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%% fichiers de macro    basejpv.tex
%% sujet                etude de fonction polynome
%% date                 08-01-98
%% auteur               jp vignault 

\exo{\'Etude de d'une fonction polynôme de degré~3}

On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$
définie sur $[-4; 3]$ par
$$
   g (x) = x^3 + 2x^2 -4x + 1.
$$

\itemitemalphnum Déterminer $g'$, la fonction dérivée de la fonction $g$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $g'$ sur $[-4; 3]$.

\itemitemalph Dresser le tableau des variations de la fonction $g$.

\itemitemalphnum Montrer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique
solution sur l'intervalle $[-2 ; {2/3}]$. On notera $\alpha $ cette
solution. 

\itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de
$\alpha $. (Justifier.)

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à $C_g$ au point
d'abscisse~1.

\itemnum Tracer la droite $T$ et la courbe $C_g$ dans un repère
orthogonal; unités 
graphiques~: $3$~cm (ou 3~grands carreaux) sur l'axe des abscisses, et
1~cm (ou 1~grand carreau) sur l'axe des ordonnées.

\finexo

\corrige{}

\itemalphnum On a \mresultat{g' (x) = 3x^2 + 4x -4}. En utilisant
la méthode du discriminant $\Delta $ (ici égal à ~64), on
trouve que $g'$ admet les 2~racines 
$-2$ et $2/3$, et que $g' (x)$ est de signe négatif pour $x$ entre ces
racines. 

\itemalph \alph \ D'où le tableau de signes pour $g'$ et le tableau de
variations pour $g$~:

$$\dresultat{\vbox{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & $-4$&& $-2$&& ${2\over3}$&& $3$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $g' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$& $0$& $-$ & $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& \down{$-15$}\hfill& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$9$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$-{13 \over 27}\simeq -0, 48$} &
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$34$}% 
   \cr
}}}
$$

\itemalphnum D'après la question ci-dessus, la fonction $g$ est
   strictement décroissante sur l'intervalle $[-2; 2/3]$, et elle
   change de signe sur cet intervalle (puisque $g (-2)$ est positif
   alors que $g (2/3)$ est négatif). Ceci prouve que l'équation
   $g (x) = 0$ \tresultat {admet une unique solution $\alpha \in [-2;
   2/3]$}.  

\itemalph On trouve \dresultat {0, 30<\alpha <0, 31} puisque $g (0,
   30)$ est positif alors que $g (0, 31)$ est négatif.

\itemnum On a $g (1) = 0$, donc la tangente passe par le point $(1,
   0)$, et $g' (1) = 3$, donc le coefficient directeur de cette
   tangente est~3. Après calculs, on trouve l'équation réduite de la
   tangente cherchée~: \mresultat{y = 3 (x-1)}. On peut également
   trouver ce résultat en utilisant la formule générique $y = f' (a)
   (x-a) + f (a)$ avec $a= 1$. 
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/}

%\epsfxsize = 120mm
\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate{fct_020.ps}
$$

\fincorrige

 

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