\exo {Désintégration d'un corps radioactif} Les éléments radioactifs sont instables et ont tendance à se désintégrer. En général, pour un atome donné, il est absolument impossible de prévoir à quel instant va se produire sa désintégration. En revanche, on a une propriété surprenante lorsque l'on dispose d'une grande quantité de noyaux radioactifs de même nature~: on connaît très précisément le laps de temps nécessaire (et suffisant) pour que la moitié des atomes se désintègrent. On appelle {\sl demi-vie\/} ou {\sl période}, et on note $T$ ce laps de temps (dépendant du corps considéré). Par exemple, pour l'iode~131, la demi-vie est $T=8$~jours. Ainsi, si l'on dispose d'un gramme d'iode~131, il en restera un demi-gramme au bout de $8$~jours, un quart de gramme au bout de $16$~jours, un huitième de gramme au bout de $24$~jours, etc\dots \itemnum On considère un ensemble de $N_0$ noyaux radio-actifs d'iode~131, de demi-vie $T$. On note~: $$\eqalign { u_0 =& N_0 \qquad \hbox {nombre initial de noyaux ($t=0$)} \cr u_1 =& \hbox { nombre de noyaux restant après une période ($t=T$)} \cr u_2 =& \hbox { nombre de noyaux restant après deux périodes ($t=2T$)} \cr \vdots & \cr u_n =& \hbox { nombre de noyaux restant après $n$ périodes ($t=nT$)} \cr }$$ \itemitemalph Déterminer $u_1$ en fonction de $u_0$, puis $u_2$ en fonction de $u_1$. \itemitemalph Déterminer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. \itemitemalph Caractériser la suite $(u_n)_{n\in \nset }$ \itemitemalph Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ et de $N_0$. \itemitemalph \` A l'aide d'une calculatrice, déterminer le nombre de périodes nécessaires pour que $99, 99\%$ des atomes soient désintégrés. \itemitemalph Combien faut-il de périodes pour que tous les noyaux soient désintégrés~? \itemitemalphnum Application~: la demi-vie de l'Iode~131 est $T = 8$~jours. \` A l'instant $t=0$, on dispose de $N_0$ atomes d'Iode~131. \` A partir de quel instant la quantité initiale aura-t-elle été divisée par $1000$~? \itemitemalph Reprendre la question précédente avec le césium~137 dont la période est $T = 30$~ans. \itemitemalph Reprendre la question précédente avec le plutonium~239 dont la période est $T \approx 24\, 000$~ans. \finexo