Source de pol2

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\exo {\' Equation polynomiale de degré~2}

On considère le polynôme $P$ défini par
$$
   P (x) = 4x^2 - x - {1\over 2}.
$$

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $P (x) = 0$.

\itemnum Déterminer la forme factorisée de $P (x)$.

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $P (x) \leq 0$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum On a un polynôme du second degré, du type $ax^2 + bx + c$ avec
$$
   a = 4,
      \qquad
   b = -1
      \qquad
   c = -{1\over 2}.
$$
Le calcul du discriminant donne \dresultat {\Delta = 9}. Ce
dernier étant positif, on en déduit que l'équation proposée possède
\tresultat {deux solutions réelles~: $\displaystyle {- {1\over 2}}$ et
$\displaystyle {{1\over 4}}$}. 

\itemnum La forme factorisée est donc \dresultat {P (x) = 4 \left( x +
{1\over 2} \right) \left( x - {1\over 4}\right) }.

\itemnum Le tableau de signes s'impose
$$\vcenter{\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign{
   % preamble
      \tv #& \cc{$#$}& \tv #& $#$&
         \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && -1/2 && 1/4 && +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & 4 &&& + & \tv & + & \tv & + 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & x+{1\over 2} &&& - & 0& + & \tv & + 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & x-{1\over 4} &&& - & \tv & - & 0 & + & 
   \cr
   \noalign{\hrule}
   \noalign{\hrule}
      & P (x) &&& + & 0 & - & 0 & + 
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$
Et on conclut~: $P (x) \geq 0$ si et seulement si \dresultat {x \in \,
]-\infty ; -1/2] \cup [1/4 ; +\infty [}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 19 novembre 2001 (0.07s - 3831071 - 4 décembre 2008)