Source de pol

$Fichier TeX$
\exo {Fonction cubique, lecture de graphique}

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie par
une écriture de la forme
$$
   x \mapsto ax^3 + bx^2 + cx + d.
$$
Cette courbe est représentée sur la feuille annexe jointe.


\itemitemalphnum Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3, 3]$.

\itemitemalph Lire sur le graphique les valeurs de $f (0)$, $f (1)$, $f' (1)$
et $f' (-1)$.

\itemitemalph Calculer, en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ la dérivée $f'$
de $f$.

\itemitemalph Utiliser ce qui précède pour déterminer les valeurs de $a$,
$b$, $c$ et $d$.

\itemnum On admet que $f (x) = x^3 - 3x + 1$.

\itemitemalph Tracer sur le même graphique la droite $D$ d'équation $y =
-x$.

\itemitemalph Déterminer graphiquement une valeur approchée des solutions de
l'équation 
$$
   x^3 - 3x + 1 = -x.
$$

\itemitemalph Résoudre cette équation par le calcul.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}
\epsfxsize 80mm

$$
   \superboxepsillustrate {pol_003a.ps}
$$

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum Graphiquement, on lit le tableau de variations suivant~:

$$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -3&& -1&& 1&& 3&
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down {?}&
      \brightuuparrow & \buup {$3$}&
      \brightddownarrow & \down{$-1$}& 
      \brightuuparrow & \buup {?}
   \cr
}}}
$$

\itemalph Sur le graphique, on lit \dresultat {f (0) = 1}, \dresultat
{f (1) = -1}, \dresultat {f' (1) = 0} et \dresultat {f' (-1) = 0}. (En
effet, $f' (\alpha )$ désigne le coefficient directeur de la tangente à la
courbe de $f$ au point d'abscisse $\alpha $.)

\itemalph Comme $f (x) = ax^3 + bx^2 + cx +d$, il vient \mresultat {f'
(x) = 3ax^2 + 2bx + c}.

\itemalph Les 4~conditions de la question {\bf 1.}{\sl b\/}) nous
donnent alors le système de 4~équations à 4~inconnues~:
$$
   \cases {
      f (0) = 1
   \cr
      f (1) = -1
   \cr
      f' (-1) = 0
   \cr
      f' (1) = 0
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \matrix {
   \cr
   \cr
      \scriptstyle (3)
   \cr
      \scriptstyle (4)
   \cr }
   \cases {
      a = 1
   \cr
      a + b + c + d = -1
   \cr
      3a - 2b + c = 0
   \cr
      3a + 2b + c = 0
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \matrix {
   \cr
   \cr
      \scriptstyle (3)
   \cr
      \scriptstyle (4) - (3)
   \cr }
   \cases {
      a = 1
   \cr
      b + c + d = -2
   \cr
      - 2b + c = -3
   \cr
      4b = 0
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \cases {
      a = 1
   \cr
      d = 1
   \cr
      c = -3
   \cr
      b = 0
   \cr }
$$
Finalement, on a \mresultat {(a, b, c, d) = (1, 0, -3, 1)}, et
\dresultat {f (x) = x^3 -3x + 1}.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}
\epsfxsize 80mm

\itemalphnum 
$$
   \superboxepsillustrate {pol_003b.ps}
$$

\itemalph Graphiquement, les solutions de cette équation correspondent
aux abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et de
$g$. On trouve donc 3~solutions~: \dresultat {x_1 \approx -1, 6},
\dresultat {x_2 \approx 0, 6} et \dresultat {x_3 \approx 1}.

\itemalph On a
$$
   x^3 - 3x + 1 = -x.
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x^3 - 2x + 1 = 0.
$$
Posons $P (x) = x^3 - 2x + 1$. Résoudre l'équation demandée revient à
chercher les racines de $P$.

\item {} $\bullet $ On voit facilement que \tresultat {$1$
est une racine évidente de $P$}, autrement dit que $P (1) = 0$. 

\item {} $\bullet $ On
peut donc factoriser $P$ par $(x-1)$, et il vient
$$\eqalign {
   x^3 - 2x + 1 &= (x-1) (ax^2 + bx + c)
\cr
   &= ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b) x -c
\cr   
}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles à déterminer. Par
identification, on obtient le système
$$
   \cases {
      a = 1
   \cr
      b-a = 0
   \cr
      c-b = -2
   \cr
      -c = 1
   \cr }
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \cases {
      a = 1
   \cr
      b = 1
   \cr
      c = -1
   \cr
      -c = 1
   \cr }
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \dresultat {P (x) = (x-1) (x^2 + x - 1)}
$$

\item {} $\bullet $ Reste à résoudre l'équation $x^2 + x - 1 = 0$. On
      utilise la méthode du discriminant, et on trouve $\Delta = 5$,
      donc 2~racines~:  
$$
   x_1 = {1\over 2} \left( -1 - \sqrt 5\right)
      \qquad {\rm et} \qquad
   x_2 = {1\over 2} \left( -1 + \sqrt 5\right)
$$

\item {} $\bullet $ En conclusion, le polynôme $P$, et donc l'équation
      $x^3 - 3x + 1 = -x$, admet les trois racines
$$
   \dresultat {x_1 = {1\over 2} \left( -1 - \sqrt 5\right) }
      \qquad \qquad
   \dresultat {x_2 = {1\over 2} \left( -1 + \sqrt 5\right) }
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {x_3 = 1}.
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.06s - 3779193 - 21 novembre 2008)