Source de synt_001.tex
\exo {Remboursement d'un emprunt}
Pour un prêt de $10\, 000$~F remboursable en 6~annuités, un
client s'est vu proposer par 2~établissements de crédit les 2~formules
suivantes~:
\item {} {\sl Première formule\/}~: les 6~annuités sont les 6~premiers
termes de la suite arithmétique de premier terme $1\, 025$~F et de
raison $500$~F~;
\item {} {\sl Deuxième formule\/}~: les 6~annuités sont les 6~premiers
termes de la suite géométrique de premier terme $1\, 530$~F et de
raison $1, 15$.
\itemnum Déterminer, pour la première formule, la somme totale
remboursée au bout de six ans.
\itemnum Même question qu'au {\bf 1.} avec la deuxième formule.
\itemnum Quelle est la formule la plus avantageuse pour le client~?
\finexo
\corrige {}
\itemnum Utilisons la méthode naïve~: on note $u_n$ l'annuité numéro
$n$. On a alors
$$\hskip -10mm
u_1 = 1\, 025,
\qquad
u_2 = 1\, 525,
\qquad
u_3 = 2\, 025,
\qquad
u_4 = 2\, 525,
\qquad
u_5 = 3\, 025,
\qquad
u_6 = 3\, 525,
$$
et une simple addition nous donne le montant global payé après
6~annuités~:
$$\dresultat {
u_1 + u_2 + \cdots + u_5 + u_6 = 13\, 650
}$$
\itemnum Restons sur la méthode naïve~: on note $v_n$ l'annuité numéro
$n$. On a alors, pour tout entier $n>1$, $v_{n+1}= 1, 15 \times v_n$. D'où
$$\hskip -10mm
v_1 = 1\, 530,
\quad
v_2 = 1\, 759, 5
\quad
v_3 = 2\, 023,425
\quad
v_4 \approx 2\, 326, 939
\quad
v_5 \approx 3\, 675, 979
\quad
v_6 \approx 3\, 077, 376
$$
et une simple addition nous donne le montant global payé après
6~annuités~:
$$\dresultat {
v_1 + v_2 + \cdots + v_5 + v_6 \approx 13\, 393, 219\, 8
}$$
\item {} Pour avoir le résultat exact, il faut passer par les
formules~: on sait que l'on a une suite géométrique de premier terme
$v_1 = 1\, 530 \times$ et de raison $q = 1, 15$. La somme des 6
premiers termes est donc
$$\dresultat {
S = 1\, 530 \times {1 - (1, 15)^6 \over 1 - 1,15}
\approx 13\, 393, 22
}$$
\itemnum Et il est bien évident que c'est la \tresultat {2ème formule}
qui est la plus avantageuse pour le client.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 3 mai 2005 (0.08s - 3823913 - 3 décembre 2008)
