Source de equ1_028.tex
\exo {\' Equation différentielle et étude de fonction}
{\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.}
\let \partie \centerpartie
\partie {A -- {\sl Résolution d'une équation différentielle}}
On considère l'équation différentielle
$$
y' - 2y = e^{2x}
\leqno
(E)
$$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et
dérivable sur $\rset $ et $y'$ sa fonction dérivée.
\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle~:
$$
y' - 2y = 0.
\leqno
(E_0)
$$
\itemnum Soit $h$ la fonction définie sur $\rset $ par $h (x) = x
e^{2x}$.
\item {} Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$.
\itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$
qui vérifie la confition $f (0) = -1$.
\partie {B -- {\sl \' Etude d'une fonction}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\rset $ par $f (x) = (x-1) e^{2x}$.
Sa courbe représentative $C$ est donnée dans le repère de l'annexe (à
rendre avec la copie).
\itemitemalphnum Calculer
$\displaystyle {
\lim _{x\to +\infty } f (x).
}$
\itemitemalph On admet que
$\displaystyle {
\lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0
}$. En déduire
$\displaystyle {
\lim _{x\to -\infty } f (x).
}$
\itemitemalph Interpréter géométriquement le résultat obtenu au {\sl
b\/}).
\itemitemalphnum Démontrer que, pour tout $x$ de $\rset $, $f' (x) =
(2x-1) e^{2x}$.
\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $f' (x) \geq 0$.
\itemitemalph En déduire le sens de variation de $f$ sur $\rset $.
\itemitemalphnum \` A l'aide du développement limité au voisinage de
$0$ de la fonction exponentielle $t\mapsto e^t$, donner le
développement limité, à l'ordre~$3$, au voisinage de $0$ de la
fonction $x\mapsto e^{2x}$.
\itemitemalph En déduire que le développement limité, à l'ordre~$3$,
au voisinage de $0$ de la fonction $f$ est~:
$$
f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
\itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
$C$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $C$ et $T$
au voisinage de ce point.
\itemitemalph Tracer $T$ dans le repère de l'annexe.
\partie {C -- {\sl Calcul intégral}}
\itemnum Soit $\alpha $ un réel strictement négatif~; on pose
$\displaystyle {
I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 f (x) \, dx
}$.
\item {} Démontrer que
$$
I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha - {3\over 4}\right) e^{2\alpha }.
$$
On pourra effectuer une intégration par parties.
\itemitemalphnum Calculer la limite de $I (\alpha )$ quand $\alpha $
tend vers $-\infty $.
\itemitemalph \` A l'aide d'une phrase, donner une interprétation
graphique de ce résultat.
\vfill \eject
\let \partie \simplecenterpartie
\partie {\twentybf Annexe}
\def \epspath {}
\epsfxsize 140mm
$$
\superboxepsillustrate {equ1_028a.ps}
$$
\finexo
\corrige {}
\let \partie \llappartie
\everymath = {\displaystyle }
\partie {A}
\vskip -6.5mm
\itemnum Le cours nous donne immédiatement la solution générale de
$(E_0)$~: \dresultat {y = k e^{2x}, \quad k \in \rset }.
\itemnum Si $h = xe^{2x}$, alors $h' = (1+2x) e^{2x}$ et $h'-2h =
e^{2x}$, ce qui prouve que \tresultat {$h$ est une solution
particulière de $(E)$}.
\itemnum On déduit alors des questions précédentes que la solution
générale de $(E)$ est \dresultat {y = (x+k) e^{2x}, \quad k \in \rset }.
\itemnum La fonction $f$ étant une solution de $(E)$ vérifiant la
condition initiale $f (0) = -1$, on obtient immédiatement $f (0) = k =
-1$, autrement dit \dresultat {f (x) = (x-1) e^{2x}}.
\partie {B}
\vskip -5.5mm
\itemalphnum
On a \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty } puisque $f
(x) = (x-1) e^{2x}$ avec $\lim _{x\to +\infty } (x-1)= +\infty = \lim
_{x\to +\infty } e^{2x}$.
\itemalph
et on a \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = 0} puisque $f
(x) = xe^{2x} - e^{2x}$ avec $\lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0 = \lim
_{x\to -\infty } e^{2x}$.
\itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote horizontale
d'équation $y = 0$}.
\itemalphnum \alph \ Il vient
$$
f' (x) = \big( 2 (x-1) + 1\big) e^{2x}
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {f' (x) = (2x-1)e^{2x}}
$$
qui est du signe de $2x-1$ puisque $e^{2x}$ est toujours strictement
positif. D'où \dresultat {f' (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1/2}.
\itemalph On a finalement le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm
\def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
\halign {
% preamble
\cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
\cr
x&& -\infty && 1/2&& +\infty
\cr
\noalign {\hrule height 1pt }
f' (x)&& &-& 0& +
\cr
\noalign {\hrule height 1pt}
\buucenter {$f (x)$}&& \buup {$0$}&
\brightddownarrow & \down{$- {1\over 2}e$}&
\brightuuparrow & \buup {$+\infty $}
\cr
}}
}$$
\itemalphnum On sait que
$$
e^t = 1 + t + {t^2\over 2} + {t^3\over 6} + t^3 \varepsilon (t)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0.
$$
donc
$$\dresultat {
e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
}$$
\itemalph En multipliant ce dernier développement par le polynôme
$x-1$, on obtient alors
$$\eqalign {
(x-1)e^{2x} &= (x-1) \left( 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 \right) +
x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
\cr
&= -1 + (1-2) x + (2-2) x^2 + \left( 2-{4\over 3}x^3 \right) +
x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
\cr
\hbox {soit encore} \qquad & \qquad
\dresultat {
f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
}
}$$
\itemalph Ce développement donne immédiatement, non seulement une
équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse
$0$~: \dresultat {T~: y = -1-x}, mais aussi la différence entre la
courbe $C$ et la tangente $T$ au voisinage de $0$. Ainsi
$$
f (x) - (-1-x) = {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
Au voisinage de $0$, cette différence est donc du signe de
$2x^3/3$. Ce qui nous permet d'affirmer que, au voisinage de $x=0$, la
courbe $C$ est \tresultat {en dessous de $T$ pour $x<0$, au dessus
sinon}.
\def \epspath {}
\itemalph
$$
\superboxepsillustrate {equ1_028b.ps}
$$
\partie {C}
\vskip -5mm
\itemnum
$$
I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 (x-1) e^{2x} \, dx
\qquad \hbox {du type} \qquad
\int U V'
\qquad {\rm avec} \qquad
\cases {
U = x-1
\cr
V' = e^{2x}
\cr }
\quad {\rm et} \quad
\cases {
U' = 1
\cr
V = {1\over 2}e^{2x}
\cr }
$$
D'où
$$\eqalign {
I (\alpha ) &= \Big[ {1\over 2}(x-1) e^{2x}\Big] _\alpha ^0 -
{1\over 2}\int _\alpha ^0 e^{2x} \, dx
\cr
&= -{1\over 2} - {1\over 2} (\alpha - 1)e^{2\alpha } - {1\over
2}\Big[ {1\over 2}e^{2x}\Big] _\alpha ^0
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha -
{3\over 4}\right) e^{2\alpha }}.
\cr
}$$
\itemalphnum Et, de la même façon qu'au {\bf B-1.}{\sl b\/}), il vient
\dresultat {\lim _{\alpha \to -\infty } I (\alpha) = {-3\over 4}}
puisque
$$
I (\alpha ) = - {3\over 4} - {1\over 2}\alpha e^{2\alpha } -
{3\over 4}e^{2\alpha }
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim _{x\to -\infty} \alpha e^{2\alpha } = 0 = \lim _{x\to -\infty}
e^{2\alpha }
$$
\itemalph Graphiquement, ce dernier résultat signifie \tresultat
{qu'une mesure de l'aire $\cal A$ est $3/4$ d'unités d'aire}, où
$\cal A$ désigne l'aire du domaine plan infini délimité par la
courbe $C$ et les axes $Ox$ et $Oy$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 22 octobre 2002 (0.08s - 3479056 - 7 septembre 2008)
