\exo {Coefficients indéterminés, intersection et positions re\-la\-ti\-ves de deux courbes} La courbe $C_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction polynôme $f$ du premier degré, c'est à dire d'une fonction $f$ du type \quad $f (x) = ax + b$. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} \epsfxsize = 80mm $$ \superboxepsillustrate{aff_005.ps} $$ \itemitemalphnum Lire sur le graphique les valeurs de $f (-1)$ et $f (2)$. \itemitemalph En déduire les valeurs de $a$ et $b$. \itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par \quad $g (x) = - 3x + 2$. Tracer $C_g$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonction $g$, sur la figure ci-dessus. \itemitemalphnum Résoudre graphiquement l'équation \quad $f (x) = g (x)$. \itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation \quad $f (x) \leq g (x)$. \itemitemalphnum Déterminer, par le calcul, le ou les points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$. \itemitemalph \'Etudier, par le calcul, les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$. (Autrement dit, déterminer par le calcul la réponse à la question \og Quand la courbe $C_f$ est-elle au-dessus de $C_g$, et quand est-elle en dessous~?\fg) \finexo \corrige \itemalphnum Graphiquement, on lit \dresultat {f (-1) = -1} et \dresultat {f (2) = 0}. \itemalph Comme $f (x) = ax + b$, la question précédente nous donne le système~: $$ \matrix { \eightpoint \rm (1) \cr \eightpoint \rm (2) \cr } \cases { -a +b = -1 \cr 2a + b = 0 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \matrix { \cr \eightpoint \rm (2) - (1) \cr } \cases { -a +b = -1 \cr 3a = 1 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { b = -1 + 1/3 = -2/3 \cr a = 1/3 \cr } $$ soit \dresultat {f (x) = {1\over 3}x - {2\over 3}}. \itemnum \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} $$ \superboxepsillustrate{aff_005a.ps} $$ \itemnum Graphiquement, on a $f (x) = g (x)$ pour \dresultat {x \approx 0,8}, et on a $f (x) \leq g (x)$ pour \dresultat {x\in \, ]-\infty ; 0,8]}. \itemalphnum Chercher l'intersection des courbes de $f$ et $g$ revient à résoudre le système $$ \displaylines { \cases { y = f (x) \cr y = g (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { y = {1\over 3}x - {2\over 3} \cr y = -3x +2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { -3x +2 = {1\over 3}x - {2\over 3} \cr y = -3x +2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { -9x +6 = x - 2 \cr y = -3x +2 \cr } \cr \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 8 = 10x \cr y = -3x +2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { x = 8/10 = 0,8 \cr y = -0,4 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \tresultat {un point d'intersection~: $(0,8 ; -0,4)$}. \cr } $$ \itemalph \' Etudier les positions relatives des courbes de $f$ et $g$ revient à étudier le signe de la différence $f (x) - g (x)$. Or $$ f (x) - g (x) = {1\over 3}x - {2\over 3} - (-3x + 2) = {1\over 3}x - {2\over 3} + 3x - 2 \quad {\rm soit} \quad \dresultat {f (x) - g (x) = {10\over 3}x - {8\over 3}} $$ d'où le tableau récapitulatif~: $$\dresultat { \vcenter{ \eightpoint\rm \offinterlineskip \halign{ % preamble \cc{#}& #&& \cc{#} \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&& $0, 8$&& \omit $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $f (x) - g (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $-$& $0$& $+$ \cr \noalign{\hrule} \tvi height 12pt $f (x)$& \vrule& & $C_f$ au dessous de $C_g$& \vrule & $C_f$ au dessus de $C_g$ \cr }} }$$ \fincorrige