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$Fichier TeX$
\exo {\'Etudes de fonctions polynômes, résolution approchée d'équation}

\let \partie \centerpartie

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec
\jmath \,)$ d'unité $2~\cm $ sur $Ox$ et $1~\cm $ sur $Oy$.

\partie {A -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 2}

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ définie sur $[-3, 4]$ par 
$$
   f (x) = {3\over2} x^2 - 1.
$$

\itemitemalphnum Déterminer $f'$, la fonction dérivée de $f$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x\in [-3; 4]$.

\itemitemalph En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-3; 4]$.

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$
au point d'abscisse $-1$.

\itemnum Tracer la tangente $T$ puis la courbe $C_f$ dans le repère
$(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$.

\partie {B -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 3}

On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$
définie sur $[-3, 4]$ par
$$
   g (x) = - x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1.
$$

\itemitemalphnum Déterminer la fonction dérivée $g'$.

\itemitemalph Expliquer pourquoi $g' (x)$ est du signe de $-x^2 + x +2$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $g' (x)$. En déduire le tableau de 
variation de $g$ sur $[-3, 4]$.

%% \itemitemalphnum Combien l'équation $g (x) = 0$ admet-elle de
%% solution(s) sur $[-3, 4]$~? (Justifier.) On note $\alpha$ la
%% plus grande de ces solutions.
%% 
%% \itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ 
%% de $\alpha$ (justifier).
%% 
\itemnum Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points
d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$. 

\itemnum Tracer la courbe $C_g$ dans le repère
orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$.

\finexo

\corrige{}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
\vskip -6mm
\itemnum \ On trouve \mresultat{f' (x) = 3x}, du signe de $x$,
d'où le tableau de variations~:
$$\dresultat{
\vbox{\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \hskip .3em }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\cc{$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -3&& 0&& 4%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      F' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & 
         & - &0& + 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& 
         \bbuup{$12, 5$}& \bbrightddownarrow & 
         \down{$-1$}&
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$23$} 
   \cr
}}
}$$

\itemnum On a 
$$
   f (-1) = {1\over 2}
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (-1) = -3
$$
d'où l'équation de la tangente cherchée~: \dresultat {y = -3 x -
{5\over 2}}.

\itemnum 
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/}

$$
   \superboxepsillustrate{pol_005.ps}
$$

\partie {B}
%
\vskip -6mm
\itemalphnum Le calcul de la fonction dérivée donne \mresultat{g' (x)
= -3x^2 + 3x + 6 = 3 (-x^2 + x + 2)}

\itemalph La fonction dérivée est du signe de $-x^2 + x + 2$. La
méthode du discriminant $\Delta$, ici égal à 9,  nous donne les deux
racines $x_1 = 2$ et $x_2 = -1$. Or l'on sait qu'un polynôme du second
degré est \og {\sl du signe de $-a$ entre les racines}\fg. D'où le
signe de $f'$~: \tresultat{positive entre $-1$ et $2$, négative sinon}.

\itemalph D'où le tableau de variations de $g$~:
$$\dresultat{
\vbox{\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\cc{$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -3&& -1&& 2&& 4&%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      g' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & 
         & - &0& + &0& - &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& 
         \bbuup{$21, 5$}& \bbrightddownarrow & 
         \down{$-9/2$}&
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$9$} &
         \bbrightddownarrow & \down{$-17$}&
   \cr
}}
}$$

\itemnum Pour déterminer l'intersection des deux courbes, il faut
   résoudre le système
$$\displaylines{
   \cases{
      y = f (x)
   \cr
      y = g (x)
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      y = -x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1
   \cr
      y = {3\over2} x^2 - 1
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      {3\over2} x^2 - 1 = -x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1
   \cr
      y = {3\over2} x^2 - 1
   \cr}
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      0 = -x^3 + 6x 
   \cr
      y = {3\over2} x^2 - 1
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      0 = x (-x^2 + 6)
   \cr
      y = -{3\over2} x^2 + 1
   \cr}
}$$
L'équation $0 = x (-x^2 + 6)$ donne les 3~solutions $x= 0$, $x= \sqrt
   6$ et $x = -\sqrt 6$, d'où les trois points d'intersection~:
   \mresultat{A (-\sqrt6, -8)}, 
   \mresultat{B (0, 1)} et \mresultat{C (\sqrt6, -8)}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3823894 - 3 décembre 2008)