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$Fichier TeX$
w\exo {Transformation d'écriture -- \' Equation}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par
$$
   f (x) = \cos x - \sqrt 3 \sin x
$$

\itemnum Montrer que $f (x)$ peut également s'écrire
$$
   f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) .
$$

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation
$$
   \cos (x) - \sqrt 3 \sin (x) = -1.
$$

\finexo

\corrige

\itemnum Développons l'expression proposée. Il vient~:
$$
   f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) 
      = 2\left( \cos x \cos {\pi \over 3} - \sin x \sin {\pi \over 3}\right)
      = 2\left( \cos x \times {1 \over 2} - \sin x \times {\sqrt 3 \over 2}\right)
$$
On a donc bien 
\dresultat {
   f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) .
}

\itemnum Il vient
$$
   \cos (x) - \sqrt 3 \sin (x) = -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   f (x) = -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) = -{1\over 2}
$$
D'où le système
$$
   \cases {
      x + {\pi \over 3} = {2\pi \over 3} + 2k\pi
   \cr
      \rm ou &$k\in \zset $
   \cr
      x + {\pi \over 3} = -{2\pi \over 3} + 2k\pi
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {
      \cases {
         x = {\pi \over 3} + 2k\pi
      \cr
         \rm ou &$k\in \zset $
      \cr
         x = -\pi + 2k\pi
      \cr }
   }
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 11 mars 2007 (0.09s - 3823918 - 3 décembre 2008)