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\exo {Isolation phonique}
L'unité d'intensité du son utilisé dans cet exercice est le décibel
(symbole db). Une source sonore émet un son d'intensité 100~décibels
($u_0 = 100$).
On appelle $u_n$ l'intensité du son mesuré après la traversée de $n$
plaques d'isolation phonique, sachant que chaque plaque d'isolation
absorbe $10\% $ de l'intensité du son qui lui parvient.
Par exemple,
$$
u_1 = u_0 - {10\over 100} u_0.
$$
\itemnum Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
\itemitemalphnum Déterminer la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
\itemitemalph Caractériser la suite $(u_n)_n$.
\itemitemalph Exprimer $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$.
\itemnum Quelle intensité sonore obtient-t-on avec 10~plaques
d'isolation phonique~?
\itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, déterminer le nombre de
plaques nécessaires pour absorber $90\%$~de l'intensité initiale $u_0$.
\finexo
\corrige {}
\itemnum On trouve \dresultat {u_1 = 90}, \dresultat {u_2 = 81} et
\dresultat {u_3 = 72, 9}
\itemalphnum On a
$$
u_{n+1} = u_n - {10\over 100} u_n
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {u_{n+1} = 0, 9 \times u_n}
$$
\itemalph Le rapport entre 2~termes consécutifs est ${u_{n+1} \over
u_n} = 0, 9 = $~constante. On a donc une \tresultat {suite
géométrique} de \tresultat {raison $0, 9$} et de \tresultat
{premier terme $u_0 = 100$}.
\itemalph Le cours nous dit alors que l'on a \dresultat {u_n = u_0
\times (0, 9)^n}
\itemnum Avec 10~plaques d'isolation phoniques, l'intensité sonore
sera donc \dresultat {u_{10} = 100\times (0, 9)^{10} \approx 34, 87}
\itemnum Soit $n$ le nombre de plaques nécessaires à l'absorbtion de
$90\%$ de l'intensité initiale. On aura alors $u_n = 100 \times (0,
9)^n \leq 10$, soit $(0, 9)^n \leq 0, 1$. Après essais à la
calculatrice, on trouve qu'il faut avoir \mresultat {n\geq 22}
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3823979 - 3 décembre 2008)
