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\exo{Une fonction rationnelle}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]+\infty , -1[
\; \cup \; ]-1, +\infty[$ par  
$$
   f (x) = {2 \over x + 1} + x - 2
$$
et on désigne par $C_f$ sa courbe représentative.

\itemitemalphnum Calculer la fonction dérivée $f'$, et montrer que 
$$
   f' (x) = {x^2 + 2x - 1 \over (x+1)^2}
$$

\itemitemalph \'Etudier le signe de $f'$. En déduire
le tableau de variations de $f$. 

\itemnum Déterminer une équation de $\Delta$, la tangente à la
courbe $C_f$ au point d'abscisse $1$

%% \itemnum Montrer que la courbe $C_f$ admet une tangente parallèle à
%% $\Delta $. Préciser en quel point.

\itemnum \`A l'aide d'une calculatrice, remplir le tableau suivant en
calculant, pour chaque valeur donnée de $x$, une valeur approchée à
$10^{-2}$ près de $f (x)$.
$$
\vbox{\halign{
   % preamble
      \tv #&& \cc{$#$}& \tv # 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & x&& -{9\over10}&& -{4\over5}&& -{3\over4}&& -{1\over2} && 0&& 1&& 2&&
      3&& 4&& 9&& 15& 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & f (x)&& && && && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign{\hrule}
   }}
$$

\itemnum Tracer soigneusement, dans un même repère orthogonal,
la droite $\Delta$ et la courbe $C_f$.

\finexo
 
\corrige{}

\itemnum On remarque tout d'abord que $f (x)$ existe si et seulement
si \mresultat{x \neq -1}. Le calcul de la fonction dérivée donne
alors
$$
   f ' (x) = {-2 \over (x+1)²} + 1
      = {-2 + x^2 + 2x + 1 \over (x+1)^2}
      = \dresultat{{x^2 + x - 1 \over (x+1)^2} = f' (x)}
$$
du signe de $x^2 + x - 1$ puisque $(x+1)^2$ est toujours strictement
positif si $x \neq -1$. Comme $\Delta = 8 = (2\sqrt2)^2$ est
strictement positif, on trouve deux racines réelles $x_1 = -1 - \sqrt2
\simeq -2, 41$ et $x_2 = -1 + \sqrt2 \simeq 0, 41$, et $x^2 + x - 1$
est négatif (signe de $-a$) entre $x_1$ et $x_2$, ce qui donne le
tableau de variations suivant~:

\medskip

\centerline{$$\vbox{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & 
      $-\infty$&& $x_1$&& $-1$&& $x_2$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt 
      && $+$& $0$& $-$ & \doublevrule & $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& 
         &\bbrightuuparrow & \bbuup{$\simeq -5, 83$}&
         \bbrightddownarrow & \doublevrule &
         \bbrightddownarrow & \down{$\simeq -0, 17$} &
         \bbrightuuparrow &% 
   \cr
}}
$$}

\medskip 

où $f (x_1) = -2\sqrt2 - 3$ et $f (x_2) = 2\sqrt2 - 3$.

\itemnum Comme $f (1) = 0$ et que $f' (1) = 1/2$, on trouve pour
équation de $\Delta$~: \mresultat{y = {1\over2} (x-1)}.

\itemnum 
\vtop{\eightpoint \rm
   \halign{
   % preamble
      \tv #&& \cc{$#$}& \tv # 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & x&& -{9\over10}&& -{4\over5}&& -{3\over4}&& -{1\over2} && 0&& 1&& 2&&
      3&& 4&& 9&& 15& 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & f (x)&& 17, 1&& 5, 25&& 7, 2&& 1, 5&& 0&& 0&& 2/3&& 3/2&& 2,
      5&& 7, 2&& 13, 125&
   \cr
   \noalign{\hrule}
   }}

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/}
  
\epsfxsize = 115mm

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate{fct_014.ps}
$$

\fincorrige

 

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