Source de aff

$Fichier TeX$
\exo {Coefficients indéterminés, intersection et 
positions re\-la\-ti\-ves de deux courbes}

La courbe $C_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une 
fonction polynôme $f$ du premier degré, 
c'est à dire d'une fonction $f$
du type \quad $f (x) = ax + b$.

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/}
\epsfxsize = 80mm
$$
   \superboxepsillustrate{aff_005.ps}
$$

\itemitemalphnum Lire sur le graphique les valeurs de $f (-1)$ et
$f (2)$.

\itemitemalph En déduire les valeurs de $a$ et $b$.

\itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par
\quad $g (x) = - 3x + 2$.
Tracer $C_g$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de 
la fonction $g$, sur la figure ci-dessus.

\itemitemalphnum Résoudre graphiquement l'équation
\quad $f (x) = g (x)$.

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation
\quad $f (x) \leq g (x)$.

\itemitemalphnum Déterminer, par le calcul, le ou les points
d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

\itemitemalph \'Etudier, par le calcul, les positions relatives 
des courbes $C_f$ et $C_g$. (Autrement dit, déterminer
par le calcul la réponse à la question \og Quand la courbe
$C_f$ est-elle au-dessus de $C_g$, et quand est-elle en 
dessous~?\fg)

\finexo

\corrige

\itemalphnum Graphiquement, on lit \dresultat {f (-1) = -1} et
\dresultat {f (2) = 0}. 

\itemalph Comme $f (x) = ax + b$, la question précédente nous donne le système~:
$$
   \matrix {
      \eightpoint \rm (1)
   \cr
      \eightpoint \rm (2)
   \cr
   }
   \cases {
      -a +b = -1
   \cr
      2a + b = 0
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \matrix {
   \cr
      \eightpoint \rm (2) - (1)
   \cr
   }
   \cases {
      -a +b = -1
   \cr
      3a = 1
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      b = -1 + 1/3 = -2/3
   \cr
      a = 1/3
   \cr }
$$
soit \dresultat {f (x) = {1\over 3}x - {2\over 3}}.

\itemnum \def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/}
$$
   \superboxepsillustrate{aff_005a.ps}
$$

\itemnum Graphiquement, on a $f (x) = g (x)$ pour \dresultat {x
\approx 0,8}, et on a $f (x) \leq g (x)$ pour \dresultat {x\in \,
]-\infty ; 0,8]}.

\itemalphnum Chercher l'intersection des courbes de $f$ et $g$ revient
à résoudre le système
$$
\displaylines {
   \cases {
      y = f (x)
   \cr
      y = g (x)
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = {1\over 3}x - {2\over 3}
   \cr
      y = -3x +2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      -3x +2 = {1\over 3}x - {2\over 3}
   \cr
      y = -3x +2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      -9x +6 = x - 2
   \cr
      y = -3x +2
   \cr }
\cr
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      8 = 10x
   \cr
      y = -3x +2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x = 8/10 = 0,8
   \cr
      y = -0,4
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \tresultat {un point d'intersection~: $(0,8 ; -0,4)$}.
\cr }
$$

\itemalph \' Etudier les positions relatives des courbes de $f$ et $g$
revient à étudier le signe de la différence $f (x) - g (x)$. Or
$$
   f (x) - g (x) = {1\over 3}x - {2\over 3} - (-3x + 2)
      = {1\over 3}x - {2\over 3} + 3x - 2
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {f (x) - g (x) = {10\over 3}x - {8\over 3}}
$$
d'où le tableau récapitulatif~:
$$\dresultat {
\vcenter{
\eightpoint\rm
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      \cc{#}& #&& \cc{#}
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt &
      $0$&& $0, 8$&& \omit $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f (x) - g (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & 
      & $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \tvi height 12pt $f (x)$& \vrule& 
         & 
         $C_f$ au dessous de $C_g$& \vrule &
         $C_f$ au dessus de $C_g$
   \cr
}}
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3823981 - 3 décembre 2008)