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equ2_015.tex

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\exo {\' Equation différentielle}
 
\let \partie \centerpartie
 
\centerline {\sl Les parties {\bf A.} et {\bf B.} peuvent être
traitées de façon indépendante} 
 
\partie {A -- Résolution d'une équation différentielle}
 
On considère l'équation différentielle 
$$
   y'' -2y' + y = {x^2 \over 2} - x- 1
\leqno
   (E)
$$
où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et deux fois
dérivable sur $\rset $, $y'$ la fonction dérivée de $y$, et $y''$ sa
fonction dérivée seconde.
 
\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation différentielle
$$
   y'' -2y' + y = 0.
\leqno
   (E')
$$
 
\itemnum Déterminer les constantes réelles $a$, $b$, $c$ pour que la
fonction $g$ définie sur $\rset $ par
$$
   g (x) = ax^2 + bx + c
$$
soit une solution particulière de l'équation $(E)$
 
\itemnum Déduire du {\bf 1.} et du {\bf 2.} l'ensemble des solutions
de l'équation différentielle $(E)$.
 
\itemnum Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie
les conditions initiales
$$
   f (0) = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   f (1) = e + {3\over 2}.
$$
 
\partie {B -- \'Etude d'une fonction}
 
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions de la variable $x$ définies sur
$\rset $ par
$$
   f (x) = xe^x + {x^2 \over 2} + x 
      \qquad {\rm et} \qquad
   g (x) = {x^2 \over 2} + x.
$$
On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$ et $\cal P$ la courbe
représentative de $g$ dans le repère orthonormal $(O, \vec \imath ,
\vec \jmath \,)$ (unité graphique $2$~cm).
 
\itemnum Déterminer 
$\displaystyle 
   \lim _{x \to +\infty } f (x)
$,
$\displaystyle 
   \lim _{x \to -\infty } f (x)
$, et
$\displaystyle 
   \lim _{x \to -\infty } \left[ f (x) - g (x) \right]
$.
 
\item {} Interpréter graphiquement le dernier résultat.
 
\itemnum \'Etudier sur $\rset $ la position relative des deux courbes
   $\cal C$ et $\cal P$.
 
\itemitemalphnum Démontrer que pour tout $x$ de $\rset $~: \quad $f'
(x) = (x+1) (e^x + 1)$.
 
\itemitemalph \'Etudier les variations de $f$ sur $\rset $.
 
\itemitemalphnum Compléter le tableau de valeurs figurant sur la
feuille annexe (à rendre avec la copie)~; les valeurs approchées
seront arrondies à $10^{-2}$ près.
 
\itemitemalph Construire la courbe $\cal C$ dans le repère $(O, \vec
\imath , \vec \jmath \,)$ sur la feuille annexe (à rendre avec la
copie) où figure la courbe $\cal P$.
 
\itemitemalphnum Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que
la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par
la courbe $\cal C$, la parabole $\cal P$ et les droites d'équations
$x=-3$ et $x=-2$ est $A = 4 \left( -4 e^{-3} + 3 e^{-2}\right) $.
 
\itemitemalph Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $A$.
 
%\vfill \eject
 
\newcount \tmpcount \tmpcount \exono
 
\titre {Feuille annexe (à rendre avec la copie)}
 
\global \exono \tmpcount
 
\partie {B}
 
\advance \numno by 3
 
\itemitemalphnum 
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 14mm {\hfil #1 \hfil }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -3&& -2, 5&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$
 
\def \epspath {}
\epsfxsize = 100mm
 
\itemitemalph 
$$
   \superboxepsillustrate {equ2_015a.ps}
$$
 
\finexo
 
\corrige
 
\let \partie \llappartie
 
\partie {A}
%
\num \ L'équation caractéristique associée à l'équation $(E')$ est
$r^2 - 2r + 1 = 0$. Cette dernière admet la racine réelle double $r =
1$. On en déduit que les solutions de l'équation $(E')$ sont toutes
les fonctions $y$ ayant une écriture du type
$$\dresultat {
   y (x) = e^x (Ax + B), 
      \qquad {\rm} \qquad
   \hbox {$A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$
 
\num \ Si $g (x) = ax^2 + bx + c$, alors $g' (x) = 2ax + b$ et $g''
(x) = 2a$. En reportant dans l'équation différentielle $(E)$, on voit
que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si
$$
   (2a - 2b + c) + (b-4a) x + ax^2 = {1\over 2} x^2 - x - 1
$$
autrement dit, en identifiant les coefficients dans chacun des deux
membres, si et seulement si le triplet $(a, b, c)$ est solution du
système
$$
   \cases {
      2a - 2b + c = -1
   \cr
      b-4a = -1
   \cr
      a = 1/2
   \cr }
$$
Finalement, on trouve $(a, b, c) = (1/2, 1, 0)$ et la solution
particulière cherchée est \dresultat {g (x) =
{1\over 2} x^2 + x}.
 
\num \ Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit
d'additionner la solution générale de $(E')$ et la solution
particulière de $(E)$.
Les solutions de l'équation $(E)$ sont donc toutes
les fonctions $y$ ayant une écriture du type
$$\dresultat {
   y (x) = {1\over 2} x^2 + x + e^x (Ax + B), 
      \qquad {\rm} \qquad
   \hbox {$A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$
 
\num \ En écrivant que la fonction $f$ est une solution de $(E)$
vérifiant les conditions initiales $f (0) = 0$ et $f (1) = e + 3/2$,
il vient $B = 0$ (puisque $f (0) = B$) et $A = 1$ (puisque $f (1) = Ae
+ 3/2$), d'où la solution cherchée 
$$
   \dresultat {f (x) = {1\over 2} x^2 + x + xe^x}.
$$
 
\partie {B}
%
\num On a clairement \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) =
+\infty }. De plus \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = +\infty }
puisque $\displaystyle \lim _{x\to -\infty } xe^x = 0$.
 
Et comme $f(x) - g (x) = xe^x$, il vient également \dresultat {\lim
_{x\to -\infty } \big[ f (x) - g (x)\big] = 0}, ce qui signifie
géométriquement que \tresultat {les courbes $\cal C$ et $\cal P$ sont
asymptotes en $-\infty $}
 
\num \ \' Etudier les positions relatives de $\cal C$ et $\cal P$
revient à étudier le signe de la différence $f (x) - g(x) =
xe^x$. Cette différence est bien entendu du signe de $x$ puisque $e^x$
est toujours positif. On a donc 
$$
   \tresultat {$\cal C$ en dessous de $\cal P$ sur $]-\infty , 0]$}, 
      \qquad {\rm et} \qquad
   \tresultat {$\cal C$ en dessus de $\cal P$ sur $[0, +\infty [$}.
$$
 
\alphnum \ On vérifie facilement que \dresultat {f' (x) =
      (x+1)(1+e^x)}.
 
\alph \ Et comme $1+e^x$ est toujours positif (comme somme de nombres
positifs), on a $f' (x)$ du signe de $x+1$. On obtient alors le
tableau de variations suivant~:
$$
\dresultat {\vcenter {\eightpoint \rm
   \def \hfq {\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign {
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & 
      $-\infty $&& $0$&& $+\infty $%
   \cr
   \noalign {\hrule }
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt &
      & $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & 
      \bbuup {$+\infty $}& \bbrightddownarrow & \down {$\approx -0,
      87$}& \bbrightuuparrow & \bbuup {$+\infty $}&  
   \cr
}}}
   \qquad f (0) = -{1\over 2} - {1\over e}
$$
 
\alphnum \ Le tableau de valeurs~:
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 14mm {\hfil #1\hfil }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -3&& -2, 5&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& 1, 35&& 0, 42&& -0, 27&& -0, 71&& -0, 87&& -0, 68&&
      0&& 1, 45&& 4, 22&
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$
 
\def \epspath {}
\epsfxsize = 100mm
 
\alph \ et la courbe~:
$$
   \superboxepsillustrate {equ2_015b.ps}
$$
 
\alphnum \ Vu les positions relatives étudiées précédemment, et
l'unité d'aire étant de $4 \cm ^2$, on sait que l'aire cherchée est
donnée par
$$\eqalign {
   A &= 4 \int _{-3}^{-2} g (x) - f (x) \, dx
\cr
   &= 4 \int _{-3}^{-2} -x e^x\, dx 
   \qquad \hbox {on pose $U = -x$ et $V' = e^x$}
\cr
   &= 4 \left( \int _{-3}^{-2} -e^x\, dx - \big[ -xe^x \big]
   _{-3}^{-2} \right)
\cr
   &=  4\left( \big[ -e^x \big] _{-3}^{-2} - \big[ -xe^x \big]
   _{-3}^{-2} \right)
   = -4 \big[ e^x (1+x) \big] _{-3}^{-2} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {A = 4\big( 3e^{-2}-4e^{-3} \big) \cm ^2}.
\cr
}$$
 
\alph \ Et \dresultat {A \approx 0, 83 \cm ^2}.
 
\fincorrige