times\ra1{1-z}=
  \biggl(\sum_{k=0}\comb{k+p-1}{k}z^k\biggr)\times
  \biggl(\sum_{q=0}^\infty z^q\biggr)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n
$$
avec $c_n=\sum_{k=0}^n\comb{k+p-1}{k}$. Or,
$\comb{k+p-1}{k}=\comb{k+p}{k}-\comb{k-1+p}{k-1}$ pour $k\geq1$; ce qui donne,
par destruction de termes, $c_n=\comb{n+p}{n}$.
\end{proof}
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\section{Propriétés de la somme d'une série entière}
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  Dans cette section, on étudie les propriétés de la somme $S$ de la série
entière $\sum a_n z^n$ sur son disque ou son intervalle ouvert de convergence.
On supposera donc que le rayon de convergence $R_a$ est strictement positif et donc
$$
S : z\in\ens{z\in\C}{\abs{z}<R_a}\mapsto S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n
$$
ou
$$
S : x\in\into{-R_a}{R_a}\mapsto S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
$$

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\subsection{Continuité de la somme}
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\begin{Th}[Convergence normale]\alaligne

  Une série entière converge normalement, donc uniformément, sur tout disque
fermé \emph{strictement inclus} dans le disque ouvert de convergence.
\end{Th}

\begin{proof}
  Soient $R_a$ le rayon de convergence et $0\leq r<R_a$; les inégalités
\begin{equation}
\qqs n\in\N,\ \qqs z\in\C,\ \abs{z}\leq r\implique
\abs{a_n z^n}=\abs{a_n}\abs{z}^n\leq\abs{a_n}r^n=\alpha_n
\end{equation}
montrent que la série entière converge normalement sur le disque fermé de centre
$0$ et de rayon $r$, puisque $\alpha_n$ est le terme général d'une série
numérique convergente ($r<R_a$) indépendante de $z$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Dans le cas réel, la série entière $\sum a_n x^n$ converge normalement sur
tout \emph{segment} de l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}$.

  En général, il n'y a ni convergence normale, ni convergence uniforme sur le
disque ouvert ou l'intervalle ouvert de convergence. Donnons un contre-exemple :
la série géométrique $\sum z^n$ a un rayon $R=1$, $S(z)=(1-z)^{-1}$ pour
$\abs{z}<1$ et
$$
\abs[\big]{R_n(z)}=\abs[\big]{S(z)-S_n(z)}=\abs[\Big]{\sum_{k=n+1}^\infty z^k}=
\ra{\abs{z}^{n+1}}{\abs{1-z}}
\implique
\sup_{\abs{z}<1}\abs[\big]{R_n(z)}=+\infty
$$
\end{NBs}

\begin{Th}[Continuité de la somme]\alaligne

  La somme d'une série entière définit une fonction continue sur le disque
ouvert de convergence.  
\end{Th}

\begin{proof}
  Pour tout $n\in\N$, $z\mapsto a_n z^n$ est continue sur $\K$; la série entière 
converge uniformément sur tout disque fermé (strictement) inclus dans le disque
ouvert de convergence; sa somme est donc continue sur tous les disques fermés du
disque ouvert de convergence, donc continue sur ce disque ouvert de convergence
(la continuité est une propriété locale).
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Dans le cas réel, $S : x\mapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ est continue sur
l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}.$

  Si la série $\sum\abs{a_n}R_a^n$ est convergente, la série entière $\sum a_n
z^n$ converge normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R_a$,
puisque $\abs{z}\leq R_a$ implique $\abs{a_n z^n}\leq\abs{a_n}R_a^n$. La somme
$S$ est donc définie et continue sur le disque fermé $\{\abs{z}\leq R_a\}$.
\end{NBs}

\begin{Th}[Développement limité de la somme]\alaligne

  La somme d'une série entière admet un développement limité à tout ordre au
voisinage de~$z=0$.
\begin{equation}
  S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n=\sum_{k=0}^n a_k z^k +\oo{z^n}\qquad
\text{ au voisinage de $z=0$}
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  Pour tout $\abs{z}<R_a$, on peut écrire :
$$
S(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k+z^n\sum_{k=n+1}^\infty a_k z^{k-n}=
\sum_{k=0}^n a_k z^k+z^n\eps(z)
$$
Or, $\eps(z)=\sum_{k=n+1}^\infty a_k z^{k-n}=\sum_{p=1}^\infty a_{n+p} z^p$ est
la somme d'une série entière de rayon de convergence $R_a>0$. La fonction $\eps$ définit une
fonction continue sur le disque ouvert de convergence et $\lim_0\eps(z)=\eps(0)=0$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  On comprend maintenant le qualificatif de \og limité\fg{} que l'on adjoint au
terme de \og développement\fg{}. On comprend aussi pourquoi la connaissance des
développements limités des fonctions classiques permet de retrouver leur
développement en série entière.
\end{NB}


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\subsection{Intégration terme à terme}
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  Dans ce paragraphe, les séries entières possèdent une variable \emph{réelle}.

\begin{Th}[Intégration terme à terme de la somme]\alaligne

\begin{prop}
  \item Les séries entières $\sum a_n x^n$ et $\sum a_n x^n/(n+1)$ ont le
même rayon de convergence $R_a$;
  \item pour tout \emph{segment} $\intf\alpha\beta$ de $\into{-R_a}{R_a}$, on a :
\begin{equation}
\int_\alpha^\beta\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\,\dt=
\sum_{n=0}^\infty a_n \ra{t^{n+1}}{n+1}\Big\rvert_{t=\alpha}^{t=\beta}
\end{equation}
  \item pour tout $x\in\into{-R_a}{R_a}$, on a :
\begin{equation}
\int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\,\dt=\sum_{n=0}^\infty a_n\ra{x^{n+1}}{n+1}
\end{equation}
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  $a_n/(n+1)\equivalent n^{-1}a_n$, ce qui montre l'égalité des rayons;
  \monitem  la série $\sum a_n t^n$ converge normalement, donc uniformément, sur
tout \emph{segment} de l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}$; le
théorème d'intégration terme à terme des séries fait le reste;
  \monitem  ceci est un cas particulier de $(ii)$.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Exs}
  Pour $x\in\into{-1}{1}$, on peut écrire :

\noindent
$\ln(1+x)=\int_0^x(1+t)^{-1}\,\dt
=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\,\dt
=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{n+1}}{n+1}=
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\ra{x^n}{n}$
\Reponse{$\dps
\qqs x\in\into{-1}1,\ \ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{n+1}}{n+1}=
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\ra{x^n}{n}
$}
et $\arctan(x)=\int_0^x(1+t^2)^{-1}\,\dt
=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}\,\dt
=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{2n+1}}{2n+1}$
\Reponse{$\dps
\qqs x\in\into{-1}1,\ \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{2n+1}}{2n+1}
$}
\end{Exs}

\begin{NB}
  La première formule est encore vraie pour $x=1$, la seconde est vraie pour
$x=\pm1$; ce ne sont pas des conséquences directes du théorème précédent.

  N'oublions pas le théorème d'intégration terme à terme des séries sur un intervalle!
\end{NB}

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\subsection{Dérivation terme à terme}
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  Dans ce paragraphe, les variables des séries entières considérées sont \emph{réelles}.

\begin{Th}[Dérivation terme à terme de la somme]\alaligne

  Si $\sum a_n x^n$ est une série entière de rayon de convergence $R_a$, alors
\begin{prop}
  \item la série dérivée première $\sum _{n\geq1}na_n x^{n-1}=\sum_{q\geq0}(q+1)a_
{q+1}x^q$ a le même rayon de convergence $R_a$; la somme $S :
x\mapsto\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\into{-R_a}{R_a}$ et
\begin{equation}
  \qqs x\in\into{-R_a}{R_a},\ 
S'(x)=\ra{d}{dx}\biggl(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\biggr)
=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}=\sum_{q=0}(q+1)a_{q+1}x^q
\end{equation}

  \item la série dérivée $p$\ieme{}{}  $\sum _{n\geq p}n(n-1)\cdots(n-p+1)a_n x^{n-p}
=\sum_{n\geq0}\ra{(n+p)!}{n!}a_{n+p}x^n$ a le même rayon de convergence $R_a$; la
somme $S$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-R_a}{R_a}$ et
\begin{multline}
  \qqs p\in\N,\ \qqs x\in\into{-R_a}{R_a},          \\
S^{(p)}(x)=\ra{d^p}{dx^p}\biggl(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\biggr)=
\sum_{n=p}^\infty n(n-1)\cdots(n-p+1) a_n x^{n-p}=\sum_{q=0}\ra{(q+p)!}{q!}a_{q+p}x^q
\end{multline}

  \item en particulier :
\begin{equation}
  \qqs n\in\N,\ a_n=\ra{S^{(n)}(0)}{n!}
\end{equation}
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  La série $\sum a_n x^n$ est obtenue par intégration (terme à
terme) de la série entière $\sum n a_n x^{n-1}$; ces deux séries ont donc le
même rayon de convergence et
$$
\qqs x\in\into{-R_a}{R_a},\
S(x)-S(0)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty n a_n t^{n-1}\,dt
=\int_0^x S_1(t)\,dt
$$
Ainsi $S$ est une primitive sur $\into{-R_a}{R_a}$ de la fonction continue
$S_1$; $S$ est donc une fonction de classe $\mcal{C}^1$ et $S'=S_1$;
  \monitem  par récurrence sur $p$ en utilisant $(i)$;
  \monitem  on fait $x=0$ dans la formule $(ii)$.
\end{demprop}

\end{proof}
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\begin{NB}
  Les séries entières se dérivent et s'intègrent terme à terme sur l'intervalle
\emph{ouvert} de convergence $\into{-R_a}{R_a}$. Une dérivation ou une
intégration jusqu'au \emph{bord} de l'intervalle ne se justifie qu'en reprenant
les théorèmes \emph{généraux} de dérivation ou d'intégration des séries de fonctions.
\end{NB}
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\begin{Ex}
  De l'identité $(1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ pour $x\in\into{-1}{1}$, on
tire :
$$
\qqs x\in\into{-1}{1},\ \ra{d}{dx}\biggl(\ra1{1-x}\biggr)=\ra1{(1-x)^2}
=\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}=\sum_{q=0}^\infty (q+1) x^q
$$
et pour tout $p\in\N$ :
$$
\qqs x\in\into{-1}{1},\ \ra{d^p}{dx^p} \biggl(\ra1{1-x}\biggr)=\ra{p!}{(1-x)^{p+1}}
=\sum_{n=p}^\infty n(n-1)\cdots(n-p+1) x^{n-p}=\sum_{q=0}^\infty \ra{(q+p)!}{q!} x^q
$$
\end{Ex}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Unicité des coefficients d'une série entière]\alaligne

  Deux séries entières qui coïncident sur un voisinage de $0$ son identiques.
  
\begin{equation}
\biggl(\exists r>0,\ \qqs x\in\into{-r}{r},\
  \sum_{n=0}^\infty a_n x^n=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\biggr)
  \implique
  \biggl(\qqs n\in\N,\ a_n=b_n\biggr)
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soient $R=\min(R_a,R_b)$ et $f$ la fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-R}{R}$
définie par :
$$
f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n-\sum_{n=0}^\infty b_n x^n
=\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n) x^n
$$
$f$ est (identiquement) nulle sur $\into{-r}{r}$, toutes ses dérivées aussi; en
conséquence, pour tout $n\in\N$, $a_n-b_n=f^{(n)}(0)/n!=0$, soit
$a_n=b_n$.
\end{proof}
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\subsection{Sommation de séries entières}
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\subsubsection{$\sum P(n) x^n$ où $P$ est un polynôme.}
%----------------------------------------------------------------------

  Quel est le rayon de convergence? Si $P$ est de degré $d$,
$P(n)\equivalent\alpha_d n^d$ et $R=1$.
\\
  La somme est connue dans le cas où $P(n)=n(n-1)\cdots(n-k+1)$ : pour tout
$x\in\into{-1}1$, 
$$
\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^n
=x^k\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^{n-k}
=x^k\ra{k!}{(1-x)^{k+1}}
$$

  Dans le cas général, il suffit de décomposer le polynôme $P$ (supposé de degré
$d$) dans la base $\{1,X,X(X-1),\cdots,X(X-1)\cdots(X-d+1)\}$ de $\K_d[X]$
adaptée à la situation. 
\\
Si $P=\alpha_0+\sum_{k=1}^d \alpha_k X(X-1)\cdots(X-d+1)$, alors, pour tout
$x\in\into{-1}{1}$, 
$$
\sum_{n=0}^\infty P(n) x^n
=\alpha_0\sum_{n=0}^\infty x^n+
  \sum_{k=1}^d\alpha_k\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^n
=\sum_{k=0}^d\alpha_k x^k\ra{k!}{(1-x)^{k+1}}
$$
%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{$\sum P(n) x^n/n!$ où $P$ est un polynôme}
%----------------------------------------------------------------------

  Quel est le rayon de convergence? Si $P$ est de degré $d$,
$P(n)/n!\equivalent\alpha_d n^d/n!$ et $R=+\infty$.
\\
  Si $P(n)=n(n-1)\cdots(n-k+1)$, alors, pour $n\geq k$, $P(n)x^n/n!=x^n/(n-k)!$
et pour tout $x\in\R$, 
$$
\sum_{n=0}^\infty \ra{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} x^n
=x^k\sum_{n=k}^\infty \ra1{(n-k)!} x^{n-k}
=x^k\sum_{q=0}^\infty\ra1{q!}x^q=x^k\exp x
$$

  Dans le cas général, il suffit de décomposer le polynôme $P$ (supposé de degré
$d$) dans la base $\{1,X,X(X-1),\cdots,X(X-1)\cdots(X-d+1)\}$ de $\K_d[X]$
adaptée à la situation.
\\
  Si $P=\alpha_0+\sum_{k=1}^d \alpha_k X(X-1)\cdots(X-d+1)$, alors, pour tout
$x\in\R$, 
$$
\sum_{n=0}^\infty \ra{P(n)}{n!} x^n
=\alpha_0\sum_{n=0}^\infty \ra1{n!}x^n+
  \sum_{k=1}^d\alpha_k\sum_{n=0}^\infty \ra{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} x^n
=(\exp x)\sum_{k=0}^d\alpha_k x^k
$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonction développable en série entière}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  Dans cette section les variables des séries entières considérées sont
\emph{réelles}.

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\subsection{Un peu de vocabulaire}
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\begin{Dfs}[Fonction développable en série entière]\alaligne

  Une fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière sur l'intervalle
ouvert $\into{-r}{r}$} si, et seulement si, il existe une suite de nombres complexes
$\suite{a}\in\C^\N$ telle que
$$
\qqs x\in\into{-r}{r},\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
$$
\ie{} si, et seulement si, $f$ est la somme d'une série entière sur l'intervalle
$\into{-r}{r}$. La série entière $\sum a_n x^n$ est appelée \emph{le
développement en série entière} de la fonction $f$ sur l'intervalle $\into{-r}{r}$.

  La fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière au voisinage de
$x=0$} si, et seulement si, il existe un nombre $r_0>0$ tel que $f$ soit
développable en série entière sur l'intervalle $\into{-r_0}{r_0}$.

  La fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière au voisinage de
$x=x_0$} si, et seulement si, la fonction $g : u\mapsto f(x_0+u)$ est
développable en série entière au voisinage de $u=0$. Dans ce cas :
\begin{equation}
\exists r_{x_0}>0,\ \exists\suite a\in\C^\N,\
\qqs x\in\into{x_0-r_{x_0}}{x_0+r_{x_0}},\
f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n
\end{equation}
\end{Dfs}

\begin{Exs}\alaligne

  La fonction $x\mapsto(1-x)^{-1}$ est développable en série entière sur $\into{-1}1$ car
$$
\qqs x\in\into{-1}{1},\qquad
\ra1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n
$$

  La fonction $x\mapsto(1-x)^{-1}$ est développable en série entière au voisinage de
$x_0\neq 1$; posons $u=x-x_0$, alors :
$$
\ra1{1-x}=\ra1{1-(x_0+u)}=\ra1{1-x_0}\ra1{\dps 1-\ra{u}{1-x_0}}
=\ra1{1-x_0}\sum_{n=0}^\infty\biggl(\ra{u}{1-x_0}\biggr)^n\
\text{ si }\abs[\Big]{\ra{u}{1-x_0}}<1
$$
Ainsi en posant $r_{x_0}=\abs{1-x_0}$, on obtient :
$$
\qqs x\in\into{x_0-r_{x_0}}{x_0+r_{x_0}},\qquad
\ra1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty\ra1{(1-x_0)^{n+1}}(x-x_0)^n
$$
\end{Exs}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Analyse de la situation}
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  Si $f$ est une fonction développable en série entière sur l'intervalle ouvert
$\into{-r}{r}$, $f$ est la somme d'une série entière $\sum a_n x^n$ sur $\into{-r}{r}$;
\emph{nécessairement} $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur
$\into{-r}{r}$ et le coefficient $a_n$ est égal à $f^{(n)}(0)/n!$. Le
développement en série entière de $f$ est donc donné par la série $\sum
f^{(n)}(0)x^n/n!$, ce qui motive la

\begin{Df}[Série de Taylor d'une fonction]\alaligne

  Si $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $x=0$,
la série entière $\dps \sum\ra{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ est appelée \emph{série de
Taylor de la fonction $f$ en $x=0$}
\end{Df}

Il est légitime de se poser deux questions :

\begin{itemize}
  \item la série de Taylor de $f$ en $x=0$ a-t-elle un rayon de convergence non nul?
  \item si oui, la fonction $f$ est-elle égale à sa série de Taylor sur un
voisinage de $x=0$?
\end{itemize}

Le paragraphe suivant propose deux exemples qui donnent une réponse négative à
ces deux questions.

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Exemples de fonctions de classe $\mcal{C}^\infty$ non développables
en série entière}
%----------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Exemple d'une série de Taylor de rayon de convergence nul}
%--------------------------------------------------

  Considérons la fonction $f$ définis par la somme de la série de fonctions :
\begin{equation}
  f : x\mapsto \sum_{n=0}^\infty \ee^{-n}\ee^{\ii n^2x}=\sum_{n=0}^\infty u_n(x)
\end{equation}
  Cette série converge normalement sur $\R$ car, pour tout $x\in\R$,
$\abs{\ee^{-n}\ee^{\ii n^2 x}}=\ee^{-n}=(\ee^{-1})^n$ et la
série géométrique $\sum \ee^{-n}$ est convergente. 
La fonction $f$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$ car, pour tout $x\in\R$
et pour tout entier naturel $k$,
$$
\abs[\big]{u_n^{(k)}(x)}=\abs[\big]{(\ii n^2)^k \ee^{\ii n^2x}\ee^{-n}}
=n^{2k}\ee^{-n}=\OO{\ee^{-n/2}}
$$
ce qui entraîne la convergence normale sur $\R$ de la série des dérivées
$k$\ieme{} pour tout $k$.

  Le calcul de $f^{(k)}(0)$ se fait en dérivant terme à terme la série, soit :
\begin{equation}
f^{(k)}(0)
=\sum_{n=0}^\infty (\ii n^2)^k \ee^{\ii n^2x}\ee^{-n}\entre[