Source de scal

$Fichier TeX$
\exo {Produit scalaire dans un espace à 3 dimensions}

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé 
$(O, \vec\imath, \vec \jmath, \vec k)$, on considère
les points
$$
   A (2, 1, 1), 
      \qquad
   B (4, -2, 2)
      \qquad
   C (4, -1, -9)
      \qquad
   D (6, -4, -8)
$$

%% \itemitemalph Faire une figure en perspective cavalière
%% (échelle $1/2$ sur $Ox$, $1$ sinon).
 
\itemitemalph Déterminer les coordonnées des vecteurs
$\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow
{CD}$. Conclusion pour $ABDC$~?

\itemitemalph Calculer $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$.
Conclusion pour $ABDC$~?

\itemitemalph Déterminer les distances $AB$ et $AC$.

\finexo

\corrige {}

\itemalph On trouve~:
$$
   \dresultat {\overrightarrow {AB} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\overrightarrow {CD} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr}}
$$
Et comme $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$, c'est que
\tresultat {$ABDC$ est un parallélogramme}.

\itemalph On a
$$
   \overrightarrow {AB} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr}
      \quad {\rm et} \quad
   \overrightarrow {AC} = \pmatrix {2\cr -2\cr -10\cr}
      \qquad {\rm donc} \qquad
   \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\times 2 +
      (-3)\times (-2) -10
$$
Soit \dresultat {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} =
0}. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et
$\overrightarrow {AC}$ sont orthogonaux, et donc que $ABDC$ est un
parallélogramme ayant un angle droit. Finalement, \tresultat {$ABDC$
est un rectangle}.

\itemalph On a $AB = \Vert \overrightarrow {AB} \Vert $, soit $AB =
\sqrt {2^2 + (-3)^2 + 1^2}$, soit \dresultat {AB = \sqrt {14}}. De la
même façon, on a $AC = \sqrt {2^2 + (-2)^2 + 10^2}$, soit \dresultat
{AC = \sqrt {108}}. 

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3823823 - 3 décembre 2008)