Source de graph

$Fichier TeX$
\exo {Résolutions d'équations et d'inéquations polynomiales}

On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = x^2 - 2x - 1.
$$
Sa courbe représentative, d'équation $y = x^2 - 2x - 1$, est donnée
ci-dessous~: 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/}
$$
   \superboxepsillustrate {graph_002a.ps}
$$

\itemnum {\sl Partie graphique}

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation
$$
   x^2 - 2x - 1 = 0.
$$

\itemitemalph Dans le dessin ci-dessus, représenter la courbe
d'équation
$$
   y = {1\over 2}x + {1\over 2}.
$$

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation
$$
   x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2}.
$$

\itemnum {\sl Partie calcul}

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'équation
$$
   x^2 - 2x - 1 = 0.
$$

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation
$$
   x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2}.
$$

\finexo

\corrige

\itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'équation $x^2 - 2x - 1
= 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la
courbe $y = x^2 - 2x - 1$ avec l'axe des abscisses $y = 0$. On lit
donc \tresultat {2~solutions~: $x_1\approx -0, 4$ et $x_2\approx 2, 4$}.

\itemalph
\epsfxsize 60mm
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/}
$$
   \superboxepsillustrate {graph_002b.ps}
$$

\itemalph Graphiquement, les solutions de l'inéquation $x^2 - 2x - 1
\leq {1\over 2}x + {1\over 2}$ correspondent aux abscisses des points
de la parabole qui sont situés en-dessous des points de la droite $y =
{1\over 2} x + {1\over 2}$. Il y a donc un seul intervalle solution et
\dresultat {S = [-0, 5 ; 3]}

\itemalphnum On résoud l'équation $x^2 - 2x - 1 = 0$ en utilisant la
méthode du discriminant. On trouve $\Delta = 8$ d'où les deux racines
réelles
$$
   x_1 = {2 - \sqrt {8}\over 2} = {2 - 2\sqrt {2}\over 2}
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {x_1 = 1 - \sqrt 2}
      \qquad {\rm et} \qquad
   x_2 = {2 + \sqrt {8}\over 2} = 
   \dresultat {1 + \sqrt 2 = x_2}
$$

\itemalph Il vient
$$
   x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x  + {1\over 2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2} \leq 0.
$$
Et résoudre cette dernière inéquation revient à déterminer le signe du
polynôme $x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2}$. On utilise pour cela la
méthode du discriminant.
Il vient
$$
   \Delta = {25\over 4} + {4\times 3 \over 2} = {49\over 4}
$$
d'où les 2~racines réelles~:
$$
   x_1 = {{5\over 2} - {7\over 2}\over 2} = \dresultat {-{1\over 2} =
   x_1}
      \qquad {\rm et} \qquad
   x_2 = {{5\over 2} + {7\over 2}\over 2} = \dresultat {3 =
   x_2}
$$
Le cours nous dit alors que
le polynôme est du signe de $-a$ à l'intérieur de l'intervalle des
racines, et du signe de $a$ à l'extérieur de cet intervalle. Comme ici
$a$ est positif (puisque $a=1$), on en déduit que
$$\displaylines {
   x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2} \leq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right]
      \qquad \hbox {ce qui prouve que}
\cr
   x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x  + {1\over 2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right] }
\cr
}$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3831922 - 4 décembre 2008)