Source de pol_006.tex
\exo {Un polynôme de degré~3}
On considère le polynôme $P$ défini par
$$
P (x) = 6x^3 + 5x^2 - 2x - 1.
$$
\itemnum Calculer $P (-1)$.
\itemnum En déduire une factorisation de $P$ sous la forme
$$
P (x) = (x+1) Q (x)
$$
où $Q (x)$ est un polynôme de degré~2 à déterminer.
\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $P (x) = 0$.
\finexo
\corrige {}
\itemnum On trouve \dresultat {P (-1) = 0}.
\itemnum Donc $P$ se factorise sous la forme
$$
P (x) = (x+1) (ax^2 + b x + c)
$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles à déterminer.
\item {} En développant puis en réduisant l'expression ci-dessus, et en
l'identifiant avec l'expression de départ, il vient
$$
P (x) = ax^3 + (b+a)x^2 + (c+b) x + c = 6x^3 + 5x^2 - 2x - 1
$$
d'où l'on tire le système
$$
\cases {
a = 6
\cr
b+a = 5
\cr
c+b = -2
\cr
c = -1
\cr }
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\cases {
a = 6
\cr
b = -1
\cr
c = -1
\cr }
$$
puis la factorisation de $p$~: \dresultat {P (x) = (x+1) (6x^2 - x -
1)}.
\itemnum On a donc $P (x)$ sous la forme d'un produit de
facteurs. Celui-ci est donc nul si et seulement si l'un des facteurs
est nul. Le facteur $(x+1)$ donne la solution \dresultat {x = -1}
(déjà trouvée à la question {\bf 1.}), et le facteur $(6x^2 - x - 1)$
donne \tresultat {deux autres solutions~: $x = -1/3$ et $x = 1/2$} (trouvées avec la
méthode du discriminant $\Delta $, ici égal à $25$).
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 23 octobre 2001 (0.08s - 3778743 - 20 novembre 2008)
