Source de geom_004.tex
\exo {Triangles rectangles\dots }
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 18$ et
$AC = 8$.
On place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AC]$ et $[AB]$,
avec $AD = BE = x$.
Le but de cet exercice est de déterminer $x$ pour que l'aire du
triangle $ADE$ soit égale à la moitié de celle du triangle $ABC$.
\itemnum Montrer que résoudre le problème posé revient à résoudre dans
$[0; +\infty [$ l'équation~:
$$
- {1\over 2} x^2 + 9x - 36 = 0.
\leqno
(E)
$$
\itemnum Répondre au problème posé.
\finexo
\corrige {}
\def \epspath {%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/}
%\epsfxsize = 80mm
$$
\superboxepsillustrate {geom_004.ps}
$$
\itemnum
L'aire du triangle $ABC$ est ${1\over 2} (AB \times AC) = {1\over 2}
(18 \times 8)$, soit \dresultat {{\cal A}_{ABC} = 72}.
\item {}
L'aire du triangle $ADE$ est ${1\over 2} (AD \times AE) = {1\over 2}
(x \times (18-x))$, soit \dresultat {{\cal A}_{ADE} = - {1\over 2} x^2
+ 9x}.
\item {}
Répondre au problème posé revient donc à résoudre l'équation
$$
{\cal A}_{ADE} = {1\over 2} {\cal A}_{ABC}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
- {1\over 2} x^2 + 9x = 36
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\dresultat {- {1\over 2} x^2 + 9x - 36 = 0}.
$$
\itemnum
On a maintenant une équation polynomiale du type $ax^2 + bx + c = 0$ avec
$$
a = - {1\over 2},
\qquad
b = 9,
\qquad
c = - 36.
$$
Le calcul du discriminant $\Delta $ donne \dresultat {\Delta =
{9}} d'où l'on déduit que l'équation admet 2~solutions~: $x = 6$ et $x
= 12$. Or on sait que $x \leq AC = 8$, donc la solution $x = 12$ est impossible.
\item {}
Finalement, le problème posé admet \tresultat
{une seule solution~: $x = 6$}.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3778982 - 20 novembre 2008)
