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$Fichier TeX$
\exo{Factorisation par $(x - \alpha )$}

\item{} On considère le polynôme 
$P (x) = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63$.

\itemitemalph Développer $2(x-7)(x+{3\over2})$.

\itemitemalph Calculer $P (3)$.

\itemitemalph En déduire une factorisation de $P$ sous
la forme 
\quad $P (x) = (x - 3) Q (x)$, \quad où $Q$ est un polynôme
de degré~2.

\itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, résoudre
dans $\rset$ l'équation~: \quad $P (x) = 0$.
\finexo

\corrige{}

On considère le polynôme 
$P (x) = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63$.

\itemalph On trouve $2(x-7)(x+{3\over2}) = \dresultat {2x^2 - 11x - 21}$.

\itemalph Et on trouve \dresultat {P (3) = 0}.

\itemalph On peut donc factoriser $P$
par $(x-3)$, et 
$$
   P (x) = (x-3) (ax^2 + bx + c)
$$ 
où $a$, $b$, $c$ sont des réels à déterminer. En développant puis en
identifiant, il vient 
$$
   P (x) = ax^3 + (b-3a)x^2 + (c-3b)x -3c = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63
$$
d'où le système
$$
   \cases {
      a = 2
   \cr
      b-3a = -17
   \cr
      c-3b = 12
   \cr
      -3c = 63
   \cr }
       \qquad \hbox {qui donne} \qquad
   (a, b, c) = (2, -11, -21)
$$
autrement dit \dresultat {P (x) = (x-3) (2x^2 - 11x - 21)}.

\itemalph En utilisant les questions précédentes, il vient
$$ 
   P (x) = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   2(x-3)(x-7)\left( x+{3\over2} \right) = 0
$$
On trouve alors facilement qu'il y a \tresultat {$3$ solutions~:
$-{3\over 2}$, $3$ et $7$} puisqu'un produit de facteurs est nul si et
seulement si l'un des facteurs est nul.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 11 septembre 2003 (0.07s - 3832438 - 4 décembre 2008)