Source de equa

$Fichier TeX$
\exo{Une dernière équation trigonométrique}

\itemitemalph Résoudre dans $\rset$ l'équation suivante~:
$$
   \cos \left( 2x + \pi \right) = {\sqrt3 \over2}
\leqno
   (E)
$$

\itemitemalph Combien faut-il de points distincts sur le cercle trigonométrique
pour représenter les solutions~? (On ne demande pas de représenter ces
solutions.)

\itemitemalph Parmi l'infinité de solutions de l'équation $(E)$,
préciser celles qui se trouvent dans l'intervalle $[0, 2\pi]$.

\finexo

\corrige{}

\itemalph On a
$$\displaylines{
   \cos (2x + \pi) = {\sqrt3 \over2} 
	 \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases{
	 2x + \pi = \pi /6 + 2 k \pi
   \cr
	 \quad {\rm ou}
   \cr
	 2x + \pi = -\pi/6 + 2 k \pi
   \cr}, k \in \zset
	 \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases{
	 2x = -5\pi /6 + 2 k \pi
   \cr
	 \quad {\rm ou}
   \cr
	 2x = -7\pi/6 + 2 k \pi
   \cr}, k \in \zset
\cr
   \dresultat{
   \cases{
	 x = -5\pi /12 + k \pi
   \cr
	 \quad {\rm ou}
   \cr
	 x = -7\pi/12 + k \pi
   \cr}, k \in \zset}
\cr}$$

Il y a donc \tresultat{quatres points solutions} sur le cercle
trigonométrique (2 pour $-5\pi /12 + k \pi$ et 2~autres pour $-7\pi/12
+ k \pi$).

\itemalph Dans l'intervalle $[0, 2\pi]$, les solutions sont donc
\dresultat{{7\pi \over 12}, {19\pi \over 12}, {5\pi \over 12} {\rm \
et\ } {17\pi \over 12}}. 

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 21 février 2007 (0.08s - 3823856 - 3 décembre 2008)