Source de pol_001.tex
Retour    vers le bas
Fichier TeX
Image JPEG
\exo {\'Etudes de fonctions polynômes, résolution approchée d'équation}

\let \partie \centerpartie

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec
\jmath \,)$ d'unité $2~\cm $ sur $Ox$ et $1~\cm $ sur $Oy$.

\partie {A -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 2}

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ définie sur $[-3, 4]$ par 
$$
   f (x) = -{3\over2} x^2 + 1.
$$

\itemitemalphnum Déterminer $f'$, la fonction dérivée de $f$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x\in [-3; 4]$.

\itemitemalph En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-3; 4]$.

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$
au point d'abscisse $-1$.

\itemnum Tracer la tangente $T$ puis la courbe $C_f$ dans le repère
$(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$.

\partie {B -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 3}

On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$
définie sur $[-3, 4]$ par
$$
   g (x) = x^3 - {3\over2} x^2 - 6x + 1.
$$

\itemitemalphnum Déterminer la fonction dérivée $g'$.

\itemitemalph Expliquer pourquoi $g' (x)$ est du signe de $x^2 - x -2$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $g' (x)$. En déduire le tableau de 
variation de $g$ sur $[-3, 4]$.

\itemitemalphnum Combien l'équation $g (x) = 0$ admet-elle de
solution(s) sur $[-3, 4]$~? (Justifier.) On note $\alpha$ la
plus grande de ces solutions.

\itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ 
de $\alpha$ (justifier).

\itemnum Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points
d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$. 

\itemnum Tracer la courbe $C_g$ dans le repère
orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$.

\finexo

\corrige{}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
\vskip -5mm
\itemnum Il vient \mresultat {f' (x) = -3x}, du signe de $-x$,
d'où le tableau de variations~:
$$\dresultat{
\vbox{\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \hskip .3em }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\cc{$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -3&& 0&& 4%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      f' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & 
         & + &0& - 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& 
         \down{$-12, 5$}& \bbrightuuparrow & 
         \bbuup{$1$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$-23$} 
   \cr
}}
}$$


\itemnum On a $f (-1) = -1/2$ et $f' (-1) = 3$. L'utilisation de la
   formule $y = f' (a) (x-a) + f (a)$ donne alors
$$
   y = 3 (x+1) - {1\over 2}
      \qquad \hbox {d' où l'équation cherchée~:} \qquad
   \dresultat {T~: \quad y = 3x + {5\over 2}}
$$

\itemnum
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}
\epsfxsize = 80mm
$$
   \superboxepsillustrate{pol_001.ps}
$$

\partie {B}
\vskip -7mm

\itemalphnum \alph \ Le calcul de la fonction dérivée donne \dresultat {g' (x)
= 3x^2 - 3x - 6}, qui est bien \tresultat {du signe
de $x^2 - x -2$} puisque $g' (x) = 3 (x^2 - x - 2)$ avec $3$ positif.

\itemalph La
méthode du discriminant $\Delta$, ici égal à 9,  nous donne les deux
racines $x_1 = 2$ et $x_2 = -1$. Or l'on sait qu'un polynôme du second
degré est \og {\sl du signe de $-a$ entre les racines}\fg. D'où~:
\tresultat {$g'$ négatif entre $-1$ et $2$, positif sinon}.
D'où le tableau de variations de $g$~:
$$\dresultat{
\vbox{\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\cc{$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -3&& -1&& 2&& 4&%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      g' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & 
         & + &0& - &0& + &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& 
         \down{$-21, 5$}& \bbrightuuparrow & 
         \bbuup{$9/2$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$-9$} &
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$17$}&
   \cr
}}
}$$

\itemalph La fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle
   $[-3, 1]$ (d'après le tableau de va\-ria\-tions) et elle change de
   signe sur cet intervalle (puisque $g (-3) = -21, 5 < 0$ et $g (-1)
   = 4, 5
   > 0$). Donc l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution sur
   l'intervalle $[-3, -1]$. 

\item {} On tient des raisonnements analogues pour
   mon\-trer que cette équation admet également une u\-ni\-que solution sur
   l'intervalle $[-1, 2]$ ainsi qu'une unique solution sur
   l'intervalle $[2, 4]$. Finalement, l'équation $g (x) = 0$ admet
$$
   \tresultat{3 solutions sur l'intervalle $[-3, 4]$}.
$$

\itemalph On a \mresultat{3, 25 < \alpha < 3, 26} puisque $g (3, 25)
   \approx -0, 016$ est négatif, alors que $g (3, 26) \approx 0, 145$
   est positif.

\itemalph Pour déterminer l'intersection des deux courbes, il faut
   résoudre le système
$$\displaylines{
   \cases{
      y = g (x)
   \cr
      y = f (x)
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      y = x^3 - {3\over2} x^2 - 6x + 1
   \cr
      y = -{3\over2} x^2 + 1
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      -{3\over2} x^2 + 1 = x^3 - {3\over2} x^2 - 6x + 1
   \cr
      y = -{3\over2} x^2 + 1
   \cr}
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      0 = x^3 - 6x 
   \cr
      y = -{3\over2} x^2 + 1
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      0 = x (x - \sqrt6) (x+\sqrt6)
   \cr
      y = -{3\over2} x^2 + 1
   \cr}
}$$
d'où les trois points d'intersection~: \mresultat{A (-\sqrt6, -8)},
   \mresultat{B (0, 1)} et \mresultat{C (\sqrt6, -8)}.

\fincorrige
\endinput


\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}
%
\epsfxsize = 80mm
%
\rightsuperboxepsillustrate{pol_001.ps}{-22}

\fincorrige

 

Validation CSS Validation XHTML — Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3823939 - 3 décembre 2008) vers le haut