Source de graph_001.tex
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Fichier TeX 
\exo {Résolutions d'équations et d'inéquations polynomiales}

On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = -x^2 - 2x + 2.
$$
Sa courbe représentative, d'équation $y = -x^2 - 2x + 2$, est donnée
ci-dessous~: 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/}
$$
   \superboxepsillustrate {graph_001a.ps}
$$

\itemnum {\sl Partie graphique}

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation
$$
   -x^2 - 2x + 2 = 0.
$$

\itemitemalph Dans le dessin ci-dessus, représenter la courbe
d'équation
$$
   y = -2x - 1.
$$

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation
$$
   -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1.
$$

\itemnum {\sl Partie calcul}

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'équation
$$
   -x^2 - 2x + 2 = 0.
$$

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation
$$
   -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1.
$$

\finexo

\corrige

\itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'équation $-x^2 - 2x + 2
= 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la
courbe $y = -x^2 - 2x + 2$ avec l'axe des abscisses $y = 0$. On lit
donc \tresultat {2~solutions~: $x_1\approx -2, 6$ et $x_2\approx 0, 7$}.

\itemalph
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/}
$$
   \superboxepsillustrate {graph_001b.ps}
$$

\itemalph Graphiquement, les solutions de l'inéquation $-x^2 - 2x + 2
\leq -2x-1$ correspondent aux abscisses des points de la parabole qui
sont situés en-dessous des points de la droite $y = -2x-1$. Il y a
donc deux intervalles solutions et \dresultat {S = \, ]-\infty ; -1,
7] \, \cup \, [1, 7; +\infty [}

\itemalphnum On résoud l'équation $-x^2 - 2x + 2 = 0$ en utilisant la
méthode du discriminant. On trouve $\Delta = 12$ d'où les deux racines
réelles
$$
   x_1 = {2 - \sqrt {12}\over 2} = {2 - 2\sqrt {3}\over 2}
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {x_1 = 1 - \sqrt 3}
      \qquad {\rm et} \qquad
   x_2 = {2 - \sqrt {12}\over 2} = 
   \dresultat {1 + \sqrt 3 = x_2}
$$

\itemalph Il vient
$$
   -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   -x^2 + 3 \leq 0.
$$
Et résoudre cette dernière inéquation revient à déterminer le signe du
polynôme $3-x^2$. Si on ne s'aperçoit pas de l'identité remarquable
$3-x^2 = (\sqrt 3 - x) (\sqrt 3 + x)$, on peut encore utiliser la
méthode du discriminant. On trouve alors $\Delta = 12$, d'où les
2~racines réelles $\sqrt 3$ et $-\sqrt 3$. Le cours nous dit alors que
le polynôme est du signe de $-a$ à l'intérieur de l'intervalle des
racines, et du signe de $a$ à l'extérieur de cet intervalle. Comme ici
$a$ est négatif (puisque $a=-1$), on en déduit que
$$\displaylines {
   -x^2 + 3 \leq 0.
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x \in \, ]-\infty ; -\sqrt 3] \cup  [\sqrt 3; +\infty [
      \qquad \hbox {ce qui prouve que}
\cr
   -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {x \in \, ]-\infty ; -\sqrt 3] \cup  [\sqrt 3; +\infty [}
\cr
}$$


\fincorrige

 

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