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\exo {Géométrie analytique}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath, \vec
\jmath\,)$ (unité~: 1~cm ou 1~grand carreau), on considère les points
$A (2, 2)$, $B (-2, 4)$ et $C (-1, 1)$.

\itemnum Placer les points $A$, $B$ et $C$.

\itemnum On considère la droite $T$ d'équation $y = -3x -2$.

\itemitemalph Représenter la droite $T$ sur le dessin précédent.

\itemitemalph Montrer que le point $C$ est sur la droite $T$.

\itemnum Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$. En déduire les distances $AB$ et $AC$.

\itemitemalphnum Déterminer l'équation réduite de la droite $(AC)$.

\itemitemalph Quel est le coefficient directeur de la droite $(BC)$~?

\itemnum Que peut-on dire du triangle $ABC$~?

\finexo

\corrige {}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/analyt/}
\epsfxsize = 80mm

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {synt_006.ps}
$$

\itemnum Le point $C$ a pour coordonnée $C (-1, 1)$, et ses
coordonnées vérifient l'équation de la droite $T~: y = -3x - 2$. Donc
\tresultat {$C$ est sur la droite $T$}.

\itemnum On trouve
$$
   \overrightarrow {AB} = {x_B - x_A \choose y_B - y_A}
      \quad {\rm soit} \quad
   \dresultat {\overrightarrow {AB} = {-4 \choose 2}}
      \quad {\rm et} \quad
   \dresultat {\overrightarrow {AC} = {-3 \choose -1}}
$$

\item {} Ici, comme $AB = \Vert \overrightarrow {AB}\Vert = \sqrt
      {(-4)^2 + 2^2}$, il vient
$$
   \dresultat {AB = \sqrt {20} = 2\sqrt 5}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {AC = \sqrt {10}}
$$

\itemalphnum L'équation de la droite $(AC)$ est de la forme $y = ax+b$
      où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles à déterminer. Des
      deux conditions \og la droite passe par $A (2, 2)$\fg \ et \og la
      droite passe par $C$\fg , on tire le système~:
$$
   \matrix {
      \scriptstyle (1)
   \cr
      \scriptstyle (2)
   \cr }
   \cases {
      2 = 2a + b
   \cr
      1 = -a + b
   \cr }
      \qquad \Longrightarrow
   \matrix {
      \scriptstyle (1)-(2)
   \cr
      \scriptstyle (2)
   \cr }
   \cases {
      1 = 3a
   \cr
      1 = -a + b
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {(a, b) = \left( {1\over 3}, {4\over 3}\right) }
$$
L'équation réduite de la droite $(AC)$ est donc \dresultat {(AC)~: y =
{1\over 3} (x+4)}.

\itemalph Le vecteur $\displaystyle {\overrightarrow {BC} = {1
\choose -3}}$, donc \tresultat {le coefficient directeur de $(BC)$ est
$\displaystyle {-3\over 1} = -3$}.

\itemnum On a $BC = \Vert \overrightarrow {BC}\Vert = \sqrt {10}$. Le
triangle $ABC$ est donc \tresultat {isocèle} (puisque 
$AC=BC$), et \tresultat {rectangle en $C$} (par Pythagore puisque
$AB^2 = AC^2 + BC^2$).

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3779163 - 21 novembre 2008)