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$Fichier TeX$
\exo {Recherche \og manuelle\fg \ de tangente}

Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath \/)$
d'unité 4~cm sur $Ox$ et 2~cm sur $Oy$.
On considère $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$
définie sur $\rset $ par $f (x)= x^2$.

Le but de cet exercice est de montrer la démarche employée pour
construire la tangente à une courbe en un point donné (ici le point
d'abscisse~1 de la courbe $y=x^2$).

\itemnum Rappeler le tableau de variations de la fonction~$f$.

\itemnum Compléter le tableau suivant~:

\vskip -\bigskipamount

$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 12mm {\hfill #1 \hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -0,25&& 0&& 0, 25&& 0, 5&& 0, 75&& 1&& 1, 25&& 1, 5&& 1,
75&& 2&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& && && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemnum Construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur
l'intervalle $[-0, 25\, ; 2]$. On note $A$ le point de la courbe
d'abscisse~1.

\itemnum On considère le point $B$ d'abscisse~2 de $C_f$.

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow
{AB}$.

\itemitemalph En déduire le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

\itemitemalph Tracer la droite $(AB)$.

\itemnum On considère le point $C$ d'abscisse~$1/2$ de $C_f$.

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow
{AC}$.

\itemitemalph En déduire le coefficient directeur de la droite $(AC)$.

\itemitemalph Tracer la droite $(AC)$.

\itemnum On considère le point variable $M$ d'abscisse~$x = 1+h$ de
$C_f$, où $h$ est un nombre réel.

\itemitemalph Déterminer, en fonction de $h$, les coordonnées du
vecteur $\overrightarrow {AM}$.

\itemitemalph En déduire, en fonction de $h$, le coefficient directeur
$m$ de la droite $(AM)$. 

\itemitemalph Remplir le tableau suivant qui donne les différentes
valeurs du coefficient directeur de $(AM)$ suivant les valeurs de $h$.

\vskip -\bigskipamount

$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 13.5mm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x = 1+h&& 2&& 1, 5&& 1, 4&& 1, 3&& 1,1 && 1, 05&& 1, 005&& 1, 001&&
1, 0005&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & h&& 1&& 0, 5&& 0, 4&& 0, 3&& 0,1 && 0, 05&& 0, 005&& 0, 001&&
0, 0005&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & m && && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemnum En tenant compte des questions précédentes, quel est, à votre
avis, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au
point $A$~? Donner dans ce cas l'équation réduite de cette tangente et
représenter la sur la courbe.

\itemnum Quels sont à votre avis les coefficients directeurs des
tangentes à la courbe $C_f$ aux points d'abscisses respectives $x=0$~?
$x=2$~? $x=3$~?


\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 11 octobre 2004 (0.09s - 3823994 - 3 décembre 2008)