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\exo{Une fonction rationnelle}

On considère $C_g$, la courbe représentative de la
fonction $g$ définie par 
$$
   g (x) = x - 3 + {1\over x}.
$$

\itemnum Déterminer l'ensemble de définition de $g$
(autrement dit l'ensemble des réels $x$ tels que
$g (x)$ soit calculable).

%%tmp \itemnum Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
%%tmp la courbe $C_g$ avec l'axe $Oy$.

\itemitemalphnum Calculer la fonction dérivée $g'$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $g'$. En déduire
le tableau de variations de $g$.

\itemnum On considère la droite $\Delta$ d'équation
$$
   \Delta : \quad y = x - 3.
$$

\itemitemalph Déterminer le ou les points
d'intersection de $C_g$ avec la droite $\Delta$.

\itemitemalph \'Etudier les positions relatives des courbes 
$C_g$ et $\Delta$.

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la
courbe $C_g$ au point d'abscisse $1/2$

\itemnum \`A l'aide d'une calculatrice, remplir le tableau suivant en
calculant, pour chaque valeur donnée de $x$, une valeur approchée à
$5.10^{-2}$ près de $f (x)$.
$$
\vbox{\halign{
   % preamble
      \tv #&& \cc{$#$}& \tv # 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & x&& -4&& -3&& -2&& -1 && -{1\over2}&& {1\over4}&& {1\over2}&&
      1&& 2&& 3&& 4& 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & f (x)&& && && && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign{\hrule}
   }}
$$

\itemnum Tracer soigneusement, dans un même repère orthogonal,
les droites $\Delta$ et $T$ ainsi que la courbe $C_g$.

\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3823975 - 3 décembre 2008)