Source de frct_001.tex
Retour    vers le bas
Fichier TeX
Image JPEG
\exo {\' Etude d'une fonction rationnelle}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3, 3]$ par
$$
   f (x) = 1 + {2\over x^2 + 1}
$$
et on note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$ (unité~: 2~cm ou
2~grands carreaux).

\itemnum Calculer $f'$, la fonction dérivée de la fonction $f$, et
vérifier qu''elle peut s'écrire sous la forme
$$
   f'(x) = {-4x \over \big( x^2 + 1\big) ^2}
$$

\itemnum \' Etudier le signe de la dérivée $f'$ sur l'intervalle $[-3,
3]$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ (en
précisant les valeurs exactes des extrema).

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$
au point d'abscisse~1.

\itemnum On considère $\Delta $, la droite d'équation $y =
1$. Déterminer les positions relatives de la droite $\Delta $ et de la
courbe $C_f$.

\itemnum Construire les droites $T$ et $\Delta $ puis la courbe $C_f$.


\finexo

\corrige {}

\itemnum On a 
$$
   f (x) = 1 - 2 \times {1\over x^2 + 1}.
$$
En utilisant la formule $(1/u)' = -u'/u^2$, on a facilement
$$
   f' (x) = 0 - 2 \times {2x\over x^2 + 1}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {-4x \over \big( x^2 + 1\big) ^2}}
$$

\itemnum Comme $\big( x^2 + 1\big) ^2$ est toujours positif, la
      dérivée est du signe de $-4x$. D'où le tableau~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -3 && 0&& 3
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      -4x && &+& 0& -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &+& 0& -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down{$1, 2$}&
      \brightuuparrow & \buup {$3$}&
      \brightddownarrow & \down{$1, 2$}
   \cr
}}}
$$

\itemnum Pour l'équation de tangente, on utilise la formule $y = f'
   (a) (x-a) + f (a)$ avec $a=1$. Comme $f (1) = 2$ et $f' (1) = -1$,
   on trouve pour la tangente \dresultat {T~: y = -x +3}.

\itemnum Pour connaître les positions relatives de $C$ et $\Delta $,
   il faut étudier le signe de la différence $f (x) - 1$. Or
$$
   f (x) - 1 = {2\over x^2 + 1}
$$
est toujours positif puisque $x^2 + 1$ est la somme de 2~termes
positifs. (Si l'on ne s'en aperçoit pas, on a toujours le recours de
calculer le discriminant $\Delta $, de s'apercevoir qu'il est négatif,
et de conclure que le polynôme $x^2 + 1$ est toujours du signe de $a$,
donc ici toujours positif.) On en déduit que \tresultat {la courbe $C$
est toujours au-dessus de $\Delta $}.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}
\epsfxsize = 120mm

\itemnum D'où le graphique ci-dessous
$$
   \superboxepsillustrate {frct_001.ps}
$$


\fincorrige

 

Validation CSS Validation XHTML — Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3823935 - 3 décembre 2008) vers le haut