Source de exo

$Fichier TeX$
\exo {Utilisation d'un arbre en probabilités}

Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles

Un sac contien six~jetons~:

\itemitem {--} deux jetons verts numérotés $1$ et $2$,
désignés par $V_1$ et $V_2$,

\itemitem {--} trois jetons jaunes numérotés $1$, $2$ et $3$,
désignés par $J_1$, $J_2$ et $J_3$,

\itemitem {--} un jeton noir numérotés $1$ et désigné par $N_1$.

On réalise l'expérience suivante~: on tire au hasard un premier
jeton du sac~; parmi les jetons restants, on tire au hasard un second
jeton. 

Un résultat possible est $(V_2, J_3)$ où $V_2$ est le premier
jeton tiré et $J_3$ le deuxième. $(J_3, V_2)$ est un autre
résultat.

\itemnum \`A l'aide d'un arbre, donner la liste des différents
résultats possibles. Quel est leur nombre~?

\itemnum On considère les événements suivants~:

\itemitem {} $A$~: \og \sl Les deux jetons obtenus ont la même couleur\fg

\itemitem {} $B$~: \og \sl Les deux jetons obtenus portent le même numéro\fg

\item {} Calculer la probabilité de chacun de ces
  événements.

\itemnum Justifier pourquoi les événements $A$ et $B$ sont
incompatibles.

\itemnum Calculer la probabilité de l'événement $A\cup B$.

\finexo

\corrige

\itemnum L'arbre ci-dessous nous donne les \tresultat {$6\times 5 =
30$ issues possibles}
\catcode`\|=12
\input /home/jp/tex_doc/format/pstricks/pstricks.tex
%% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-eps.tex
%% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-node.tex
\input /home/jp/tex_doc/format/pstricks/pst-tree.tex
\bgroup 
%\eightpoint \rm
$$
\pspicture(0,-5.5)(1,5)
\pstree
[treemode=R,    %% mode horizontal
levelsep=25mm,  %% longueur d'une branche
treesep=.5mm     %% espace internoeud
]
{\Tc*{1mm}}
{
   \pstree
   {\TR{$V_1$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(V_1, V_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(V_1, J_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(V_1, J_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(V_1, J_3)$}}
      \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(V_1, N_1)$}}
   }
%
   \pstree
   {\TR{$V_2$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(V_2, V_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(V_2, J_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(V_2, J_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(V_2, J_3)$}}
      \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(V_2, N_1)$}}
   }
%
   \pstree
   {\TR{$J_1$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_1, V_1)$}}
      \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_1, V_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(J_1, J_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(J_1, J_3)$}}
      \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_1, N_1)$}}
   }
%
   \pstree
   {\TR{$J_2$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_2, V_1)$}}
      \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_2, V_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(J_2, J_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(J_2, J_3)$}}
      \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_2, N_1)$}}
   }
%
   \pstree
   {\TR{$J_3$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_3, V_1)$}}
      \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_3, V_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(J_3, J_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(J_3, J_2)$}}
      \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_3, N_1)$}}
   }
%
   \pstree
   {\TR{$N_1$}}
   {
      \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(N_1, V_1)$}}
      \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(N_1, V_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(N_1, J_1)$}}
      \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(N_1, J_2)$}}
      \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(N_1, J_3)$}}
   }
}
\endpspicture
$$
\egroup

\itemnum \' Evénement $A$~: $8$ issues favorables, donc \dresultat {p
   (A) = {8\over 30} = {4\over 15}}.

\item {} \' Evénement $B$~: $8$ issues favorables, donc \dresultat {p
   (B) = {8\over 30} = {4\over 15}}.

\itemnum Comme les jetons sont tous distincts et que l'on procède à
des tirages sans remise, on ne peut obtenir deux fois le même
jeton. Il est donc impossible d'obtenir un tirage avec deux jetons
ayant à la fois la même couleur et le même 
numéro. Autrement dit \dresultat {A \cap B = \emptyset }

\itemnum On a $16$ cas favorables à $A\cup B$, donc \dresultat {p
   (A \cup B) = {16\over 30} = {8\over 15}}.

\item {} {\bf autre méthode~:} $p (A\cap B) = 0$ puisque $A\cap B =
\emptyset$, or $P (A\cup B) = p (A) + p (B) - p (A\cap B)$, d'où $p
(A\cup B) = {4\over 15} + {4\over 15} - 0$.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 25 janvier 2007 (0.08s - 3823954 - 3 décembre 2008)