Source de scal

$Fichier TeX$
\exo {Changement de base}

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec\imath, \vec
\jmath\,)$ d'unité $1~\cm $.

On considère les points $A (3, 3)$ et $B (7, 1)$ et les vecteurs
$$
   \vec u \left( {\sqrt 2 \over 2}, {\sqrt 2 \over 2}\right)
      \qquad {\rm et} \qquad
   \vec v \left( -{\sqrt 2 \over 2}, {\sqrt 2 \over 2}\right)
$$

Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du vecteur
$\overrightarrow {AB}$ dans la base $(O, \vec u, \vec v)$.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/scalaire/}
$$
   \epsillustrate {scal_008.ps}
$$

\itemnum Représenter les points $A$ et $B$ sur le graphique ci-dessus.

\itemitemalphnum Calculer les deux nombres
$$
   a = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \imath
      \qquad {\rm et} \qquad
   b = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \jmath
$$

\itemitemalph Que dire du vecteur $a\vec \imath + b \vec \jmath $~?

\itemnum Vérifier que la famille $(\vec u, \vec v)$ est une base
      orthonormale du plan. Autrement dit, vérifier que les vecteurs
$\vec u$ et $\vec v$ sont bien orthogonaux, et de norme~1.

\itemitemalphnum Calculer les deux nombres
$$
   \alpha = \overrightarrow {AB} \cdot \vec u
      \qquad {\rm et} \qquad
   \beta = \overrightarrow {AB} \cdot \vec v
$$

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\alpha \vec u + \beta
\vec v $. Remarque~?

\itemitemalph Tracer sur le dessin les vecteur $\alpha \vec u$ et $\beta \vec
v$. 

\finexo

\corrige

\itemnum 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/scalaire/}
$$
   \epsillustrate {scal_008a.ps}
$$

\itemalphnum On a
$$
   \overrightarrow {AB} = {7-3\choose 1-3} = {4\choose -2},
      \qquad \qquad
   \vec \imath {1\choose 0}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \vec \jmath {0\choose 1}
$$
d'où
$$
   a = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \imath
      = {4\choose -2} \cdot {1\choose 0} 
      \quad {\rm soit} \quad 
   \dresultat {a = 4}
      \qquad {\rm et} \qquad 
   b = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \jmath
      = {4\choose -2} \cdot {0\choose 1} 
      \quad {\rm soit} \quad 
   \dresultat {b = -2}
$$

\itemalph On a donc 
$$
   a\vec \imath + b \jmath = 4\vec \imath -2 \vec \jmath 
      = {4\choose -2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {a\vec \imath + b \vec \jmath = \overrightarrow {AB}}
$$

\itemnum On a
$$
   \Vert \vec u \Vert 
      = \sqrt {\left( {\sqrt 2 \over 2}\right) ^2 + \left( {\sqrt 2 \over 2}\right) ^2 }
      = \sqrt {{2\over 4} + {2\over 4}} = \sqrt 1
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\Vert \vec u \Vert = 1}
$$
De façon analogue, on trouve bien \dresultat {\Vert \vec v \Vert =
1}. De plus,
$$
   \vec u \cdot \vec v
      = {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} \cdot {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2}
      = - {\sqrt 2 \over 2}\times {\sqrt 2 \over 2} + {\sqrt 2 \over 2}\times {\sqrt 2 \over 2}
      = 0
      \qquad {\rm donc} \qquad
   \tresultat {$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux} 
$$
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux et de norme 1, on a
donc bien une base orthonormale du plan.

\itemalphnum Il vient
$$
   \alpha = \overrightarrow {AB} \cdot \vec u
   = {4\choose -2} \cdot {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2}
   = {4\sqrt 2 \over 2} - {2\sqrt 2 \over 2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\alpha = \sqrt 2}
$$
et, de la même façon,
$$
   \beta = \overrightarrow {AB} \cdot \vec v
   = {4\choose -2} \cdot {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2}
   = -{4\sqrt 2 \over 2} - {2\sqrt 2 \over 2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\beta = -3\sqrt 2}
$$

\itemalph Il vient alors
$$\displaylines {
   \alpha \vec u 
      = \sqrt 2 {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} 
      = \dresultat {{1\choose 1} = \alpha \vec u}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \beta \vec v 
      = - 3\sqrt 2 {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2}
      = {-6 /2\choose 6 /2}
     = \dresultat {{-3\choose 3} = \beta \vec v}
\cr
      {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {\alpha \vec u + \beta \vec v = {4\choose -2} =
   \overrightarrow {AB}}
\cr
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3823811 - 3 décembre 2008)