%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Séries numériques}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\minitoc
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  Le but de ce chapitre est de donner un sens à la sommation d'une infinité de
termes réels ou complexes, par exemple :
$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac1{2^n}+\cdots = 1
$$
égalité que les mathématiciens grecs interprètent par :
\begin{quote}
  \og La flèche va-t-elle atteindre le talon d'Achille? \fg
\end{quote}
et
$$
0,999\,9\cdots 9\cdots = 1
$$
égalité qui provient du développement décimal d'un nombre réel.

  En physique, le théorème de Fourier montre qu'un signal périodique de
fréquence~$\nu$, par exemple le la d'une flûte, est la somme d'une combinaison
linéaire d'un nombre infini de signaux périodiques élémentaires (de sons
élémentaires) de fréquences $n\nu$, multiples entiers de cette fréquence $\nu$
dite fondamentale.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Généralités}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Un peu de vocabulaire}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Dfs}[Série]\mbox{}\\
%
  À la suite $\suite u$ à valeurs complexes, on associe la suite $\suite S$ définie par
\begin{equation}
  S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^n u_k 
\end{equation}
%
  On appelle \emph{série de terme général} $u_n$ le couple $\left( \suite u,
\suite S  \right)$; elle est notée~$\sum u_n$.\\
  $S_n$ est appelé la \emph{somme partielle de rang} $n$ de la série de terme
général $u_n$; la suite~$\suite S$ est la suite des sommes partielles de cette
série. 
\end{Dfs}

\begin{Dfs}[Convergence et divergence d'une série]\mbox{}\\
%
  On dit que la série $\sum u_n$ \emph{converge} si, et seulement si,  la suite
$\suite S$ de ses sommes partielles converge dans $\C$, sinon la série est dite
\emph{divergente}.

  En cas de convergence, le nombre $S=\lim_n S_n$ est appelé \emph{somme} de la
série~$\sum u_n$; il est noté $S=\sum_{k=0}^{\infty} u_k$, $k$ joue
le rôle d'un indice muet. Pour tout $n\in\N$, on définit le \emph{reste de rang}
$n$ par $R_n = S - S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.

  Retenons :
$$
\reponse{
  $\dsp S=\sum_{k=0}^\infty u_k=\sum_{k\geq0}u_k=\lim_n\sum_{k=0}^{n} u_k$\\
  $\dsp R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k =\lim_p\sum_{k=n+1}^p u_k$ 
}
$$
\end{Dfs}


\begin{NBs}\mbox{}\\
%
  \emph{Étudier une série} $\sum u_n$, c'est d'abord \emph{déterminer sa nature} :
convergence ou divergence; puis, étudier le \emph{comportement}  de $\suite S$
en cas de divergence, ou déterminer la \emph{valeur exacte} ou \emph{approchée}
de la somme et obtenir des renseignements sur la \emph{vitesse de convergence} vers 0
de la suite des restes d'ordre $n$ en cas de convergence.

  On \emph{ne modifie pas la nature} de la série $\sum u_n$ en changeant un
nombre fini de termes : on ajoute une constante à $S_n$ à partir d'un certain
rang; par contre, on modifie la somme de cette série en cas de convergence.

  On peut \emph{supprimer les termes nuls} d'une série sans en modifier ni la
nature, ni la somme : $\sum\bigl(1+(-1)^n\bigr)/n$ s'écrit aussi $\sum2/(2p)$. Par
contre, regroupement de termes  et modification de l'ordre des termes ne peuvent
s'effectuer \emph{sans précaution}.
\end{NBs}


%---------------------------------------------------------------------------
\subsection{Condition NÉCESSAIRE de convergence, divergence grossière}
%---------------------------------------------------------------------------
\begin{Prop}
  Si la série $\sum u_n$ est convergente, la suite $\suite R$ des restes tend
vers 0.
\end{Prop}
\begin{proof}
  Puisque $S=\lim_n S_n$, $R_n=S-S_n$ tend vers 0.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Condition NÉCESSAIRE de convergence]\mbox{}\\
%
  Si la série $\sum u_n$ est convergente, la suite $\suite u$ tend vers 0; la
réciproque est FAUSSE.

  Si la suite $\suite u$ ne converge pas vers 0, la série $\sum u_n$ est divergente.
\end{Th}
\begin{proof}
  Pour $n>0$, $u_n = S_n - S_{n-1}\tend S-S=0$.\\
  La série $\sum 1/n$ est une série divergente car $S_n=1+1/2+\cdots+1/n
  \equivalent\ln n$ et donc $S_n\tend +\infty$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Divergence grossière]\mbox{}\\
%
  On dit que la série $\sum u_n$ \emph{diverge grossièrement} si la suite
$\suite u$ ne tend pas vers 0.
\end{Df}


%-----------------------------------------------------
\subsection{Convergence des séries à termes complexes}
%-----------------------------------------------------

\begin{Prop}[Convergence des séries parties réelle et imaginaire]\mbox{}\\
%
  La série à termes complexes $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si,  les
deux séries à termes réels $\sum\RE(u_n)$ et $\sum\IM(u_n)$ sont convergentes et
dans ce cas :
\Reponse{$\dsp
  \sum_{k=0}^{\infty} u_k = \sum_{k=0}^{\infty} \RE(u_k) +
  i\sum_{k=0}^{\infty} \IM(u_k)
      $}
\end{Prop}

\begin{proof}
  La suite $S_n=\sum_{k=0}^n u_k =\sum_{k=0}^n \RE(u_k) +i\sum_{k=0}^n \IM(u_k)=
    A_n + iB_n$ converge si, et seulement si,  les suites réelles $\suite A$ et $\suite B$ sont
convergentes, et dans ce cas $S=\lim_n S_n=\lim_n A_n + i\lim_n B_n$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%-------------------------------------------------------
\subsection{Critère de Cauchy}
%-------------------------------------------------------

\begin{Th}[Critère de Cauchy pour une série]\mbox{}\\
%
  La série $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si, 
\Reponse{
$\dsp
\qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs(n,p)\in\N^2,\
    n>N_\eps\implique \abs[\Big]{\sum_{k=n}^{n+p} u_k}<\eps
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  La série $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si, la
suite $\suite S$ de ses sommes partielles est
convergente, si, et seulement si,  la suite $\suite S$ est une
suite de Cauchy, si, et seulement si, 
$$
  \qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs(n,p)\in\N^2,\
    n>N_\eps\implique \abs{S_{n+p}-S_{n-1}}<\eps
$$
Or, $S_{n+p}-S_{n-1} = \sum_{k=n}^{n+p} u_k$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------
\subsection{Combinaison linéaire de séries convergentes}
%---------------------------------------------------------

\begin{Th}
  Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries \emph{convergentes}; alors, pour tout
$(\lambda,\mu)\in\K^2$ la série $\sum(\lambda u_n + \mu v_n)$ est
convergente et :
$$
\sum_{k=0}^{\infty}(\lambda u_k+\mu v_k) =
  \lambda \sum_{k=0}^{\infty} u_k + \mu\sum_{k=0}^{\infty}v_k
$$
Ainsi, l'ensemble des séries convergentes à valeurs dans $\K$ est un $\K$-espace
vectoriel  et l'application $\sum u_n\mapsto \sum_{k=0}^{\infty} u_k$ est une
forme linéaire sur cet espace.
\end{Th}
%
\begin{proof}
  Soient $\suite S$ et $\suite T$ les suites des sommes partielles des séries
$\sum u_n$ et $\sum v_n$; alors :
$$
\sum_{k=0}^{n}(\lambda u_k+\mu v_k) =
  \lambda \sum_{k=0}^{n} u_k + \mu\sum_{k=0}^{n}v_k=
  \lambda S_n + \mu T_n \tend \lambda S+\mu T
$$
ce qui montre que la série $\sum (\lambda u_n + \mu v_n) $ est convergente et que
sa somme vaut $\lambda \sum_{k=0}^{\infty} u_k + \mu\sum_{k=0}^{\infty} v_k$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}
  Si $\lambda\in\C^\prive\{0\}$, les séries $\sum u_n$ et $\sum \lambda u_n$ sont de même 
nature.
  
  Si la série $\serie u$ est convergente, les séries $\serie v$ et $\Serie uv$
sont de même nature; en particulier, si la série $\serie u$ est convergente et
la série $\serie v$ est divergente, alors la série $\Serie uv$ est divergente.

  Si les séries $\serie u$ et $\serie v$ sont divergentes, on ne peut rien
affirmer \emph{a priori} quant à la nature de la série $\sum(u_n+v_n)$.
\end{NBs}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les exemples de base}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%-----------------------------------------
\subsection{La série géométrique}
%-----------------------------------------

\begin{Df}[Série géométrique]\mbox{}\\
%
  C'est la série $\sum q^n$ avec $q\in\C$; $q$ s'appelle la \emph{raison}.
\end{Df}

\begin{Th}[Nature de la série géométrique]\mbox{}\\
%
  La série géométrique $\sum q^n$ converge si, et seulement si, le module
de la raison est plus petit que 1, et on a :
$$
\reponse{
$\dsp
\qqs|q|<1,\ \sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac1{1-q} \et
  R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}q^k = \frac{q^{n+1}}{1-q}$
}
$$
\end{Th}
%
\begin{proof}\mbox{}\\
%
  Si $\abs{q}\geq 1$, la suite $(q^n)_n$ ne tend pas vers 0 et la série $\sum
q^n$ diverge (grossièrement).

  Si $\abs{q}<1$, la suite $(q^n)_n$ tend vers 0 et :
\begin{equation}
S_n=\sum_{k=0}^n q^k = 1+q+q^2+\cdots+q^n=\ra{1-q^{n+1}}{1-q}\tend\ra1{1-q}
\end{equation}
Dans ce cas, la série converge, sa somme $\sum_{k=0}^{\infty}q^k$ vaut
$(1-q)^{-1}$ et
$R_n=S-S_n= q^{n+1}(1-q)^{-1}$.
\end{proof}


%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Série à destruction de termes ou série télescopique}
%--------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Série télescopique]\mbox{}\\
%
  Ce sont les séries $\sum u_n$ où le terme général $u_n$ peut s'écrire sous la
forme
\begin{equation}
  \exists\text{ une suite }\suite v,\ \qqs n\in\N,\ u_n = v_{n+1} - v_{n}
\end{equation}
\end{Df}

\begin{Th}[Convergence et somme d'une série télescopique]\mbox{}\\
%
  La \emph{série télescopique} $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge si, et seulement si, la
\emph{suite} $\suite{v}$ est convergente et, dans ce cas, on a :
\begin{equation}
  \sum_{k=0}^\infty (v_{n+1}-v_n)=\lim v_n -v_0
\end{equation}
  
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  La somme partielle de rang $n$ $S_n$  se calcule ainsi :
\begin{equation}
  S_n=\sum_{k=0}^n (v_{k+1}-v_k)=v_{n+1}-v_0
\end{equation}
La suite $\suite{S}$ converge si, et seulement si, la suite $\suite{v}$ est
convergente; dans ce cas, on a
\begin{equation}
  \lim_n S_n=\sum_{k=0}^\infty (v_{k+1}-v_k)
    =\lim_n v_{n+1}-v_0=\lim_n v_n -v_0
\end{equation}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Exs}\alaligne

  La série $\sum\ln\bigl(1+1/(n+1)\bigr)$ :
on a $u_n=\ln\bigl(1+1/(n+1)\bigr)=\ln(n+2)-\ln(n+1)=v_{n+1}- v_n$
et $S_n=\sum_{k=0}^n=v_{n+1}-v_0=\ln(n+2)$ tend vers $+\infty$.
\begin{center}
  La série $\dsp\sum\ln(1+\frac1{n+1})$ est divergente  
\end{center}

  La série $\sum 1/\bigl(n(n+1)\bigr)$ :
on a $u_n =1/\bigl(n(n+1)\bigr)=-1/(n+1)-1/n$
et $S_n=\sum_{k=1}^n u_k = v_{n+1}-v_1 = 1-1/(n+1)$ tend vers 1.
\begin{center}
  La série $\dsp\sum\frac1{n(n+1)}$ est convergente et
    $\dsp\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)} = 1$ 
\end{center}

  La série $\sum 1/\bigl(n(n+1)\cdots(n+p)\bigr)$ avec $p\in\N\prive\{0\}$; on pose :
\begin{multline}
    u_n=\frac1{n(n+1)\cdots(n+p)}=\frac1p\frac{n+p-n}{n(n+1)\cdots(n+p)}    \\
    =
  \frac1p\frac1{n(n+1)\cdots(n+p-1)}-\frac1p\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+p)}=
  v_n-v_{n+1}
\end{multline}
et $\sum_{k=1}^n u_k = v_1-v_{n+1}\tend v_1$
\Reponse{
$\qqs p\in\N\prive\{0\}$, la série
$\dps \sum\frac1{n(n+1)\cdots(n+p)}$ converge et
$\dps \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)\cdots(k+p)}= \frac1{p(p!)}$
}
\end{Exs}

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{La série du logarithme}
%-------------------------------------------------------------------------------

\Reponse{
$\dsp
\qqs x\in\intof{-1}1,\ \ln(1+x)
  =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}
  =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}k$            \\[1ex]
$\dps
\qqs x\in\intfo{-1}1,\ \ln\frac1{1-x}
  =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k+1}
  =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}k$
}

\begin{proof}
Pour tout $x>-1$, $\dps\ln(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}$ et
puisque
\begin{equation}
  \frac1{1+t}=\sum_{k=0}^n(-t)^k + \frac{(-t)^{n+1}}{1+t}
\end{equation}
on obtient :
  \begin{equation}
    \begin{split}
      \ln(1+x)
      =\int_0^x\left( \sum_{k=0}^n(-t)^k + \frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \right)\,\dt  
      &= \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}+
        \int_0^x\frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \,\dt                    \\
      &=\text{ somme partielle } + \text{ reste}
    \end{split}   
  \end{equation}
En utilisant le changement de variable $t=xu$ pour $x\neq0$, on a
\begin{equation}
  \int_0^x\frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \,\dt=
  \int_0^1\frac{(-xu)^{n+1}}{1+xu} x\,\dt[u]=
  (-1)^{n+1}x^{n+2} \int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+xu} \,\dt[u]
\end{equation}
et
\begin{equation*}
  \int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+xu} \,\dt[u] =
  \begin{cases}
    \dsp\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1-\abs{x}u} \,\dt[u]\leq\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1-\abs{x}} \,\dt[u]
      =\frac1{(1-\abs{x})}\frac1{(n+2)}   & \text{ si $x\in\into{-1}0$}   \\[1ex]
    \dsp\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+\abs{x}u} \,\dt[u]\leq\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+x} \,\dt[u]
      =\frac1{(1+x)}\frac1{(n+2)}   & \text{ si $x>0$}
  \end{cases}
\end{equation*}
Ainsi
\begin{equation*}
\begin{split}
    \left| \ln(1+x) - \sum_{k=0}^n (-1)^k\ra{x^{k+1}}{k+1}\right|
    &=\abs{x}^{n+2}\int_0^1\ra{u^{n+1}}{1+xu}\,\dt[u]
      \leq\int_0^1\ra{u^{n+1}}{1+xu}\,\dt[u]    \text{ si $x\in\intof{-1}1$}      \\
    &\leq
    \begin{cases}
      \dsp\ra1{(1-\abs{x})}\ra1{(n+2)}\tend0  & \text{si $x\in\intof{-1}0$}   \\
      \dsp\ra1{n+2}\tend0             & \text{si $x\in\intf01$}
    \end{cases}
\end{split}
\end{equation*}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  La série $\sum x^n/n$ diverge grossièrement pour
$\abs{x}>1$ et pour $x=1$ (série harmonique).
\end{NB}


%----------------------------------------------------------------------
\subsection{La série de l'arctangente}
%----------------------------------------------------------------------
\Reponse{
$\dsp
\qqs x\in\intf{-1}1,\
  \arctan x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
$}

\begin{proof}
On utilise l'égalité valable pour $x\in\R$ :
  \begin{equation}
    \begin{split}
      \arctan x
      &=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=
        \int_0^x\left( \sum_{k=0}^n (-t^2)^k +
          \frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2} \right)\,\dt               \\
      &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\ra{x^{2k+1}}{2k+1} +
        (-1)^{n+1}\int_0^x\ra{t^{2n+2}}{1+t^2}\,\dt               \\
      &=\text{somme partielle }+\text{ reste}
    \end{split}
  \end{equation}
et la majoration du reste pour $\abs{x}\leq 1$ :
\begin{equation}
  \begin{split}
    \left| \int_0^x\ra{t^{2n+2}}{1+t^2} \right|
    &=\left| \int_0^1\ra{(xu)^{2n+2}}{1+(xu)^2}\,x\,\dt[u] \right|
      =\abs{x}^{2n+3}\int_0^1\ra{u^{2n+2}}{1+x^2u^2}\,\dt[u]              \\
    &\leq\abs{x}^{2n+3}\int_0^1u^{2n+2}\,\dt[u]=\ra{\abs{x}^{2n+3}}{2n+3}
      \leq\ra1{2n+3}
  \end{split}
\end{equation}
\end{proof}


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{La série de l'exponentielle}
%-------------------------------------------------------------------------------

\Reponse{
$\dps \qqs z\in\C,\ \exp z=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k!}$        \\[1ex]
$\dps \cos z=1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!},\qquad 
  \sin z=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$            \\[1ex]
$\dsp \ch z=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!},\qquad
  \sh z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$
}

\begin{proof}
  Utilisation de l'inégalité de Taylor à l'ordre $n+1$ : soit $I$ un intervalle
de~$\R$, $f$ une application à valeurs complexes de classe $\mathcal{C}^{n+1}$  
sur $I$, $M_{n+1}$ un majorant de la dérivée d'ordre $n+1$ sur $I$,
soit
$\qqs t\in I$, $\abs[\big]{f^{(n+1)}(t)}\leq M_{n+1}$ (attention, un tel majorant n'existe
pas toujours); alors :
\begin{equation}
  \qqs(a,b)\in I^2,\
  \abs[\Big]{f(b)-f(a)-\sum_{k=1}^n\ra{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)}
  \leq M_{n+1}\ra{\abs{b-a}^{n+1}}{(n+1)!}
\end{equation}
  On applique l'inégalité de Taylor à $I=\intf01$ et $f:t\mapsto\exp(zt)$,
application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$. Le calcul de la dérivée
d'ordre $k$ donne : 
\begin{gather}
  \qqs k\in\N,\ \qqs t\in\R,\ f^{(k)}(t)=z^k\exp(zt)
    \et f^{(k)}(0)=z^k\exp(zt)|_{t=0}=z^k                 \\  
  \qqs t\in\intf01,\ \abs[\big]{f^{(n+1)}(t)}=\abs{z}^{n+1}\abs[\big]{\exp(zt)}
    =\abs{z}^{n+1}e^{(\RE z)t}
    \leq|z|^{n+1}e^{|\RE z|}=M_{n+1}
\end{gather}
Ainsi :
\begin{equation}
  \abs[\Big]{\exp(z)-1-\sum_{k=1}^n \ra{(1-0)^k}{k!}z^k} =
  \abs[\Big]{\exp(z)-1-\sum_{k=1}^n \ra{z^k}{k!}}\leq
  e^{|\RE z|}\ra{|z|^{n+1}}{(n+1)!}\tend 0
\end{equation}
Les développements de $\sin$, $\cos$, $\sh$ et $\ch$ s'en déduisent par
combinaison linéaire :
\begin{gather}
\begin{split}
  \sh z=\ra{\exp z - \exp(-z)}2
  &=\ra12\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \ra{z^k}{k!}-
    \sum_{k=0}^{\infty} \ra{(-z)^k}{k!}\biggr)                        \\
  &=\sum_{k=0}^{\infty} \ra{1-(-1)^k}2 \ra{z^k}{k!}=
    \sum_{p=0}^\infty \ra{z^{2p+1}}{(2p+1)!}      
  \end{split}   \\
\begin{split}
  \cos z=\ra{\exp iz + \exp(-iz)}2
    &=\ra12\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \ra{(iz)^k}{k!}+
      \sum_{k=0}^{\infty} \ra{(-iz)^k}{k!}\biggr)                       \\
  &=\sum_{k=0}^{\infty} i^k\ra{1+(-1)^k}2 \ra{z^k}{k!}=
   \sum_{p=0}^\infty (-1)^p\ra{z^{2p}}{(2p)!}     
\end{split}
\end{gather}
\end{proof}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{La série du binôme}
%----------------------------------------------------------------------

\Reponse{
$\dsp
  \qqs\alpha\in\R\setminus\N,\ \qqs x\in\into{-1}1,\
    (1+x)^\alpha = 1 +
    \sum_{k=1}^{\infty}\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -k+1)\frac{x^k}{k!}$
}

\begin{proof}
  Rappelons la formule de Taylor à l'ordre $n+1$ avec reste intégral :
soit $I$ un intervalle
de $\R$, $f$ une application à valeurs complexes de classe $\mathcal{C}^{n+1}$  
sur $I$ ; alors pour tout $a$ et tout $b$ dans~$I$ :
\begin{equation}
  \begin{split}
    f(b)
    &=f(a)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+
      \int_a^b\ra{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dt             \\
    &= f(a)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+
      \ra{(b-a)^{n+1}}{n!}\int_0^1 (1-u)^n
      f^{(n+1)}\bigl(a+(b-a)u\bigr)\,\dt[u] 
  \end{split}         
\end{equation}
la seconde égalité s'obtenant à l'aide du changement de variable $t=a+(b-a)u$.\\
Pour $b=x$ et $a=0$, on obtient :
\begin{equation}
  f(x)= f(0)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+
      \ra{x^{n+1}}{n!}\int_0^1 (1-u)^n f^{(n+1)}(xu)\,\dt[u]  \label{eq\string:t1}
\end{equation}
%
On applique (\ref{eq\string:t1}) à la fonction $f : x\mapsto
(1+x)^\alpha=e^{\alpha\ln(1+x)}$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur
$\into{-1}{+\infty}$; par dérivation :
\begin{gather}
  f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k} \\
  f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)
\end{gather}
%
Utilisant la décroissance de $u\in\intf01\mapsto \dra{1-u}{1+xu}$ pour $x>-1$ fixé,
le reste intégral se majore à l'aide de :
%
\begin{equation}
  \begin{split}
    0\leq\int_0^1 (1-u)^n(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u]
    &=\int_0^1  \left(\ra{1-u}{1+xu}\right)^n(1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u]    \\
    &\leq\int_0^1 (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u]
  \end{split}
\end{equation}

On peut donc écrire :

\begin{equation}
\begin{split}
  \abs[\Big]{ (1+x)^\alpha - 1 -
  & \sum_{k=1}^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -k+1)\frac{x^k}{k!}}  \\
  &=\abs[\Big]{\frac{x^{n+1}}{n!}
    \int_0^1  (1-u)^n
    \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u]}   \\
  &\leq \abs[\big]{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)}\frac{|x|^{n+1}}{n!}
    \int_0^1  (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u]=u_n
\end{split}
\end{equation}
%
Or $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{|\alpha-n-1|}{n+1}|x|\tend |x|$, ce qui montre que
$u_n$ tend vers 0 pour tout $x\in\into{-1}1$.
\end{proof}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les séries à termes positifs}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{La situation}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Série à termes positifs]\mbox{}\\
%
  On dit que $\serie u$ est une série à \emph{termes positifs} si, et seulement si, 
$u_n\geq0$ pour tout $n\in \N$. 
\end{Df}

  La modification d'un nombre fini des termes d'une série et la
multiplication  par $-1$ ne modifient pas la nature d'une série,
mais modifient la somme de cette série. C'est pourquoi,
tous les théorèmes de ce paragraphe qui concernent la nature d'une série à
termes positifs sont encore valables pour les séries de signe constant 
à partir d'un certain rang.


\begin{Prop}[Monotonie de la suite des sommes partielles]\mbox{}\\
%
  Si la série $\serie u$ est à termes positifs, la suite $\suite S$ de ses
sommes partielles est une suite monotone croissante.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Pour tout $n$, $S_{n+1}-S_{n}=u_{n+1}\geq 0$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Le théorème fondamental}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Caractérisation de la convergence d'une série à termes positifs]\mbox{}\\
%
  Soit $\serie u$ une série à ter\-mes positifs; la série $\serie u$ est
convergente si, et seulement si,  la suite $\suite S$ est majorée et dans ce cas
$$
\sum_{k=0}^{\infty} u_k=\lim_n S_n = \sup_n S_n
$$
Sinon, la série $\serie u$ est divergente et la suite $\suite S$ diverge vers
$+\infty$.
\end{Th}
%
\begin{proof}
  La suite $\suite S$ est croissante et donc la suite $\suite S$ converge
si, et seulement si, 
elle est majorée; dans ce cas, la limite de $\suite S$ est la borne supérieure
de ses éléments.

  Si la suite $\suite S$ n'est pas majorée, elle diverge vers $+\infty$
puisqu'elle est croissante.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Série majorante, série minorante}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Dfs}[Série majorante, série minorante]\mbox{}\\
%
  On dit que la série $\serie v$ est une \emph{série majorante} de la
série~$\serie u$
si, et seulement si,  $\serie v$ est une série à termes positifs qui vérifient
$$
\qqs n\in\N,\  u_n \leq v_n;
$$

  On dit que la série $\serie v$ est une \emph{série minorante} de la série
$\serie u$
si, et seulement si,  $\serie v$ est une série à termes positifs qui vérifient
$$
\qqs n\in\N,\  0\leq v_n \leq u_n;
$$
\end{Dfs}

\begin{Th}[Critère de comparaison]\mbox{}\\
%
Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes \emph{positifs}.
\begin{prop}
  \item Si $\serie v$ est une série \emph{majorante convergente} de la série 
$\serie u$, alors la série $\serie u$ converge et
  $$
  \qqs n\in\N,\ 0\leq\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k
  $$
  \item si $\serie v$ est une série minorante divergente de
$\serie u$, alors la série $\serie u$ diverge.
\end{prop}
\end{Th}
$$
\reponse{
$\left.
\begin{array}{l}
  \qqs n\in\N,\ 0\leq u_n\leq v_n\\
  \text{$\sum v_n$ convergente}
\end{array}
\right\}
\implique
\left\{
\begin{array}{l}
  \text{$\sum u_n$ convergente }\\
  \dps\qqs n\in\N,\ 0\leq\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k  
\end{array}
\right.$
}
$$
%
\begin{proof}
  Des inégalités
\begin{equation}
  S_n=\sum_{k=0}^n u_k\leq \sum_{k=0}^n v_k=T_n\leq \lim_n T_n  =
  \sum_{k=0}^{\infty} v_k
\end{equation}
on tire que la suite $\suite S$ est une suite majorée par $T$; elle converge
puisqu'elle est croissante et sa limite $S$ est majorée par $T$, soit :
$$
S=\sum_{k=0}^{\infty} u_k\leq T = \sum_{k=0}^{\infty} v_k
$$
Par passage à la limite sur $p$ dans les inégalités
$\sum_{k=n}^{n+p} u_k\leq \sum_{k=n}^{n+p} v_k$, on obtient  que
$\sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k$.

  Si la série $\serie v$ est divergente, la suite $\suite T$ diverge vers
$+\infty$ et l'inégalité $T_n\leq S_n$ montre le résultat.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NBs}\mbox{}\\
%
  Pour montrer la convergence d'une série à termes positifs, on recherche une
série \emph{majorante convergente}.

  Pour montrer la divergence d'une série à termes positifs, on recherche une
série \emph{minorante divergente}.
\end{NBs}

\begin{Prop}
    Soient $\serie u$ et $\serie v$ deux séries \emph{convergentes} à termes
réels; alors :
$$
\qqs n\in\N,\ u_n\leq v_n \implique
\sum_{k=0}^{\infty} u_k\leq \sum_{k=0}^{\infty} v_k\et
\qqs n\in\N,\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La série $\sum (v_n - u_n )$ est une série convergente à termes positifs et
l'inégalité
$0\leq \sum_{k=0}^{\infty} (v_k-u_k)=
  \sum_{k=0}^{\infty} v_k- \sum_{k=0}^{\infty} u_k$
donne le résultat.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Utilisation de O]\mbox{}\\
%
  Considérons deux séries à termes positifs  $\serie u$ et $\serie v$ telles que
$u_n=\OO{v_n}$; alors :
  \begin{prop}
    \item si $\serie v$ converge, alors $\serie u$ est une série convergente;
    \item si $\serie u$ diverge, alors $\serie v$ est une série divergente.
  \end{prop}
\end{Prop}
%
\begin{proof}
  Il existe $M>0$ tel que $0 \leq u_n \leq M v_n$ à partir d'un certain rang, ce
qui montre que $\sum Mv_n$ est une série majorante de $\sum u_n$ et
que $\sum \ra1M u_n$ est une série minorante de $\sum v_n$.
\end{proof}


%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Règle des équivalents}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Règle des équivalents]\mbox{}\\
%
  Soient $\serie u$ une série à termes positifs et $\serie v$ une série à termes
réels; alors
\Reponse{
$\dps
u_n\equivalent v_n\implique
  \text{ les séries $\serie u$ et $\serie v$ sont de même nature.}$
}
\end{Th}

\begin{proof}
  Puisque $u_n\equivalent v_n$, il existe une suite $\suite\eps$ de limite nulle, telle
que $v_n = (1+\eps_n)u_n$. À partir d'un rang $N$, on a $-\ra12<\eps_n<\ra12$
soit $\ra12<1+\eps_n<\ra32$, et donc :
$$
\qqs n\geq N,\ 0\leq\ra12 u_n\leq (1+\eps_n)u_n=v_n\leq\ra32 u_n
$$
Ainsi, à partir du rang $N$, $\suite v$ est une suite à termes positifs, 
$\sum \ra32 u_n$ est une série majorante de $\serie v$, et $\sum\ra12 u_n$ est
une série  minorante de $\serie v$. on en conclut que la convergence de $\serie
u$ implique la convergence de $\serie v$ et la divergence de $\serie u$ implique
la divergence de $\serie v$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Comparaison logarithmique, règle de D'Alembert}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Comparaison logarithmique]\mbox{}\\
%
  Considérons  deux séries à termes strictement
positifs $\serie u$ et $\serie v$ telles que
$\dsp\ra{u_{n+1}}{u_n} \leq \ra{v_{n+1}}{v_n}$ à partir d'un
certain rang; alors :
  \begin{prop}
    \item la convergence de $\serie v$ implique la convergence de $\sum u_n$;
    \item la divergence de $\sum u_n$ implique la divergence de $\sum v_n$.
  \end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}
  La suite $(u_n/v_n)_n$ est décroissante à partir d'un certain rang $N$,
ce qui donne les inégalités
$$
\qqs n\geq N,\ 0<u_n\leq\ra{u_N}{v_N}v_n \et 0<\ra{v_N}{u_N}u_n\leq v_n
$$
La règle de comparaison donne le résultat.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Règle de D'Alembert]\mbox{}\\
%
  Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs tels que $\ell = \lim_n
u_{n+1}/u_n$ existe dans $\overline{\R_+}=\intf0{+\infty}$;
\begin{prop}
  \item si $\ell<1$, la série $\sum u_n$ converge;
  \item si $\ell>1$, $u_n$ tend vers $+\infty$ et la série $\sum u_n$ diverge
    (grossièrement);
  \item si $\ell=1$, on ne peut conclure.
\end{prop}
\end{Th}
\begin{proof}\alaligne\\
%
  $\boxed{\ell<1}$ Soit $q\in\into\ell1$; alors $u_n=\OO{q^n}$ et la série $\sum
u_n$ converge.\\
%
  $\boxed{\ell>1}$ Soit $q\in\into1\ell$; alors $q^n=\OO{u_n}$ et $u_n\tend
+\infty$, ce qui montre que la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.\\
%
  $\boxed{\ell=1}$ La série $\sum 1/n$ est divergente et la série
$\sum 1/\bigl(n(n+1)\bigr)$ est convergente
alors que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 dans les deux cas.
\end{proof}


%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Comparaison à une série de Riemann}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Série de Riemann]\mbox{}\\
%
  Les séries de Riemann sont les séries $\sum n^{-\alpha}$ où $\alpha$ est
un nombre réel.
\end{Df}

\begin{Th}[Nature des séries de Riemann]
  La série $\sum n^{-\alpha}$ converge si, et seulement si,  $\alpha>1$; si $\alpha\leq 0$,
  la série $\sum n^{-\alpha}$ diverge (grossièrement).
\end{Th}

\begin{proof}\mbox{}\\
%
  $\boxed{\alpha\leq 0}$ La suite $(n^{-\alpha})_n$ ne tend pas vers 0; ainsi, la série
$\sum n^{-\alpha}$ diverge (grossièrement).\\
%
  $\boxed{\alpha>0}$ La fonction $f : t\in\into0{+\infty}\mapsto t^{-\alpha}$ est
décroissante ce qui entraîne les inégalités :
\begin{equation}
  \qqs k\geq 1,\ \ra1{k^\alpha}\leq\int_k^{k+1}\ra1{t^\alpha}\,\dt \et
  \qqs k\geq 2,\ \ra1{k^\alpha}\geq\int_{k-1}^{k}\ra1{t^\alpha}\,\dt
\end{equation}
Par sommation, on a :
\begin{equation}
  \int_1^{n+1} \ra1{t^\alpha}\,\dt \leq \sum_{k=1}^n\ra1{k^\alpha}
  \leq 1+\int_1^n \ra1{t^\alpha}\,\dt \label{eq\string:r1}
\end{equation}
%
Pour $\alpha<1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) s'écrit :
\begin{equation}
  \ra{(n+1)^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}\leq\ \sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha}
  \leq 1+\ra{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}
\end{equation}
%
Puisque $(n+1)^{1-\alpha}$ tend vers $+\infty$, $\sum_{k=1}^n k^{-\alpha}$
tend vers $+\infty$, la série $\sum n^{-\alpha}$ est divergente et
$\dsp\sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha}\equivalent \ra{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$.\\
%
Pour $\alpha = 1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) devient :
\begin{equation}
  \ln(n+1)\leq\ \sum_{k=1}^n \ra1k
  \leq 1+\ln n
\end{equation}
la somme partielle $\sum_{k=1}^n k^{-1}$ tend vers
$+\infty$, la série $\sum 1/n$ est divergente et
$\sum_{k=1}^n 1/k\equivalent \ln n$.\\
%
Pour $\alpha>1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) s'écrit :
\begin{equation}
  \ra{1-(n+1)^{-(\alpha-1)}}{\alpha-1} \leq\
  \sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha}
  \leq 1+\ra{1-n^{-(\alpha-1)}}{\alpha-1}
  \leq 1 + \ra1{\alpha-1}
\end{equation}
Puisque la suite des sommes des partielles est bornée, la série $\sum
n^{-\alpha}$ est convergente.
\end{proof}

\begin{NB}
  Le critère de D'Alembert ne permet pas de donner la nature des séries de
Riemann car $u_{n+1}/u_n=n^\alpha/(n+1)^\alpha$ a pour limite 1
pour tout $\alpha\in\R$.
\end{NB}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Série absolument convergente}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Voici arrivée l'étude des séries à termes complexes  ou à termes réels qui ne   
sont pas de signe
constant, par exemple $\sum n^{-2}\exp(in)$, $\sum (-1)^n n^{-2/3}$ \dots


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{L'absolue convergence, qu'est-ce?}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Série absolument convergente]\mbox{}\\
%
  La série $\sum u_n$ est dite \emph{absolument convergente} si, et seulement
si, la série $\sum \abs{u_n}$ est convergente.
\end{Df}

\begin{Th}[Convergence des séries absolument convergentes]\mbox{}\\
%
  Toute série absolument convergente est convergente et on a la majoration :
\Reponse{
$\dps
\qqs n